Теорема представления

В математике теорема о представлении - это теорема, которая утверждает, что каждая абстрактная структура с определенными свойствами изоморфна другой (абстрактной или конкретной) структуре. ^[1]

Примеры [ править ]

Алгебра [ править ]

• Теорема Кэли утверждает, что каждая группа изоморфна подгруппе группы перестановок. ^[2]
• Теория представлений изучает свойства абстрактных групп через их представления как линейные преобразования векторных пространств. ^[1]
• Теорема о представлении Стоуна для булевых алгебр состояний , что каждая булева алгебра изоморфна области множеств . ^[3]

  Вариант, теорема Стоуна о представлении решеток, утверждает, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна подрешетке решетки степенного множества некоторого множества.

  Другой вариант утверждает, что существует двойственность (в смысле эквивалентности, обращающей стрелку) между категориями булевых алгебр и категорий пространств Стоуна .

• Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта утверждает, что каждая алгебра Ли вкладывается в коммутаторную алгебру Ли своей универсальной обертывающей алгебры .
• Теорема Адо гласит , что каждый конечномерном алгебры Ли над полем с нулевой характеристики вкладывается в алгебру Ли эндоморфизмов некотором конечномерном векторном пространстве.
• HSP Биркгофа теорема утверждает , что каждая модель алгебры А является гомоморфным образом подалгебры в виде прямого произведения копий A . ^[4]
• При изучении полугрупп , то Вагнер-Preston теорема дает представление инверсной полугруппы S , как гомоморфном образ множества частичных биекций на S , и полугрупповой операции , заданной композиции .

Теория категорий [ править ]

• Йонеды лемма обеспечивает полное и верное предел сохраняющего вложение любой категории в категорию предпучков .
• Теорема вложения Митчелла для абелевых категорий реализует каждую малую абелеву категорию как полную (и точно вложенную) подкатегорию категории модулей над некоторым кольцом. ^[5]
• Теорема Мостовского о коллапсе утверждает, что каждая хорошо обоснованная экстенсиональная структура изоморфна транзитивному множеству с ∈-отношением.
• Одна из фундаментальных теорем теории пучков утверждает, что каждый пучок над топологическим пространством можно рассматривать как пучок сечений некоторого (этале) расслоения над этим пространством: категории пучков на топологическом пространстве и категории эталовых пространств над ним. эквивалентны, где эквивалентность задается функтором, который отправляет пучок в его пучок (локальных) секций.

Функциональный анализ [ править ]

• Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала вкладывает любую C * -алгебру в алгебру ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
• Представление Гельфанда (также известное как коммутативная теорема Гельфанда – Наймарка) утверждает, что любая коммутативная C * -алгебра изоморфна алгебре непрерывных функций на ее спектре Гельфанда . Его также можно рассматривать как конструкцию как двойственность между категорией коммутативных C * -алгебр и категорией компактных хаусдорфовых пространств .
• Теорема Рисса о представлении на самом деле представляет собой список из нескольких теорем; один из них идентифицирует сопряженное пространство C ₀ ( X ) с множеством регулярных мер на X .

Геометрия [ править ]

• В теоремы вложения Уитни встраивать любое абстрактное многообразие в некотором евклидовом пространстве .
• Теорема вложения Нэша изометрически вкладывает абстрактное риманово многообразие в евклидово пространство . ^[6]

Ссылки [ править ]