Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Анимация несовершенного самоподобного дерева Пифагора
Дерево Пифагора с углом 25 градусов и плавной окраской

Дерево Пифагора представляет собой плоскость фрактала строится из квадратов . Изобретенный голландским учителем математики Альбертом Э. Босманом в 1942 году [1], он назван в честь древнегреческого математика Пифагора, потому что каждая тройка соприкасающихся квадратов включает прямоугольный треугольник в конфигурации, традиционно используемой для изображения теоремы Пифагора . Если наибольший квадрат имеет размер L  ×  L , полный Пифагор дерево плотно прилегать внутри коробки размера 6 л  × 4 л . [2] [3]Более тонкие детали дерева напоминают Кривая Леви .

Строительство [ править ]

Построение дерева Пифагора начинается с квадрата . По этой площади построены два квадрата, каждый уменьшено линейным коэффициентом √ 2 /2, таким образом, что углы квадратов совпадают попарно. Затем ту же процедуру рекурсивно применяют к двум меньшим квадратам до бесконечности . На рисунке ниже показаны первые несколько итераций в процессе построения. [2] [3]

Построение дерева Пифагора, порядок 0
Заказ 1
Заказ 2
Заказ 3
Заказ 0Заказ 1Заказ 2Заказ 3

Площадь [ править ]

Итерация n в конструкции добавляет 2 n квадратов площади , что дает общую площадь 1. Таким образом, может показаться, что площадь дерева неограниченно растет в пределе при n  → ∞. Однако некоторые квадраты перекрываются, начиная с итерации 5-го порядка, и дерево на самом деле имеет конечную площадь, потому что оно помещается в блок 6 × 4. [2]

Легко показать, что область A дерева Пифагора должна находиться в диапазоне 5 <  A  <18, который можно сузить с дополнительными усилиями. Мало похоже, известно о фактическом значении  A .

Изменение угла [ править ]

Интересный набор вариаций можно создать, сохранив равнобедренный треугольник, но изменив базовый угол (90 градусов для стандартного дерева Пифагора). В частности, когда базовый полуугол установлен на (30 °) = arcsin (0,5), легко видеть, что размер квадратов остается постоянным. Первое перекрытие происходит на четвертой итерации. Полученный общий образец представляет собой ромбогексагональную плитку , массив шестиугольников, ограниченных строительными квадратами.

дерево четвертого порядка, видно одно перекрытиедерево десятого порядка
Заказ 4Заказ 10

В пределе, когда половина угла составляет 90 градусов, очевидно, что перекрытия нет, а общая площадь в два раза больше площади основного квадрата. Было бы интересно узнать, существует ли алгоритмическая взаимосвязь между значением базового половинного угла и итерацией, на которой квадраты сначала перекрывают друг друга.

История [ править ]

Дерево Пифагора было впервые построено Альбертом Э. Босманом (1891–1961), голландским учителем математики, в 1942 году. [2] [4]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Архивная копия" . Архивировано из оригинала на 2009-01-18 . Проверено 10 марта 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка ).
  2. ^ a b c d Wisfaq.nl .
  3. ^ a b Pourahmadazar, J .; Ghobadi, C .; Нуриния, Дж. (2011). "Новые модифицированные пифагорейские фрактальные монопольные антенны для приложений СШП". Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении . Нью-Йорк: IEEE. 10 : 484–487. Bibcode : 2011IAWPL..10..484P . DOI : 10,1109 / LAWP.2011.2154354 .
  4. ^ Arsetmathesis.nl архивации 2009-01-18 в Wayback Machine

Внешние ссылки [ править ]

  • Галерея деревьев Пифагора
  • Интерактивный генератор с кодом
  • «Дерево Пифагора с различной геометрией, а также в 3D» . Архивировано из оригинала на 2008-01-15.
  • Дерево Пифагора Энрике Зелени на основе программы Эрика В. Вайсштейна , The Wolfram Demonstrations Project .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Дерево Пифагора» . MathWorld .
  • Трехмерное дерево Пифагора
  • Скрипт MatLab для создания дерева Пифагора
  • Пошаговое строительство в программе виртуальной реальности Neotrie VR
  • Pourahmadazar, J .; Ghobadi, C .; Нуриния, Дж. (2011). "Новые модифицированные пифагорейские фрактальные монопольные антенны для приложений СШП". Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении . Нью-Йорк: IEEE. 10 : 484–487. Bibcode : 2011IAWPL..10..484P . DOI : 10,1109 / LAWP.2011.2154354 .