Принцип ипподрома

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В исчислении , то принцип ипподрома описывает движение и рост двух функций в терминах их производных .

Этот принцип основан на том факте, что если лошадь по имени Фрэнк Флитфит всегда бежит быстрее, чем лошадь по имени Грег Гузелег, то если Фрэнк и Грег начинают гонку с одного и того же места и в одно и то же время, то Фрэнк выигрывает. Короче говоря, лошадь, которая быстро стартует и остается быстрой, побеждает.

В символах:

если для всех , а если , то для всех .${\ displaystyle f '(x)> g' (x)}$${\ displaystyle x> 0}$${\ Displaystyle f (0) = г (0)}$${\ Displaystyle е (х)> г (х)}$${\ displaystyle x> 0}$

или замена ≥ на> дает теорему

если для всех , а если , то для всех .${\ Displaystyle е '(х) \ geq g' (х)}$${\ displaystyle x> 0}$${\ Displaystyle f (0) = г (0)}$${\ Displaystyle е (х) \ geq g (х)}$${\ Displaystyle х \ geq 0}$

что доказывается аналогично

Доказательство [ править ]

Этот принцип можно доказать, рассмотрев функцию h (x) = f (x) - g (x). Если бы мы взяли производную, мы бы заметили, что при x> 0

${\ displaystyle h '= f'-g'> 0.}$

Также обратите внимание, что h (0) = 0. Комбинируя эти наблюдения, мы можем использовать теорему о среднем значении на интервале [0, x] и получить

${\ displaystyle h '(x_ {0}) = {\ frac {h (x) -h (0)} {x-0}} = {\ frac {f (x) -g (x)} {x} }> 0.}$

По предположению, умножение обеих частей на дает f (x) - g (x)> 0. Отсюда следует, что f (x)> g (x).${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle x}$

Обобщения [ править ]

Утверждение принципа ипподрома можно немного обобщить следующим образом;

если для всех , а если , то для всех .${\ displaystyle f '(x)> g' (x)}$${\ displaystyle x> a}$${\ Displaystyle е (а) = г (а)}$${\ Displaystyle е (х)> г (х)}$${\ displaystyle x> a}$

как и выше, замена ≥ на> дает теорему

если для всех , а если , то для всех .${\ Displaystyle е '(х) \ geq g' (х)}$${\ displaystyle x> a}$${\ Displaystyle е (а) = г (а)}$${\ Displaystyle е (х) \ geq g (х)}$${\ displaystyle x> a}$

Доказательство [ править ]

Это обобщение может быть доказано из принципа ипподрома следующим образом:

Рассмотрим функции и . Учитывая, что для всех , и ,${\ displaystyle f_ {2} (x) = f (xa)}$${\ displaystyle g_ {2} (x) = g (xa)}$${\ displaystyle f '(x)> g' (x)}$${\ displaystyle x> a}$${\ Displaystyle е (а) = г (а)}$

${\ displaystyle f_ {2} '(x)> g_ {2}' (x)}$для всех , и , что, согласно приведенному выше доказательству принципа ипподрома, означает для всех так для всех .${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle f_ {2} (0) = g_ {2} (0)}$${\ displaystyle f_ {2} (x)> g_ {2} (x)}$${\ displaystyle x> 0}$${\ Displaystyle е (х)> г (х)}$${\ displaystyle x> a}$

Заявление [ править ]

Принцип ипподрома можно использовать для доказательства леммы, необходимой для того, чтобы показать, что экспоненциальная функция растет быстрее, чем любая степенная функция. Требуемая лемма состоит в том, что

${\ displaystyle e ^ {x}> x}$

для всех реальных x. Это очевидно для x <0, но принцип ипподрома требуется для x> 0. Чтобы увидеть, как он используется, мы рассмотрим функции

${\ Displaystyle е (х) = е ^ {х}}$

а также

${\ displaystyle g (x) = x + 1.}$

Обратите внимание, что f (0) = g (0) и что

${\ displaystyle e ^ {x}> 1}$

потому что экспоненциальная функция всегда возрастает ( монотонно ) так . Таким образом, по принципу ипподрома f (x)> g (x). Таким образом,${\ displaystyle f '(x)> g' (x)}$

${\ displaystyle e ^ {x}> x + 1> x}$

для всех x> 0.

Ссылки [ править ]

• Дебора Хьюз-Халлет и др., Calculus .