Четвертая или биквадратичная взаимность - это набор теорем элементарной и алгебраической теории чисел , которые устанавливают условия, при которых сравнение x 4 ≡ p (mod q ) разрешимо; Слово «взаимность» происходит от формы некоторых из этих теорем, поскольку они связывают разрешимость сравнения x 4 ≡ p (mod q ) с разрешимостью x 4 ≡ q (mod p ).
История
Эйлер сделал первые предположения о биквадратичной взаимности. [1] Гаусс опубликовал две монографии по биквадратичной взаимности. В первом (1828 г.) он доказал гипотезу Эйлера о биквадратичном характере числа 2. Во втором (1832 г.) он сформулировал биквадратичный закон взаимности для гауссовских целых чисел и доказал дополнительные формулы. Он сказал [2], что готовится к выпуску третья монография с доказательством общей теоремы, но она так и не появилась. Якоби представил доказательства в своих кенигсбергских лекциях 1836–1837 гг. [3] Первые опубликованные доказательства были Эйзенштейном. [4] [5] [6] [7]
С тех пор был найден ряд других доказательств классической (гауссовской) версии [8], а также альтернативные утверждения. Леммермейер утверждает, что с 1970-х годов наблюдается взрыв интереса к законам рациональной взаимности . [A] [9]
Целые числа
Квартик или биквадратный остаток ( по модулю р ) представляет собой любое число конгруэнтна четвертой степень целого числа ( по модулю р ). Если x 4 ≡ a (mod p ) не имеет целочисленного решения, a является квартикой или биквадратичным невычетом (mod p ). [10]
Как это часто бывает в теории чисел, проще всего работать по модулю простых чисел, поэтому в этом разделе все модули p , q и т. Д. Предполагаются как положительные, нечетные простые числа. [10]
Гаусс
Первое, на что следует обратить внимание при работе в кольце Z целых чисел, это то, что если простое число q равно 3 (mod 4), то вычет r является квадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда он является биквадратичным вычетом (mod q ). В самом деле, первое дополнение к квадратичной взаимности утверждает, что −1 является квадратичным невычетом (mod q ), так что для любого целого x один из x и - x является квадратичным вычетом, а другой - невычетом. Таким образом, если r ≡ a 2 (mod q ) - квадратичный вычет, то если a ≡ b 2 - вычет, r ≡ a 2 ≡ b 4 (mod q ) - биквадратичный вычет, а если a - невычет , - a - вычет, - a ≡ b 2 , и снова r ≡ (- a ) 2 ≡ b 4 (mod q ) - биквадратичный вычет. [11]
Поэтому единственный интересный случай - это когда модуль p ≡ 1 (mod 4).
Гаусс доказал [12], что если p ≡ 1 (mod 4), то классы ненулевых вычетов (mod p ) можно разделить на четыре набора, каждое из которых содержит ( p −1) / 4 числа. Пусть e - квадратичный невычет. Первый набор - это остатки четвертой степени; второй является е раза числа в первом наборе, третий адрес электронной 2 раза числа в первом наборе, а четвертый один адрес электронной 3 раза числа в первом наборе. Другой способ описать это деление - позволить g быть примитивным корнем (mod p ); тогда первый набор - это все числа, индексы которых относительно этого корня равны 0 (mod 4), второй набор - все те, чьи индексы равны 1 (mod 4) и т. д. [13] В словаре теории групп , первый набор является подгруппой индекса 4 (мультипликативной группы Z / p Z × ), а остальные три являются ее смежными классами.
Первый набор - это биквадратичные вычеты, третий набор - это квадратичные вычеты, которые не являются четвертыми вычетами, а второй и четвертый наборы - квадратичные невычеты. Гаусс доказал, что −1 является биквадратичным вычетом, если p ≡ 1 (mod 8), и квадратичным, но не биквадратичным вычетом, если p ≡ 5 (mod 8). [14]
2 является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p ≡ ± 1 (mod 8). Поскольку p также ≡ 1 (mod 4), это означает, что p ≡ 1 (mod 8). Каждое такое простое число представляет собой сумму квадрата и удвоенного квадрата. [15]
Гаусс доказал [14]
Пусть q = a 2 + 2 b 2 ≡ 1 (mod 8) - простое число. потом
- 2 является биквадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда a ± 1 (mod 8) и
- 2 является квадратичным, но не биквадратичным вычетом (mod q ) тогда и только тогда, когда a ± 3 (mod 8).
Каждое простое число p ≡ 1 (mod 4) является суммой двух квадратов. [16] Если p = a 2 + b 2, где a нечетно, а b четно, Гаусс доказал [17], что
2 принадлежит первому (соответственно второму, третьему или четвертому) классу, определенному выше, тогда и только тогда, когда b ≡ 0 (соответственно 2, 4 или 6) (mod 8). Первый случай этого - одна из гипотез Эйлера:
- 2 является биквадратичным вычетом простого числа p ≡ 1 (mod 4) тогда и только тогда, когда p = a 2 + 64 b 2 .
Дирихле
Для нечетного простого числа p и квадратичного вычета a (mod p ) критерий Эйлера утверждает, чтотак что если p ≡ 1 (mod 4),
Определим символ рационального четвертого вычета для простого p ≡ 1 (mod 4) и квадратичного вычета a (mod p ) какЛегко доказать, что a является биквадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда
Дирихле [18] упростил доказательство Гаусса биквадратичного характера числа 2 (его доказательство требует только квадратичной взаимности для целых чисел) и представил результат в следующей форме:
Пусть p = a 2 + b 2 ≡ 1 (mod 4) простое число, и пусть i ≡ b / a (mod p ). потом
- (Обратите внимание, что i 2 ≡ −1 (mod p ).)
Фактически, [19] пусть p = a 2 + b 2 = c 2 + 2 d 2 = e 2 - 2 f 2 ≡ 1 (mod 8) простое число и a нечетное число. потом
- где - обычный символ Лежандра .
Выйдя за пределы символа 2, пусть простое число p = a 2 + b 2, где b четно, и пусть q такое простое число, что Квадратичная взаимность говорит, что где Пусть σ 2 ≡ p (mod q ). Тогда [20]
- Отсюда [21] следует, что
Первые несколько примеров: [22]
Эйлер предположил правила для 2, −3 и 5, но не доказал ни одного из них.
Дирихле [23] также доказал, что если p ≡ 1 (mod 4) простое и тогда
Это число было увеличено с 17 до 17, 73, 97 и 193 Брауном и Лемером. [24]
Burde
Существует ряд эквивалентных способов формулировки рационального биквадратичного закона взаимности Берде.
Все они предполагают, что p = a 2 + b 2 и q = c 2 + d 2 - простые числа, где b и d четные, и что
Версия Госсета - [9]
Положив i 2 ≡ −1 (mod p ) и j 2 ≡ −1 (mod q ), закон Фрелиха имеет вид [25]
Бурде изложил свое мнение в форме: [26] [27] [28]
Обратите внимание, что [29]
Разное
Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 4) простые числа, и предположим, что. Тогда e 2 = pf 2 + qg 2 имеет нетривиальные целочисленные решения, и [30]
Пусть p ≡ q ≡ 1 (mod 4) простые числа, и пусть p = r 2 + qs 2 . Тогда [31]
Пусть p = 1 + 4 x 2 простое число, a любое нечетное число, которое делит x , и пустьТогда [32] a * - биквадратичный вычет (mod p ).
Пусть p = a 2 + 4 b 2 = c 2 + 2 d 2 ≡ 1 (mod 8) простое число. Тогда [33] все делители c 4 - pa 2 являются биквадратичными вычетами (mod p ). То же верно для всех делителей d 4 - pb 2 .
Гауссовские целые числа
Задний план
В своей второй монографии о биквадратичной взаимности Гаусс приводит некоторые примеры и выдвигает гипотезы, из которых следует перечисленные выше теоремы о биквадратичности малых простых чисел. Он делает несколько общих замечаний и признает, что здесь нет очевидного общего правила. Он продолжает говорить
Теоремы о биквадратных вычетах проявляются с величайшей простотой и подлинной красотой только тогда, когда область арифметики расширяется до мнимых чисел, так что числа формы a + bi без ограничений составляют объект изучения ... мы называем такие числа целые комплексные числа . [34] [в оригинале выделено жирным шрифтом]
Эти цифры теперь называется кольцо из гауссовых целых чисел , обозначим через Z [ я ]. Обратите внимание, что i - это корень четвертой степени из 1.
В сноске он добавляет:
Теория кубических вычетов должна быть аналогичным образом основана на рассмотрении чисел вида a + bh, где h - мнимый корень уравнения h 3 = 1 ... и аналогично теория вычетов более высоких степеней приводит к введение других мнимых величин. [35]
Числа, составленные из кубического корня из единицы, теперь называются кольцом целых чисел Эйзенштейна . «Другие мнимые величины» , необходимые для «теории вычетов высших степеней» являются кольцом целых этого полех кругового чисел ; целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются простейшими примерами этого.
Факты и терминология
Гаусс развивает арифметическую теорию «целых комплексных чисел» и показывает, что она очень похожа на арифметику обычных целых чисел. [36] Именно здесь в математику были введены термины «единица», «ассоциированный», «норма» и «первичный».
Эти блоки являются числами , которые делят 1. [37] Они являются 1, я , -1, и - я . Они похожи на 1 и -1 в обычных целых числах в том, что они делят каждое число. Единицы - это степени i .
Дано число λ = a + bi , его сопряжение - a - bi, а его ассоциированные - четыре числа [37]
- λ = + a + bi
- я λ = - b + ai
- −λ = - a - bi
- - i λ = + b - ai
Если λ = a + bi , норма λ, записываемая как Nλ, - это число a 2 + b 2 . Если λ и μ - два целых гауссовских числа, Nλμ = Nλ Nμ; другими словами, норма мультипликативна. [37] Норма нуля равна нулю, норма любого другого числа - положительное целое число. ε является единицей тогда и только тогда, когда Nε = 1. Квадратный корень из нормы λ, неотрицательного действительного числа, которое может не быть гауссовым целым числом, является абсолютным значением лямбда.
Гаусс доказывает, что Z [ i ] является уникальной факторизационной областью, и показывает, что простые числа делятся на три класса: [38]
- 2 - частный случай: 2 = i 3 (1 + i ) 2 . Это единственное простое число в Z, которое делится на квадрат простого числа в Z [ i ]. В алгебраической теории чисел число 2 ветвится в Z [ i ].
- Положительные простые числа в Z ≡ 3 (mod 4) также являются простыми числами в Z [ i ]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа остаются инертными в Z [ i ].
- Положительные простые числа в Z ≡ 1 (mod 4) являются произведением двух сопряженных простых чисел в Z [ i ]. В алгебраической теории чисел говорят, что эти простые числа расщепляются в Z [ i ].
Таким образом, инертными простыми числами являются 3, 7, 11, 19, ..., а факторизация разделенных простых чисел равна
- 5 = (2 + я ) × (2 - я ),
- 13 = (2 + 3 я ) × (2-3 я ),
- 17 = (4 + я ) × (4 - я ),
- 29 = (2 + 5 i ) × (2-5 i ), ...
Ассоциированные и сопряженные простые числа также являются простыми числами.
Обратите внимание, что норма инертного простого числа q равна N q = q 2 ≡ 1 (mod 4); таким образом, норма всех простых чисел, кроме 1 + i и связанных с ним, равна 1 (mod 4).
Гаусс называет число в Z [ i ] нечетным, если его норма - нечетное целое число. [39] Таким образом, все простые числа, кроме 1 + i и его партнеров, нечетны. Произведение двух нечетных чисел является нечетным, а сопряжение и ассоциаты нечетного числа нечетными.
Чтобы сформулировать теорему об уникальной факторизации, необходимо иметь способ различать один из ассоциатов числа. Гаусс определяет [40] нечетное число как первичное, если оно ≡ 1 (mod (1 + i ) 3 ). Несложно показать, что у каждого нечетного числа есть ровно один первичный ассоциированный элемент. Нечетное число λ = a + bi является первичным, если a + b ≡ a - b ≡ 1 (mod 4); то есть, a 1 и b, 0, или a 3 и b ≡ 2 (mod 4). [41] Произведение двух первичных чисел первично, и сопряжение первичного числа также первично.
Теорема единственной факторизации [42] для Z [ i ] такова: если λ ≠ 0, то
где 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π i s - простые простые числа, а α i s ≥ 1, и это представление единственно с точностью до порядка множителей.
Понятия конгруэнции [43] и наибольший общий делитель [44] , определяются таким же образом , в Z [ я ] , поскольку они являются для обычных целых чисел Z . Поскольку единицы делят все числа, сравнение (mod λ) также истинно по модулю любого ассоциированного числа λ, и любой ассоциированный элемент НОД также является НОД.
Четвертый остаток
Гаусс доказывает аналог теоремы Ферма : если α не делится на нечетное простое число π, то [45]
Поскольку Nπ ≡ 1 (mod 4), имеет смысл, и для единственной единицы i k .
Эта единица называется характером четвертого или биквадратичного вычета α (mod π) и обозначается [46] [47]
Он имеет формальные свойства, аналогичные свойствам символа Лежандра . [48]
- Конгруэнтность разрешима в Z [ i ] тогда и только тогда, когда [49]
- где черта означает комплексное сопряжение .
- если π и θ ассоциаты,
- если α ≡ β (mod π),
Биквадратичный символ может быть расширен до нечетных составных чисел в «знаменателе» таким же образом, как символ Лежандра обобщается в символ Якоби . Как и в этом случае, если «знаменатель» является составным, символ может равняться единице без разрешимости сравнения:
- где
- Если a и b - обычные целые числа, a ≠ 0, | б | > 1, gcd ( a , b ) = 1, тогда [50]
Утверждения теоремы
Гаусс сформулировал закон биквадратичной взаимности в такой форме: [2] [51]
Пусть π и θ - различные простые числа Z [ i ]. потом
- если либо π, либо θ, либо оба равны ≡ 1 (mod 4), то но
- если π и θ равны ≡ 3 + 2 i (mod 4), то
Так же, как квадратичный закон взаимности для символа Лежандра справедлив и для символа Якоби, требование, чтобы числа были простыми, не требуется; достаточно, чтобы они были нечетными относительно простыми неединицами. [52] Вероятно, наиболее известное утверждение:
Пусть π и θ - первичные относительно простые неединицы. Тогда [53]
Существуют дополнительные теоремы [54] [55] для единиц и получетного простого числа 1 + i .
если π = a + bi - первичное простое число, то
и поэтому
Кроме того, если π = a + bi - первичное простое число и b ≠ 0, то [56]
- (если b = 0, символ равен 0).
Якоби определил π = a + bi первичным, если a 1 (mod 4). При такой нормировке закон принимает вид [57]
Пусть α = a + bi и β = c + di, где a ≡ c ≡ 1 (mod 4), а b и d - даже взаимно простые неединицы. потом
Следующая версия была найдена в неопубликованных рукописях Гаусса. [58]
Пусть α = a + 2 bi и β = c + 2 di, где a и c нечетные, взаимно простые неединицы. потом
Закон можно сформулировать без использования понятия первичного:
Если λ нечетно, пусть ε (λ) - единственная единица, конгруэнтная λ (mod (1 + i ) 3 ); т.е. ε (λ) = i k ≡ λ (mod 2 + 2 i ), где 0 ≤ k ≤ 3. Тогда [59] для нечетных и взаимно простых α и β, ни одно из которых не является единицей,
Для нечетного λ пусть Тогда, если λ и μ - взаимно простые неединицы, Эйзенштейн доказал [60]
Смотрите также
- Квадратичная взаимность
- Кубическая взаимность
- Octic взаимность
- Эйзенштейновская взаимность
- Артиновая взаимность
Заметки
- A. ^ Здесь «рациональный» означает законы, которые сформулированы в терминах обычных целых чисел, а не в терминах целых чисел некоторого поля алгебраических чисел .
Рекомендации
- ↑ Эйлер, Трактат , § 456.
- ^ a b Гаусс, BQ, § 67
- ^ Lemmermeyer, стр. 200
- ^ Эйзенштейн, Лоис де Реципрокит
- ↑ Эйзенштейн, Эйнфахер Бевейс ...
- ^ Эйзенштейн, Приложение де л'алгебр ...
- ^ Эйзенштейн, Beitrage zur Theorie der elliptischen ...
- ^ Lemmermeyer, стр. 199-202
- ^ a b Леммермейер, стр. 172
- ^ a b Гаусс, BQ § 2
- ^ Гаусс, BQ § 3
- ↑ Gauss, BQ §§ 4–7
- ^ Гаусс, BQ § 8
- ^ а б Гаусс, BQ § 10
- ↑ Gauss, DA Art. 182
- ↑ Gauss, DA, Art. 182
- ↑ Gauss BQ §§ 14–21
- ↑ Дирихле, Демонстрация ...
- ^ Lemmermeyer, Prop. 5.4
- ^ Lemmermeyer, Prop. 5.5
- ^ Lemmermeyer, Ex. 5,6
- ^ Lemmmermeyer, pp.159, 190
- ^ Dirichlet, Untersuchungen ...
- ^ Lemmermeyer, Ex. 5,19
- ^ Lemmermeyer, стр. 173
- ^ Lemmermeyer, стр. 167
- ^ Ирландия & Rosen pp.128-130
- ^ Бурде, К. (1969). "Ein Rationsales biquadratisches Reziprozitätsgesetz". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 235 : 175–184. Zbl 0169.36902 .
- ^ Lemmermeyer, Ex. 5,13
- ^ Lemmermeyer, Ex. 5.5
- ^ Lemmermeyer, Ex. 5.6, зачислено Брауну
- ^ Lemmermeyer, Ex. 6.5, зачислено Шарифи
- ^ Lemmermeyer, Ex. 6.11, зачислено Э. Лемеру
- ↑ Gauss, BQ, § 30, перевод в Cox, p. 83
- ↑ Gauss, BQ, § 30, перевод в Cox, p. 84
- ↑ Gauss, BQ, §§ 30–55
- ^ a b c Гаусс, BQ, § 31
- ↑ Gauss, BQ, §§ 33–34
- ^ Gauss, BQ, § 35. Он определяет «половинные» числа как числа, делящиеся на 1 + i, но не на 2, а «четные» числа как числа, делящиеся на 2.
- ^ Гаусс, BQ, § 36
- ^ Ирландия и Розен, гл. 9,7
- ^ Гаусс, BQ, § 37
- ↑ Gauss, BQ, §§ 38–45
- ↑ Gauss, BQ, §§ 46–47
- ^ Гаусс, BQ, § 51
- ^ Гаусс определил символ как показатель степени k, а не как единицу i k ; кроме того, у него не было символа для персонажа.
- ^ Не существует стандартной записи для символов высших остатков в разных доменах (см. Lemmermeyer, стр. Xiv); эта статья следует за Lemmermeyer, chs. 5–6
- ^ Ирландия и Розен, Предложение 9.8.3
- ^ Гаусс, BQ, § 61
- ^ Ирландия и Розен, Предложение 9.8.3, Леммермейер, Предложение 6.8
- ^ Доказательства в Lemmermeyer, гл. 6 и 8, Ирландия и Розен, гл. 9,7–9,10
- ^ Lemmermeyer, Th. 69.
- ^ Lemmermeyer, гл. 6, Ирландия и Розен гл. 9,7–9,10
- ^ Lemmermeyer, Th. 6,9; Ирландия и Розен, отл. 9,32–9,37
- ^ Гаусс доказывает закон для 1 + i в BQ, §§ 68–76.
- ^ Ирландия и Розен, Исх. 9.30; Леммермейер, Исх. 6.6, где указан Якоби
- ^ Lemmermeyer, Th. 6.9
- ^ Lemmermeyer, Ex. 6,17
- ^ Lemmermeyer, Ex. 6.18 и стр. 275
- ^ Lemmermeyer, гл. 8.4, Пр. 8,19
Литература
Ссылки на оригинальные статьи Эйлера, Дирихле и Эйзенштейна были скопированы из библиографий Леммермейера и Кокса и не использовались при подготовке этой статьи.
Эйлер
- Эйлер, Леонард (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Комментарий. Арифмет. 2
На самом деле это было написано в 1748–1750 годах, но было опубликовано только посмертно; Это в томе V, стр. 182–283 из
- Эйлер, Леонард (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I – V , Leipzig & Berlin: Teubner
Гаусс
Две опубликованные Гауссом монографии по биквадратичной взаимности имеют последовательно пронумерованные разделы: первая содержит §§ 1–23, а вторая §§ 24–76. Ссылки на них имеют форму «Gauss, BQ, § n ». Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae, имеют форму «Gauss, DA, Art. N ».
- Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria резидуум biquadraticorum, Commentatio prima , Геттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 6
- Гаусс, Карл Фридрих (1832), Theoria резидуум biquadraticorum, Commentatio secunda , Геттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 7
Это в Werke Гаусса , том II, стр. 65–92 и 93–148.
Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 следующих статей, где также есть Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи Гаусса по теории чисел.
- Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Х. (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание) , Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8
Эйзенштейн
- Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844), Lois de réciprocité (PDF) , J. Reine Angew. Математика. 28, стр. 53–67 (журнал Crelle).
- Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste , J. Reine Angew. Математика. 28 стр. 223–245 (журнал Crelle)
- Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante , J. Reine Angew. Математика. 29 с. 177–184 (журнал Crelle)
- Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformations . Математика. 30 с. 185–210 (Журнал Crelle)
Все эти документы находятся в томе I его Werke .
Дирихле
- Дирихле, Пьер Гюстав ЛеЖён (1832), Демонстрация собственного собственного аналога à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques , J. Reine Angew. Математика. 9 стр. 379–389 (журнал Crelle)
- Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen , Abh. Königl. Preuss. Акад. Wiss. стр. 101–121
оба они находятся в томе I его Werke .
Современные авторы
- Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x 2 + ny 2 , Нью-Йорк: Wiley, ISBN 0-471-50654-0
- Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Спрингер , ISBN 0-387-97329-X
- Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Биквадратная теорема взаимности" . MathWorld .
Эти две статьи Франца Леммермейера содержат доказательства закона Бурде и связанных с ним результатов:
- Рациональная квартирная взаимность
- Рациональная квартика взаимности II