Сравнение Рамануджана

В математике , конгруэнции Рамануйяна некоторые замечательные сравнения для функции разбиения р ( п ). Математик Шриниваса Рамануджан открыл сравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

Это значит, что:

• Если число на 4 больше, чем кратное 5, т.е. оно входит в последовательность

4, 9, 14, 19, 24, 29,. . .

то количество его разделов кратно 5.

• Если число на 5 больше, чем кратное 7, т.е. оно входит в последовательность

5, 12, 19, 26, 33, 40,. . .

то количество его разделов кратно 7.

• Если число на 6 больше, чем кратное 11, то есть оно входит в последовательность

6, 17, 28, 39, 50, 61,. . .

то количество его разделов кратно 11.

Фон [ править ]

В своей статье 1919 года ^[1] он доказал первые две конгруэнции, используя следующие тождества (используя обозначение символа q-Поххаммера ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

Затем он заявил, что «похоже, что нет столь же простых свойств для любых модулей, включающих простые числа, кроме этих».

После смерти Рамануджана в 1920 году Г. Х. Харди извлек доказательства всех трех сопоставлений из неопубликованной рукописи Рамануджана на p ( n ) (Ramanujan, 1921). Доказательство в этой рукописи использует серию Эйзенштейна .

В 1944 году Фримен Дайсон определил ранговую функцию и предположил существование кривошипной функции для разбиений, которая обеспечила бы комбинаторное доказательство сравнений Рамануджана по модулю 11. Сорок лет спустя Джордж Эндрюс и Фрэнк Гарван нашли такую ​​функцию и доказали знаменитый результат. что кривошип одновременно «объясняет» три сравнения Рамануджана по модулю 5, 7 и 11.

В 1960-х годах AOL Atkin из Иллинойского университета в Чикаго обнаружил дополнительные сравнения для малых простых модулей. Например:

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

Расширяя результаты А. Аткина, Кен Оно в 2000 году доказал, что существуют такие сравнения Рамануджана по модулю каждого целого числа, взаимно простого с 6. Например, его результаты дают

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

Позже Кен Оно предположил, что неуловимый кривошип также удовлетворяет точно таким же типам общих конгруэнций. Это доказал его доктор философии. студент Карл Малбург в своей статье 2005 года « Конгруэнции разбиения и кривую Эндрюса – Гарвана – Дайсона» , ссылка на которую приводится ниже. Эта статья получила первую премию " Работа года" Национальной академии наук . ^[2]

Концептуальное объяснение наблюдения Рамануджана было наконец обнаружено в январе 2011 г. ^[3] путем рассмотрения размерности Хаусдорфа следующей функции в l-адической топологии:${\displaystyle P}$

${\displaystyle P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

Видно, что размерность 0 только в тех случаях, когда ℓ  = 5, 7 или 11, и поскольку статистическая сумма может быть записана как линейная комбинация этих функций ^[4], это можно рассматривать как формализацию и доказательство наблюдения Рамануджана.

В 2001 году Р.Л. Уивер дал эффективный алгоритм для поиска конгруэнций статистической суммы и свел в таблицу 76065 сравнений. ^[5] Это было расширено в 2012 году Ф. Йоханссоном до 22 474 608 014 сравнений, ^[6] одним из крупных примеров является

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

См. Также [ править ]

• Тау-функция , для которой существуют другие так называемые сравнения Рамануджана
• Ранг раздела
• Кривошип перегородки

Ссылки [ править ]

• Оно, Кен (2000). «Распределение статистической суммы по модулю m» . Анналы математики . Вторая серия. 151 (1): 293–307. arXiv : math / 0008140 . Bibcode : 2000math ...... 8140O . DOI : 10.2307 / 121118 . JSTOR  121118 . S2CID  119750203 . Zbl  0984.11050 .
• Оно, Кен (2004). Сеть модульности: арифметика коэффициентов модулярных форм и q-рядов . Серия региональных конференций CBMS по математике. 102 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3368-1. Zbl  1119.11026 .
• Рамануджан, С. (1919). «Некоторые свойства p (n), количество разбиений n». Труды Кембриджского философского общества . 19 : 207–210. JFM  47.0885.01 .

Внешние ссылки [ править ]

• Мальбург, К. (2005). «Конгруэнции разбиения и кривошип Эндрюса – Гарвана – Дайсона» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15373–76. Bibcode : 2005PNAS..10215373M . DOI : 10.1073 / pnas.0506702102 . PMC  1266116 . PMID  16217020 .
• Ранг, чудак и соплеменник Дайсона . Список литературы.