Центральная простая алгебра
В теории колец и смежных областях математики центральная простая алгебра ( CSA ) над полем K представляет собой конечномерную ассоциативную K - алгебру A , которая является простой и для которой центром является именно K. (Обратите внимание, что не каждая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром: например, если K — поле характеристики 0, то алгебра Вейля — простая алгебра с центром K , но не является центральной простой алгеброй над K, поскольку он имеет бесконечную размерность как K -модуль.)
![{\displaystyle K[X,\partial _{X}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac67a6a2a1701b59391f32993f53fd1ff670b27)
Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над действительными числами R (центром C является весь C , а не только R ). Кватернионы H образуют 4-мерный CSA над R и фактически представляют собой единственный нетривиальный элемент группы Брауэра действительных чисел (см. ниже).
Даны две центральные простые алгебры A ~ M ( n , S ) и B ~ M ( m , T ) над одним и тем же полем F , A и B называются подобными (или Брауэровскими эквивалентами ), если их тела S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над данным полем F при этом отношении эквивалентности может быть снабжено групповой операцией , заданной тензорным произведением алгебр . Полученная группа называется группой Брауэра Br ( F ) поля F. [1] Это всегда периодическая группа . [2]
Поле E назовем полем разложения для A над K , если A ⊗ E изоморфно кольцу матриц над E . Каждое конечномерное CSA имеет поле разложения: действительно, в случае, когда A — тело алгебры, то максимальное подполе в A является полем разложения. Вообще по теоремам Веддерберна и Кете существует поле разложения, которое является сепарабельным расширением поля К степени, равной индексу поля А , и это поле разложения изоморфно подполю поля А. [12] [13] Например, поле C расщепляет алгебру кватернионов H над R с помощью
Мы можем использовать существование поля расщепления, чтобы определить приведенную норму и сокращенный след для CSA A . [14] Отобразите A на кольцо матриц над полем разложения и определите приведенную норму и след как составную часть этого отображения с определителем и следом соответственно. Например, в алгебре кватернионов H приведенное выше расщепление показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет уменьшенную норму t 2 + x 2 + y 2 + z 2 и уменьшенный след 2 t .
Приведенная норма является мультипликативной, а приведенный след – аддитивной. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведенная норма отлична от нуля: следовательно, CSA является делением тогда и только тогда, когда приведенная норма отлична от нуля на ненулевых элементах. [15]