В квантовой механике , то уравнение Редфилда является марковским управляющим уравнением , которое описывает эволюцию во время уменьшенной матрицы плотности р из сильно связанной квантовой системы , которая слабо соединена с внешней средой. Уравнение названо в честь Альфреда Дж. Редфилда, который первым применил его для спектроскопии ядерного магнитного резонанса . [1]
Существует тесная связь с основным уравнением Линдблада . Если выполняется так называемое секулярное приближение, при котором сохраняются только определенные резонансные взаимодействия с окружающей средой, каждое уравнение Редфилда трансформируется в основное уравнение типа Линдблада.
Уравнения Редфилда сохраняют след и правильно создают термализованное состояние для асимптотического распространения. Однако, в отличие от уравнений Линдблада, уравнения Редфилда не гарантируют положительную временную эволюцию матрицы плотности. То есть во время эволюции можно получить отрицательные популяции. Уравнение Редфилда приближается к правильной динамике при достаточно слабой связи с окружающей средой.
Общий вид уравнения Редфилда имеет вид
где - эрмитов гамильтониан, а - операторы, описывающие связь с окружающей средой. Их явный вид приведен в выводе ниже.
Вывод
Рассмотрим квантовую систему, связанную с окружающей средой с полным гамильтонианом . Кроме того, мы предполагаем, что гамильтониан взаимодействия можно записать в виде, где действуют только на степени свободы системы, только по степени свободы среды.
Отправной точкой теории Редфилда является уравнение Накадзимы – Цванцига с проектирование на оператор равновесной плотности среды и лечится до второго порядка. [2] Эквивалентный вывод начинается с теории возмущений второго порядка по взаимодействию. [3] В обоих случаях результирующее уравнение движения для оператора плотности в картине взаимодействия (с) является
Здесь, - некоторый начальный момент времени, когда предполагается, что общее состояние системы и ванны факторизовано, и мы ввели корреляционную функцию ванны в терминах оператора плотности среды в тепловом равновесии, .
Это уравнение нелокально по времени: чтобы получить производную оператора приведенной плотности в момент времени t, нам нужны его значения во все прошлые моменты времени. Таким образом, ее нелегко решить. Чтобы построить приближенное решение, обратите внимание, что есть две шкалы времени: типичное время релаксации который дает временную шкалу, в которой среда влияет на эволюцию системного времени, и время когерентности среды, это дает типичный временной масштаб, на котором корреляционные функции затухают. Если отношение
то подынтегральное выражение становится приблизительно равным нулю до того, как оператор плотности картины взаимодействия существенно изменится. В этом случае так называемое марковское приближениедержит. Если мы также переедем и изменим переменную интегрирования , мы получаем главное уравнение Редфилда
Мы можем значительно упростить это уравнение, если воспользуемся ярлыком . На изображении Шредингера уравнение выглядит следующим образом:
Светское приближение
Светское (от латинского : Saeculum - век) приближение приближения действует в течение длительного времени. Временная эволюция тензора релаксации Редфилда не учитывается, поскольку уравнение Редфилда описывает слабую связь с окружающей средой. Поэтому предполагается, что тензор релаксации медленно изменяется во времени, и его можно считать постоянным на протяжении всего взаимодействия, описываемого гамильтонианом взаимодействия . В общем, временная эволюция приведенной матрицы плотности может быть записана для элемента в виде
( 1 )
где - не зависящий от времени тензор релаксации Редфилда.
Учитывая, что фактическая связь с окружающей средой является слабой (но нельзя пренебречь), тензор Редфилда представляет собой небольшое возмущение гамильтониана системы, и решение может быть записано как
где не постоянная, а медленно меняющаяся амплитуда, отражающая слабую связь с окружающей средой. Это тоже форма картины взаимодействия , отсюда и индекс «I». [примечание 1]
Взяв производную от и подставив уравнение ( 1 ) для, остаётся только релаксационная часть уравнения
- .
Мы можем проинтегрировать это уравнение при условии, что картина взаимодействия приведенной матрицы плотности медленно меняется во времени (что верно, если мала), то , получающий
где .
В пределах приближаясь к нулю, дробь подходы , поэтому вклад одного элемента приведенной матрицы плотности в другой элемент пропорционален времени (и, следовательно, доминирует в течение длительного времени ). В случае не приближается к нулю, вклад одного элемента приведенной матрицы плотности в другой колеблется с амплитудой, пропорциональной (и поэтому долгое время незначительно ). Поэтому целесообразно пренебречь вкладом недиагональных элементов () к другим недиагональным элементам () и из недиагональных элементов () к диагональным элементам (, ), поскольку единственный случай равенства частот разных мод - случайное вырождение . Таким образом, в тензоре Редфилда для оценки после секулярного приближения остаются только следующие элементы:
- - перемещение населения из одного государства в другое (из к )
- - константа депопуляции государства
- - чистая дефазировка элемента (расфазировка когерентности).
Заметки
- ^ Картина взаимодействия описывает эволюцию матрицы плотности в «системе отсчета», где изменения из-за гамильтонианане проявляются. По сути, это то же преобразование, что и вход во вращающуюся систему отсчета для решения проблемы комбинированного вращательного движения в классической механике. Тогда картина взаимодействия описывает только огибающую временной эволюции матрицы плотности, где проявляются только более тонкие эффекты гамильтониана возмущения. Математическая формула для перехода от картины Шредингера к картине взаимодействия имеет вид, которое имеет ту же форму, что и это уравнение.
Рекомендации
- ^ Редфилд, AG (1965-01-01). «Теория релаксационных процессов». Достижения в области магнитного и оптического резонанса . 1 : 1–32. DOI : 10.1016 / B978-1-4832-3114-3.50007-6 . ISBN 9781483231143. ISSN 1057-2732 .
- ^ Волкхард Мэй, Оливер Куэн: динамика переноса заряда и энергии в молекулярных системах. Вайли-ВЧ, 2000 г. ISBN 3-527-29608-5
- ^ Хайнц-Питер Брейер, Франческо Петруччоне: Теория открытых квантовых систем. Оксфорд, 2002 г. ISBN 978-0-19-852063-4
Внешние ссылки
- brmesolve программа для решения основных уравнений Блоха-Редфилда от QuTiP .