Энтропия плотности периода повторяемости

Энтропия плотности периода повторения ( RPDE ) - это метод в области динамических систем , случайных процессов и анализа временных рядов для определения периодичности или повторяемости сигнала.

Обзор [ править ]

Энтропия плотности периода повторения полезна для характеристики степени, в которой временной ряд повторяет одну и ту же последовательность, и поэтому аналогична линейной автокорреляции и взаимной информации с задержкой по времени , за исключением того, что она измеряет повторяемость в фазовом пространстве системы и, таким образом, является более надежная мера, основанная на динамике базовой системы, которая генерировала сигнал. Его преимущество состоит в том, что он не требует предположений о линейности , гауссовости или динамическом детерминизме. Он был успешно использован для обнаружения отклонений в биомедицинском контексте, таких как речевой сигнал. ^{[1] [2]}

Значение RPDE - это скаляр в диапазоне от нуля до единицы. Для чисто периодических сигналов, , тогда как для чисто IID , равномерный белый шум , . ^[2]${\ displaystyle \ scriptstyle H _ {\ mathrm {norm}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle H _ {\ mathrm {norm}} = 0}$${\ Displaystyle \ scriptstyle H _ {\ mathrm {norm}} \ приблизительно 1}$

Как RPDE ранжирует сигналы по их периодичности в фазовом пространстве. Маленькие панели представляют собой изображения временных рядов, а крупная шкала в середине - это значение RPDE. Можно видеть, что чисто периодические сигналы, независимо от содержания гармоник в спектральном смысле, имеют нулевое значение RPDE. Случайно-принудительные периодические колебания имеют более высокое значение, за ними следуют хаотические системы, случайно-принудительные линейные резонаторы, автокоррелированные случайные процессы, а в крайнем случае однородный случайный шум имеет значение RPDE, равное почти единице.

Описание метода [ править ]

Метод RPDE сначала требует вложения временного ряда в фазовое пространство , которое, согласно стохастическим расширениям теорем вложения Такена, может быть выполнено путем формирования векторов с запаздыванием по времени:

${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {n} = [x_ {n}, x_ {n + \ tau}, x_ {n + 2 \ tau}, \ ldots, x_ {n + (M-1) \ tau}] }$

для каждого значения x _n во временном ряду, где M - размерность внедрения , а τ - задержка внедрения. Эти параметры получаются путем систематического поиска оптимального набора (из-за отсутствия практических методов вложения параметров для стохастических систем) (Stark et al. 2003). Затем вокруг каждой точки фазового пространства формируется -окрестность ( m -мерный шар с этим радиусом), и каждый раз, когда временной ряд возвращается к этому шару, после того, как он покинул его, разница во времени T между последовательными возвратами равна записывается в гистограмму . Эта гистограмма нормализована до суммы на единицу, чтобы сформировать оценку${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {X} _ {n}}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$функция плотности периода повторения P ( T ). Нормализованная энтропия этой плотности:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {norm}} = - (\ ln {T _ {\ max})} ^ {- 1} \ sum _ {t = 1} ^ {T _ {\ max}} P (t) \ ln {P (t)}}$

- значение RPDE, где - наибольшее значение повторения (обычно порядка 1000 выборок). ^[2] Обратите внимание, что RPDE предназначен для применения как к детерминированным, так и к стохастическим сигналам, поэтому, строго говоря, исходная теорема вложения Такена не применяется и требует некоторой модификации. ^[3]${\displaystyle \scriptstyle T_{\max }}$

Наглядное описание вычислений, необходимых для нахождения значения RPDE. Во-первых, временной ряд - это временная задержка, встроенная в восстановленное фазовое пространство. Затем вокруг каждой точки во вложенном фазовом пространстве создается повторяющаяся окрестность радиуса . Все повторения в этой окрестности отслеживаются, и временной интервал T между повторениями записывается в гистограмму. Эта гистограмма нормализована для создания оценки функции плотности периода повторения P ( T ). Нормализованная энтропия этой плотности является значением RPDE .${\displaystyle \scriptstyle \varepsilon }$${\displaystyle \scriptstyle H_{\mathrm {norm} }}$

RPDE на практике [ править ]

RPDE обладает способностью обнаруживать тонкие изменения в естественных биологических временных рядах, такие как нарушение регулярных периодических колебаний аномальной сердечной функции, которые трудно обнаружить с помощью классических инструментов обработки сигналов, таких как преобразование Фурье или линейное прогнозирование . Плотность периода повторения является разреженным представлением для нелинейных, негауссовских и недетерминированных сигналов, тогда как преобразование Фурье разрежено только для чисто периодических сигналов.

Значения RPDE для ЭКГ с нормальным синусовым ритмом и для ЭКГ пациента с апноэ во сне. Временные ряды (графики с синими следами) и спектры (графики с черными следами) относительно трудно различить, тем не менее, значения RPDE достаточно различаются, чтобы обнаружить аномалию несложно.${\displaystyle H_{norm}}$

См. Также [ править ]

• График повторения, мощный инструмент визуализации повторений в динамических (и других) системах. ^[4]
• Количественный анализ повторяемости, еще один подход к количественной оценке свойств повторяемости.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Быстрый код MATLAB для вычисления значения RPDE.
• http://www.recurrence-plot.tk/