Квантово-ограниченный эффект Штарка

Квантово-ограниченный эффект Штарка ( QCSE ) описывает влияние внешнего электрического поля на световой спектр поглощения или излучения спектра в виде квантовой ямы (КЯ). В отсутствие внешнего электрического поля электроны и дырки внутри квантовой ямы могут занимать состояния только в пределах дискретногонабор энергетических поддиапазонов. Система может поглощать или излучать только дискретный набор частот света. При приложении внешнего электрического поля электронные состояния смещаются в сторону более низких энергий, а состояния дырок - в сторону более высоких энергий. Это снижает допустимую частоту поглощения или излучения света. Кроме того, внешнее электрическое поле смещает электроны и дырки к противоположным сторонам ямы, уменьшая интеграл перекрытия, что, в свою очередь, снижает эффективность рекомбинации (т.е. квантовый выход флуоресценции ) системы. ^[1] Пространственное разделение электронов и дырок ограничено наличием потенциальных барьеров вокруг квантовой ямы, что означает, что экситоныспособны существовать в системе даже под действием электрического поля. Квантово-ограниченный эффект Штарка используется в оптических модуляторах QCSE , которые позволяют быстро включать и выключать оптические коммуникационные сигналы. ^[2]

Даже если квантовые объекты (например, лунки, точки или диски) излучают и поглощают свет, как правило, с более высокой энергией, чем ширина запрещенной зоны материала, QCSE может сместить энергию до значений ниже, чем зазор. Об этом недавно свидетельствовали исследования квантовых дисков, встроенных в нанопроволоку. ^[3]

Теоретическое описание [ править ]

Сдвиг линий поглощения можно рассчитать путем сравнения уровней энергии в несмещенных и смещенных квантовых ямах. Найти уровни энергии в несмещенной системе проще из-за ее симметрии. Если внешнее электрическое поле мало, его можно рассматривать как возмущение для несмещенной системы, и его приблизительное влияние можно найти с помощью теории возмущений .

Беспристрастная система [ править ]

Потенциал квантовой ямы можно записать как

${\ displaystyle V (z) = {\ begin {cases} 0; & | z | <L / 2 \\ V_ {0}; & {\ mbox {else}} \ end {cases}}}$,

где - ширина ямы, - высота потенциальных барьеров. Связанные состояния в яме лежат при наборе дискретных энергий, и соответствующие волновые функции могут быть записаны с использованием приближения огибающей функции следующим образом:${\ displaystyle L}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle E_ {n}}$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x}+k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).}$

В этом выражении площадь поперечного сечения системы, перпендикулярная направлению квантования, представляет собой периодическую блоховскую функцию для края энергетической зоны в массивном полупроводнике и является медленно меняющейся огибающей функцией для системы.${\displaystyle A}$${\displaystyle u(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \phi _{n}(z)}$

Слева: волновые функции, соответствующие уровням n = 1 и n = 2 в квантовой яме без приложенного электрического поля ( ). Справа: пертурбативный эффект приложенного электрического поля изменяет волновые функции и уменьшает энергию перехода n = 1.${\displaystyle {\vec {F}}=0}$${\displaystyle {\vec {F}}\neq 0}$${\displaystyle E}$

Если квантовая яма очень глубокая, ее можно аппроксимировать частицей в модели ящика , в которой . В рамках этой упрощенной модели существуют аналитические выражения для волновых функций связанного состояния, имеющие вид${\displaystyle V_{0}\to \infty }$

${\displaystyle \phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{odd}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{even}}\end{cases}}.}$

Энергии связанных состояний равны

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{*}L^{2}}},}$

где - эффективная масса электрона в данном полупроводнике.${\displaystyle m^{*}}$

Предвзятая система [ править ]

Предположим, что электрическое поле смещено в направлении z,

${\displaystyle \mathbf {F} =F\mathbf {z} ,}$

возмущающий член гамильтониана

${\displaystyle H'=eFz.}$

Поправка первого порядка к уровням энергии равна нулю из-за симметрии.

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eFz|n^{(0)}\rangle =0}$.

Коррекция второго порядка, например, n = 1,

${\displaystyle E_{1}^{(2)}=\sum _{k\neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}}$

для электрона, где было введено дополнительное приближение пренебрежения членами возмущения из-за связанных состояний с четным n и> 2. Для сравнения, члены возмущения от нечетных n состояний равны нулю из-за симметрии.

Аналогичные вычисления можно применить к дыркам, заменив эффективную массу электрона эффективной массой дырки . Вводя полную эффективную массу , сдвиг энергии первого оптического перехода, индуцированный QCSE, можно аппроксимировать следующим образом:${\displaystyle m_{e}^{*}}$${\displaystyle m_{h}^{*}}$${\displaystyle m_{tot}^{*}=m_{e}^{*}+m_{h}^{*}}$

${\displaystyle \Delta E\approx -24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}.}$

Сделанные до сих пор приближения являются довольно грубыми, тем не менее, сдвиг энергии показывает экспериментально квадратичную зависимость от приложенного электрического поля ^[4], как и предсказывалось.

Коэффициент поглощения [ править ]

Экспериментальная демонстрация квантово-ограниченного эффекта Штарка в квантовых ямах Ge / Si Ge .${\displaystyle _{0.18}}$${\displaystyle _{0.82}}$

Численное моделирование коэффициента поглощения квантовых ям Ge / Si Ge${\displaystyle _{0.18}}$${\displaystyle _{0.82}}$

В дополнение к красному смещению в сторону более низких энергий оптических переходов постоянное электрическое поле также вызывает уменьшение величины коэффициента поглощения, поскольку оно уменьшает перекрывающиеся интегралы взаимосвязанных волновых функций валентной зоны и зоны проводимости. Учитывая сделанные до сих пор приближения и отсутствие какого-либо приложенного электрического поля вдоль z, интеграл перекрытия для переходов будет: ${\displaystyle n_{valence}=n_{conduction}}$

${\displaystyle \langle \phi _{c,n}|\phi _{v,n}\rangle =1}$.

Чтобы вычислить, как этот интеграл модифицируется квантово-ограниченным эффектом Штарка, мы снова используем не зависящую от времени теорию возмущений . Поправка первого порядка для волновой функции равна

${\displaystyle \phi _{n}^{'}=\sum _{k\neq n}{\frac {\langle \phi _{n}|H'|\phi _{k}\rangle }{E_{n}-E_{k}}}|\phi _{k}\rangle }$.

Еще раз мы смотрим на уровень энергии и рассматриваем только возмущение от уровня (обратите внимание, что возмущение от будет связано с симметрией). Мы получаем ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle \phi _{c,1}=\phi _{c,1}^{0}+\phi _{c,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)-\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{e}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)}$

${\displaystyle \phi _{v,1}=\phi _{v,1}^{0}+\phi _{v,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)+\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{h}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)}$

для зоны проводимости и валентной зоны соответственно, где введена как нормировочная константа. Для любого приложенного электрического поля получаем${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\hat {z}}\neq 0}$

${\displaystyle \langle \phi _{c,1}|\phi _{v,1}\rangle <1}$.

Таким образом, согласно золотому правилу Ферми , которое гласит, что вероятность перехода зависит от указанного выше интеграла перекрытия, сила оптического перехода ослабляется.

Экситоны [ править ]

Описание квантово-ограниченного эффекта Штарка с помощью теории возмущений второго порядка чрезвычайно просто и интуитивно понятно. Однако для правильного изображения QCSE необходимо учитывать роль экситонов . Экситоны - это квазичастицы, состоящие из связанного состояния пары электрон-дырка, энергия связи которой в массивном материале может быть смоделирована как энергия связи водородного атома.

${\displaystyle E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}}}}$

где - постоянная Ридберга , - приведенная масса электронно-дырочной пары и - относительная электрическая проницаемость. Энергия связи экситона должна быть включена в энергетический баланс процессов поглощения фотонов:${\displaystyle R_{H}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

${\displaystyle h\nu >E_{g}-E_{X}}$.

Таким образом, генерация экситонов смещает оптическую запрещенную зону в сторону более низких энергий. Если к объемному полупроводнику приложить электрическое поле, наблюдается дальнейшее красное смещение в спектре поглощения из -за эффекта Франца – Келдыша . Из-за их противоположных электрических зарядов электрон и дырка, составляющая экситон, будут разъединяться под действием внешнего электрического поля. Если поле достаточно сильное

${\displaystyle -e{\vec {F}}\cdot {\vec {r_{X}}}>|E_{X}|}$

тогда экситоны перестают существовать в объеме материала. Это несколько ограничивает применимость метода Франца-Келдыша для целей модуляции, поскольку красное смещение, индуцированное приложенным электрическим полем, компенсируется сдвигом в сторону более высоких энергий из-за отсутствия генерации экситонов.

Эта проблема не существует в QCSE, поскольку электроны и дырки удерживаются в квантовых ямах. Пока глубина квантовой ямы сравнима с экситонным радиусом Бора , сильные экситонные эффекты будут присутствовать независимо от величины приложенного электрического поля. Более того, квантовые ямы ведут себя как двумерные системы, которые сильно усиливают экситонные эффекты по сравнению с объемным материалом. Фактически, решение уравнения Шредингера для кулоновского потенциала в двумерной системе дает энергию связи экситона, равную

${\displaystyle E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}-1/2}}}$

что в четыре раза выше, чем в трехмерном случае для решения. ^[5]${\displaystyle 1s}$

Оптическая модуляция [ править ]

Наиболее многообещающее применение квантово-ограниченного эффекта Штарка заключается в его способности выполнять оптическую модуляцию в ближнем инфракрасном спектральном диапазоне, что представляет большой интерес для кремниевой фотоники и масштабирования оптических межсоединений . ^{[2] [6]} Модулятор электропоглощения на основе QCSE состоит из PIN- структуры, в которой внутренняя область содержит несколько квантовых ям и действует как волновод для несущего сигнала.. Электрическое поле может быть индуцировано перпендикулярно квантовым ямам путем приложения внешнего обратного смещения к PIN-диоду, вызывающего QCSE. Этот механизм можно использовать для модуляции длин волн ниже запрещенной зоны несмещенной системы и в пределах досягаемости красного смещения, вызванного QCSE.

Хотя QCSE впервые был продемонстрирован в квантовых ямах GaAs / Al x Ga 1-x As , ^[1] QCSE начал вызывать интерес после его демонстрации в Ge / SiGe . ^{[7] В} отличие от полупроводников III / V, стопки квантовых ям Ge / SiGe могут быть выращены эпитаксиально поверх кремниевой подложки при условии наличия некоторого буферного слоя между ними. Это решающее преимущество, поскольку оно позволяет интегрировать Ge / SiGe QCSE с КМОП- технологией ^[8] и системами кремниевой фотоники.

Германий является непрямозонным полупроводником с шириной запрещенной зоны 0,66 эВ . Однако он также имеет относительный минимум в зоне проводимости в этой точке с прямой запрещенной зоной 0,8 эВ, что соответствует длине волны 1550 нм . Поэтому QCSE в Ge / SiGe квантовых ям можно использовать для модуляции света при 1,55 , ^[8] , который имеет решающее значение для кремниевых фотоники приложений, 1.55 является оптическим волокном Γ {\displaystyle \Gamma } ${\displaystyle \mu m}$${\displaystyle \mu m}$Окно прозрачности и длина волны, наиболее широко используемая в телекоммуникациях. Путем точной настройки параметров материала, таких как глубина квантовой ямы, двухосная деформация и содержание кремния в лунке, также можно настроить оптическую запрещенную зону системы квантовых ям Ge / SiGe для модуляции на длине волны 1310 нм ^{[8] [9]} что также соответствует окну прозрачности оптических волокон. Электрооптическая модуляция QCSE с использованием квантовых ям Ge / SiGe была продемонстрирована до 23 ГГц с энергиями на бит всего 108 фДж. ^[10] и интегрированный в конфигурацию волновода на волноводе SiGe ^[11]

См. Также [ править ]

• Эффект Франца – Келдыша.

Цитаты [ править ]

Общие источники [ править ]

• Марк Фокс, Оптические свойства твердых тел , Оксфорд, Нью-Йорк, 2001.
• Хартмут Хауг, Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников , World Scientific, 2004.
• https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
• Шунь Лиен Чуанг, Физика фотонных устройств , Wiley, 2009.