Случайная прогулка

---

В математике случайное блуждание , иногда называемое блужданием пьяницы , — это случайный процесс , описывающий путь, состоящий из последовательности случайных шагов в некотором математическом пространстве .

Элементарным примером случайного блуждания является случайное блуждание по прямой с целыми числами , которая начинается с 0 и на каждом шаге перемещается на +1 или -1 с равной вероятностью . Другие примеры включают путь, прослеживаемый молекулой при ее движении в жидкости или газе (см. Броуновское движение ), путь поиска животного - фуражника или колеблющуюся цену акций и финансовое положение игрока . Случайные блуждания применяются в технике и во многих научных областях, включая экологию , психологию , информатику , физику , химию , биологию , экономику и социологию . Термин «случайное блуждание» был впервые введен Карлом Пирсоном в 1905 году. ^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Популярной моделью случайного блуждания является модель случайного блуждания по регулярной решетке, где на каждом шаге местоположение переходит в другой узел в соответствии с некоторым распределением вероятностей. При простом случайном блуждании местоположение может переходить только на соседние узлы решетки, образуя путь решетки . В простом симметричном случайном блуждании по локально конечной решетке вероятности перехода местоположения к каждому из его непосредственных соседей одинаковы. Наиболее изученным примером является случайное блуждание по d -мерной целочисленной решетке (иногда называемой гиперкубической решеткой) . ^[2]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Если пространство состояний ограничено конечными размерами, модель случайного блуждания называется простым симметричным случайным блужданием с границей , а вероятности перехода зависят от местоположения состояния, поскольку в краевых и угловых состояниях движение ограничено. ^[3]

Элементарным примером случайного блуждания является случайное блуждание по строке целых чисел, которое начинается с 0 и на каждом шаге перемещается на +1 или -1 с равной вероятностью.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Эту прогулку можно проиллюстрировать следующим образом. Маркер ставится на нулевую позицию на числовой прямой и подбрасывается честная монета. Если выпадает решка, маркер перемещается на одну единицу вправо. Если выпадает решка, маркер перемещается на одну единицу влево. После пяти бросков маркер теперь может оказаться на -5, -3, -1, 1, 3, 5. При пяти бросках, трех орлах и двух решках в любом порядке он приземлится на 1. Существует 10 способов приземление на 1 (подбрасывая три орла и две решки), 10 способов приземления на −1 (подбрасывая три решки и две решки), 5 способов приземления на 3 (подбрасывая четыре орла и одну решку), 5 способов приземления на -3 (подбрасывая четыре решки и одну решку), 1 способ приземления на 5 (подбрасывая пять решок) и 1 способ приземления на -5 (подбрасывая пять решок). На рисунке ниже показаны возможные результаты 5 бросков.

---