Релятивистская система (математика)

В математике, неавтономная система из обыкновенных дифференциальных уравнений определяются как динамическое уравнение на гладкое расслоение над . Например, это случай нерелятивистской неавтономной механики , но не релятивистской механики . Для описания релятивистской механики следует рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений на гладком многообразии , расслоение над которым не фиксировано. Такая система допускает преобразования одной координаты в зависимости от других координат . Поэтому ее называют релятивистской системой . В частности,${\ Displaystyle Q \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Q}$Специальная теория относительности на пространстве Минковского относится к этому типу.${\ Displaystyle Q = \ mathbb {R} ^ {4}}$

Поскольку конфигурационное пространство релятивистской системы не имеет предпочтительного расслоения , пространство скоростей релятивистской системы является струйным многообразием первого порядка одномерных подмногообразий . Понятие струй подмногообразий обобщает понятие струй сечений расслоений, которые используются в ковариантной классической теории поля и неавтономной механике . Расслоение струй первого порядка является проективным, и, следуя терминологии специальной теории относительности , можно думать о его слоях как о пространствах абсолютных скоростей релятивистской системы. При заданных координатах на многообразие струй первого порядка${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle J_ {1} ^ {1} Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle J_ {1} ^ {1} Q \ to Q}$${\ Displaystyle (д ^ {0}, д ^ {я})}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle J_ {1} ^ {1} Q}$снабжен адаптированными координатами, обладающими переходными функциями ${\ Displaystyle (д ^ {0}, д ^ {я}, д_ {0} ^ {я})}$

${\displaystyle q'^{0}=q'^{0}(q^{0},q^{k}),\quad q'^{i}=q'^{i}(q^{0},q^{k}),\quad {q'}_{0}^{i}=\left({\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{i}}{\partial q^{0}}}\right)\left({\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\partial q'^{0}}{\partial q^{0}}}\right)^{-1}.}$

Релятивистские скорости релятивистской системы представлены элементами пучка волокон , согласованных по формуле , где - касательное пучок . Тогда общее уравнение движения релятивистской системы в терминах релятивистских скоростей выглядит так:${\displaystyle \mathbb {R} \times TQ}$${\displaystyle (\tau ,q^{\lambda },a_{\tau }^{\lambda })}$${\displaystyle TQ}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial _{\lambda }G_{\mu \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}}{2N}}-\partial _{\mu }G_{\lambda \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}\right)q_{\tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{2}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}-(2N-1)G_{\lambda \mu \alpha _{3}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau \tau }^{\mu }q_{\tau }^{\alpha _{3}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}+F_{\lambda \mu }q_{\tau }^{\mu }=0,}$

${\displaystyle G_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau }^{\alpha _{1}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}=1.}$

Например, если это пространство Минковского с метрикой Минковского , это уравнение релятивистского заряда в присутствии электромагнитного поля.${\displaystyle Q}$${\displaystyle G_{\mu \nu }}$

См. Также [ править ]

• Неавтономная система (математика)
• Неавтономная механика
• Релятивистская механика
• Специальная теория относительности

Ссылки [ править ]

• Красильщик И.С., Виноградов А.М. [и др.] "Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики", Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1999, ISBN  0-8218-0958-X .
• Джакетта Г., Манджиаротти Л., Сарданашвили Г. Геометрическая формулировка классической и квантовой механики (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 1005.1212 ).