В математике , точнее в теории функций нескольких комплексных переменных , псевдовыпуклое множество - это особый тип открытого множества в n -мерном комплексном пространстве C n . Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности .
Позволять
быть доменом, то есть открытым связным подмножеством . Один говорит, чтоявляется псевдовыпуклой (или псевдовыпуклой по Гартогсу ), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция на такой, что набор
является относительно компактным подмножествомдля всех действительных чисел Другими словами, домен является псевдовыпуклым, если имеет непрерывную плюрисубгармоническую функцию исчерпания . Каждое (геометрически) выпуклое множество псевдовыпукло. Однако существуют псевдовыпуклые области, которые не являются геометрически выпуклыми.
Когда имеет (дважды непрерывно дифференцируемая ) граница , это понятие то же самое, что и псевдовыпуклость Леви, с которой легче работать. В частности, с граница, можно показать, что имеет определяющую функцию; то есть, что существует который чтобы , а также . Сейчас, псевдовыпукло тогда и только тогда, когда для каждого а также в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е.
- , у нас есть
Если не имеет Граница, может быть полезен следующий результат аппроксимации.
Предложение 1 Еслипсевдовыпукло, то существуют ограниченные сильно псевдовыпуклые области Леви с участием ( гладкие ) границы, относительно компактные в, так что
Это потому, что как только у нас есть как и в определении, мы действительно можем найти функцию исчерпания C ∞ .
Случай n = 1
В одном комплексном измерении каждая открытая область псевдовыпукла. Таким образом, концепция псевдовыпуклости более полезна для измерений больше единицы.
Смотрите также
Рекомендации
- Ларс Хёрмандер , Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Северная Голландия, 1990 г. ( ISBN 0-444-88446-7 ).
- Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
Эта статья включает материал из Pseudoconvex на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Внешние ссылки
- Рейндж, Р. Майкл (февраль 2012 г.), «ЧТО ТАКОЕ ... псевдовыпуклый домен?» (PDF) , Уведомление о Американских математическом обществе , 59 (2): 301-303, DOI : 10,1090 / noti798
- «Псевдовыпуклые и псевдовогнутые» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]