Теорема Руша , названная в честь Эжена Роша , утверждает , что для любых двух комплексных значных функций F и г голоморфен внутри некоторой области с замкнутым контуром , если | g ( z ) | <| f ( z ) | на, то f и f + g имеют одинаковое количество нулей внутри, где каждый ноль считается столько раз, сколько его кратность . Эта теорема предполагает, что контурпростой, то есть без самопересечений. Теорема Руше является простым следствием более сильной симметричной теоремы Руше, описанной ниже.
Применение
Теорема обычно используется для упрощения задачи поиска нулей следующим образом. Учитывая аналитическую функцию, мы записываем ее как сумму двух частей, одна из которых проще и растет быстрее, чем другая (таким образом, доминирует). Затем мы можем найти нули, глядя только на доминирующую часть. Например, полином имеет ровно 5 нулей на диске поскольку для каждого , а также , доминирующая часть, имеет на диске пять нулей.
Геометрическое объяснение
Можно дать неформальное объяснение теоремы Руше.
Пусть C - замкнутая простая кривая (т. Е. Не самопересекающаяся). Пусть h ( z ) = f ( z ) + g ( z ). Если е и г оба голоморфны на внутренней части С , то ч должно быть также голоморфна на внутренней части C . Тогда с учетом наложенных выше условий теорема Руша в ее исходной (а не симметричной) форме утверждает, что
- Если | f ( z ) | > | ч ( г ) - е ( г ) |, для каждого г в С, то е и ч имеют одинаковое число нулей в интерьере C .
Обратите внимание, что условие | f ( z ) | > | h ( z ) - f ( z ) | означает, что для любого z расстояние от f ( z ) до начала координат больше, чем длина h ( z ) - f ( z ), что на следующем рисунке означает, что для каждой точки на синей кривой отрезок, соединяющий он к началу координат больше, чем связанный с ним зеленый сегмент. Неформально можно сказать, что синяя кривая f ( z ) всегда ближе к красной кривой h ( z ), чем к началу координат.
В предыдущем абзаце показано, что h ( z ) должен наматываться вокруг начала координат ровно столько раз, сколько f ( z ). Индекс обеих кривых вокруг нуля, следовательно , то же самое, так что по принципу аргумента , е ( г ) и ч ( г ) должны иметь одинаковое число нулей внутри C .
Один из популярных неформальных способов резюмировать этот аргумент заключается в следующем: если человек будет выгуливать собаку на поводке вокруг дерева и вокруг него, так что расстояние между человеком и деревом всегда больше, чем длина поводка, затем человек и собака обходят дерево одинаковое количество раз.
Приложения
Рассмотрим многочлен (где ). По формуле корней квадратного уравнения он имеет два нуля в точке. Теорема Руше может быть использована для получения более точного их положения. С
- для каждого ,
Теорема Руше гласит, что многочлен имеет ровно один ноль внутри круга . С явно вне диска, заключаем, что ноль равен . Этот вид аргументов может быть полезен при поиске вычетов при применении теоремы Коши о вычетах .
Теорема Руше также может быть использована для краткого доказательства основной теоремы алгебры . Позволять
и выберите настолько большой, что:
С имеет нули внутри диска (так как ), из теоремы Руше следует, что также имеет такое же количество нулей внутри диска.
Одно из преимуществ этого доказательства перед другими состоит в том, что оно показывает не только то, что многочлен должен иметь ноль, но и количество его нулей равно его степени (с учетом, как обычно, кратности).
Еще одно применение теоремы Руше - доказательство теоремы об открытом отображении для аналитических функций. Обратимся к статье за доказательством.
Симметричная версия
Более сильная версия теоремы Руше была опубликована Теодором Эстерманом в 1962 году. [1] В ней говорится: пусть - ограниченная область с непрерывной границей . Две голоморфные функции имеют одинаковое количество корней (с учетом кратности) в , если строгое неравенство
держится на границе
Исходная версия теоремы Руше следует из этой симметричной версии, примененной к функциям вместе с замечанием, что когда на .
Интуитивно это утверждение можно понять следующим образом. С учетом на месте , условие можно переписать как для . С всегда выполняется по неравенству треугольника, это равносильно утверждению, что на , что следует из условия .
Интуитивно понятно, если значения а также никогда не указывайте в том же направлении, что и кружит по , тогда а также должен обернуться вокруг исходной точки одинаковое количество раз.
Доказательство симметричной формы теоремы Руше.
Позволять - простая замкнутая кривая, образ которой является границей . Гипотеза означает, что f не имеет корней на, следовательно, по принципу аргумента число N f ( K ) нулей f в K равно
т.е. число витков замкнутой кривойвокруг происхождения; аналогично для g . Гипотеза гарантирует, что g ( z ) не является отрицательным вещественным кратным f ( z ) для любого z = C ( x ), поэтому 0 не лежит на отрезке прямой, соединяющем f ( C ( x )) с g ( C ( x )), и
является гомотопией между кривыми а также избегая происхождения. Число витков гомотопически инвариантно: функция
является непрерывным и целочисленным, следовательно, постоянным. Это показывает
Смотрите также
- Основная теорема алгебры для ее кратчайшего доказательства с использованием теоремы Руше
- Теорема Гурвица (комплексный анализ)
- Теорема о рациональном корне
- Свойства полиномиальных корней
- Теорема Римана об отображении
- Теорема Штурма
Заметки
- ^ Эстерманн, Т. (1962). Комплексные числа и функции . Атлон Пресс, Univ. Лондона. п. 156.
Рекомендации
- Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии . Джон Уайли и сыновья. п. 131. ISBN. 0-471-99672-6.
- Конвей, Джон Б. (1978). Функции комплексного переменного I . Springer-Verlag New York. ISBN 978-0-387-90328-6.
- Титчмарш, EC (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 117 -119, 198-203. ISBN 0-19-853349-7.
- Руше Э., Mémoire sur la série de Lagrange , Journal de l'École Polytechnique, том 22, 1862 г., стр. 193-224. Теорема появляется на стр. 217. См. Архивы Галлика .