Сумма Рамануджана

В теории чисел , разделе математики , сумма Рамануджана , обычно обозначаемая c _q ( n ), является функцией двух положительных целых переменных q и n, определяемых формулой:

${\ displaystyle c_ {q} (n) = \ sum _ {1 \ leq a \ leq q \ atop (a, q) = 1} e ^ {2 \ pi i {\ tfrac {a} {q}} n },}$

где ( a , q ) = 1 означает, что a принимает только значения, взаимно простые с q .

Шриниваса Рамануджан упомянул суммы в газете 1918 года. ^[1] Помимо разложений, обсуждаемых в этой статье, суммы Рамануджана используются в доказательстве теоремы Виноградова о том, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел . ^[2]

Обозначение [ править ]

Для целых чисел через и Ь , читается « делит Ь » и означает , что Существует целое с такой , что б = ас . Точно так же, читается « не делит Ъ ». Символ суммирования${\ displaystyle a \ mid b}$${\displaystyle a\nmid b}$

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

означает, что d проходит через все положительные делители числа m , например

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)}$является наибольшим общим делителем ,

${\displaystyle \phi (n)}$- функция Эйлера ,

${\displaystyle \mu (n)}$- функция Мёбиуса , а

${\displaystyle \zeta (s)}$- дзета-функция Римана .

Формулы для c _q ( n ) [ править ]

Тригонометрия [ править ]

Эти формулы происходят из определения, формулы Эйлера и элементарных тригонометрических тождеств.${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

и так далее ( OEIS :  A000012 , OEIS :  A033999 , OEIS :  A099837 , OEIS :  A176742 , .., OEIS :  A100051 , ...) Они показывают, что c _q ( n ) всегда реально.

Kluyver [ править ]

Пусть Тогда ζ _q является корнем уравнения x ^q - 1 = 0 . Каждая из его способностей,${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

тоже корень. Следовательно, поскольку их q , все они являются корнями. Числа, в которых 1 ≤ n ≤ q , называются корнями q -й степени из единицы . ζ _q называется примитивным корнем q -й степени из единицы, потому что наименьшее значение n, которое составляет, равно q . Другие примитивные корни q -й степени из единицы - это числа, в которых ( a , q ) = 1. Следовательно, существуют примитивные корни q -й степени из единицы φ ( q ) .${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$

Таким образом, сумма Рамануджана c _q ( n ) является суммой n-й степени первообразных корней q-й степени из единицы.

Фактом ^{[3] является} то, что степени ζ _q являются в точности первообразными корнями для всех делителей числа q .

Пример. Пусть q = 12. Тогда

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$и являются первобытными корнями двенадцатой степени из единицы,${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$и являются первобытными шестыми корнями единства,${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$и являются первобытными корнями четвертой степени единства,${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$и являются примитивными третьими корнями единства,${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$ является примитивным вторым корнем из единицы, и

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$ - это первобытный корень единства.

Следовательно, если

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

является суммой n -й степени всех корней, примитивных и импримитивных,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

и Мёбиуса инверсии ,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

Из тождества x ^q - 1 = ( x - 1) ( x ^{q −1} + x ^{q −2} + ... + x + 1) следует, что

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

и это приводит к формуле

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

опубликовано Клюйвером в 1906 г. ^[4]

Это показывает, что c _q ( n ) всегда целое число. Сравните это с формулой

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

фон Стернек [ править ]

Из определения легко показать, что c _q ( n ) является мультипликативным, если рассматривать его как функцию от q для фиксированного значения n : ^[5] т.е.

${\displaystyle {\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

Из определения (или формулы Клюйвера) легко доказать, что если p - простое число,

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

и если p ^k - степень простого числа, где k > 1,

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Этот результат и свойство мультипликативности могут быть использованы для доказательства

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

Это называется арифметической функцией фон Стернека. ^[6] Эквивалентность этой суммы и суммы Рамануджана принадлежит Гёльдеру. ^{[7] [8]}

Другие свойства c _q ( n ) [ править ]

Для всех натуральных чисел ц ,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

Для фиксированного значения q абсолютное значение последовательности ограничено φ ( q ), а для фиксированного значения n абсолютное значение последовательности ограничено n .${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$

Если q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Пусть m ₁ , m ₂ > 0, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ). Тогда ^[9] суммы Рамануджана удовлетворяют свойству ортогональности :

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пусть n , k > 0. Тогда ^[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

известный как Брауэр - Радемахер идентичность.

Если n > 0 и a - любое целое число, мы также имеем ^[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

из-за Коэна.

Таблица [ править ]

Расширения Рамануджана [ править ]

Если f ( n ) является арифметической функцией (т. Е. Комплексной функцией целых или натуральных чисел), то сходящийся бесконечный ряд вида:

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

или в форме:

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

где a _k ∈ C , называется разложением Рамануджана ^[12] функции f ( n ).

Рамануджан нашел расширения некоторых хорошо известных функций теории чисел. Все эти результаты доказываются "элементарным" способом (т.е. только с использованием формальных манипуляций с рядами и простейших результатов о сходимости). ^{[13] [14] [15]}

Разложение нулевой функции зависит от результата аналитической теории простых чисел, а именно от того, что ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

сходится к 0, а результаты для r ( n ) и r ′ ( n ) зависят от теорем из более ранней статьи. ^[16]

Все формулы в этом разделе взяты из статьи Рамануджана 1918 года.

Генерация функций [ править ]

В производящие функции этих Рамануджана сумм рядов Дирихле :

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

является производящей функцией для последовательности c _q (1), c _q (2), ... где q остается постоянным, и

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

является производящей функцией для последовательности c ₁ ( n ), c ₂ ( n ), ... где n остается постоянным.

Также существует двойная серия Дирихле.

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

σ _k ( n ) [ править ]

σ _k ( n ) - функция делителя (т. е. сумма k -й степени делителей числа n , включая 1 и n ). σ ₀ ( n ), число делителей числа n , обычно записывается как d ( n ), а σ ₁ ( n ), сумма делителей числа n , обычно записывается как σ ( n ).

Если s > 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Установка s = 1 дает

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

Если гипотеза Римана верна и${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

d ( n ) [ править ]

d ( n ) = σ ₀ ( n ) - количество делителей числа n , включая 1 и само n .

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

где γ = 0,5772 ... постоянная Эйлера – Маскерони .

φ ( n ) [ править ]

Общая функция Эйлера φ ( n ) - это количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n . Рамануджан определяет его обобщение, если

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

- разложение числа n на простые множители , а s - комплексное число, пусть

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

так что φ ₁ ( n ) = φ ( n ) - функция Эйлера. ^[17]

Он доказывает, что

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

и использует это, чтобы показать, что

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

Полагая s = 1,

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

Обратите внимание, что константа является обратной ^[18] константе в формуле для σ ( n ).

Λ ( n ) [ править ]

Функция фон Мангольдта Λ ( n ) = 0, если n = p ^{k не} является степенью простого числа, и в этом случае это натуральный логарифм log p .

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

Ноль [ править ]

Для всех n > 0

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

Это эквивалентно теореме о простых числах . ^{[19] [20]}

r _{2 s} ( n ) (сумма квадратов) [ править ]

r _{2 s} ( n ) - это количество способов представления n как суммы 2 s квадратов , считая разные порядки и знаки как разные (например, r ₂ (13) = 8, так как 13 = (± 2) ² + ( ± 3) ² = (± 3) ² + (± 2) ^2. )

Рамануджан определяет функцию δ _{2 s} ( n ) и ссылается на статью ^[21], в которой он доказал, что r _{2 s} ( n ) = δ _{2 s} ( n ) для s = 1, 2, 3 и 4. Для s > 4 он показывает, что δ _{2 s} ( n ) является хорошим приближением к r _{2 s} ( n ).

s = 1 имеет специальную формулу:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).}$

В следующих формулах знаки повторяются с периодом 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$

и поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$(суммы треугольников) [ править ]

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$- количество способов, которыми n может быть представлено как сумма 2 s треугольных чисел (т.е. чисел 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15,. ..; n-е треугольное число задается формулой n ( n + 1) / 2.)

Анализ здесь аналогичен анализу квадратов. Рамануджан ссылается на ту же статью, что и для квадратов, где он показал, что существует функция, такая, что для s = 1, 2, 3 и 4, а для s > 4 является хорошим приближением к${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

Опять же, s = 1 требует специальной формулы:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

Если s делится на 4,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Суммы [ править ]

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

Тогда для й > 1 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Гауссов период
• Сумма Клоостермана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Харди, Г. Х. (1999), Рамануджан: Двенадцать лекций по предметам, предложенным его жизнью и работой , Провиденс, Род-Айленд: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2023-0

• Харди, GH ; Райт, EM (1979) [1938]. Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0. Руководство по ремонту  0568909 . Zbl  0423.10001 .
• Кнопфмахер, Джон (1990) [1975], Абстрактная аналитическая теория чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-66344-2, Zbl  0743,11002

• Натансон, Мелвин Б. (1996), Аддитивная теория чисел: классические основы , выпускные тексты по математике, 164 , Springer-Verlag, раздел A.7, ISBN 0-387-94656-X, Zbl  0859,11002.
• Николь, Калифорния (1962). «Некоторые формулы, включающие суммы Рамануджана». Может. J. Math . 14 : 284–286. DOI : 10,4153 / CJM-1962-019-8 .

• Рамануджан, Шриниваса (1918), «О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях в теории чисел», Труды Кембриджского философского общества , 22 (15): 259–276(стр. 179–199 из его Сборника статей )

• Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Труды Кембриджского философского общества , 22 (9): 159–184(стр. 136–163 из его Сборника статей )

• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6

• Шварц, Вольфганг; Спилкер, Юрген (1994), Арифметические функции. Введение в элементарные и аналитические свойства арифметических функций и некоторые из их почти периодических свойств , Серия лекций Лондонского математического общества, 184 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807,11001

Внешние ссылки [ править ]

• Тот, Ласло (2011). «Суммы произведений сумм Рамануджана». Annali dell'universita 'di Ferrara . 58 : 183–197. arXiv : 1104.1906 . DOI : 10.1007 / s11565-011-0143-3 . S2CID  119134250 .