Теорема о гребешке

В физике теорема о гребешке утверждает, что пловец, который демонстрирует симметричное во времени движение, не может достичь чистого смещения в среде ньютоновской жидкости с низким числом Рейнольдса , то есть жидкости, которая является очень вязкой . Такой пловец деформирует свое тело в определенную форму посредством последовательности движений, а затем возвращается к исходной форме, выполняя последовательность в обратном порядке. Это называется возвратно-поступательным движением и инвариантно относительно обращения времени. Эдвард Миллс Перселл сформулировал эту теорему в своей статье 1977 года « Жизнь при малом числе Рейнольдса», объясняющей физические принципы передвижения в воде . ^[1]Теорема названа в честь движения гребешка, который открывает и закрывает простой шарнир за один период. Такого движения недостаточно для создания миграции при малых числах Рейнольдса. Морской гребешок - это пример тела с одной степенью свободы, которую можно использовать для движения. Тела с одной степенью свободы деформируются взаимно, и, следовательно, тела с одной степенью свободы не могут двигаться в очень вязкой среде.

Анимация 3-х сферного пловца. Он имеет одну степень свободы, когда левая рука разгибается и втягивается. В условиях с низким числом Рейнольдса это не приводит к чистому смещению всего тела, поскольку рука завершает цикл разгибания и втягивания.

Фон [ править ]

Теорема о гребешке является следствием последующих сил, приложенных к организму, когда он плывет из окружающей жидкости. Для несжимаемой ньютоновской жидкости с плотностью и вязкостью течение удовлетворяет уравнениям Навье – Стокса${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle \ rho \ left ({\ dfrac {\ partial} {\ partial \ mathrm {t}}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {u} = - \ nabla p + \ eta \ nabla ^ {2} \ mathbf {u}, \ quad \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$,

где обозначает скорость пловца. Однако при низком пределе числа Рейнольдса инерционные члены уравнения Навье-Стокса в левой части стремятся к нулю. Это становится более очевидным при обезразмеривании уравнения Навье – Стокса. Определив характерную скорость и длину, и , мы можем привести наши переменные к безразмерной форме:${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {u}} ={\dfrac {\mathbf {u} }{u_{0}}};\quad \mathbf {\tilde {r}} ={\dfrac {\mathbf {r} }{L}};\quad {\tilde {t}}={\dfrac {t}{(L/u_{0})}}}$.

Возвращаясь к уравнению Навье-Стокса и выполняя некоторую алгебру, мы приходим к безразмерной форме:

${\displaystyle \left({\dfrac {\rho u_{0}L}{\eta }}\right)\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} ,\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0}$,

где число Рейнольдса, . В пределе малого числа Рейнольдса (as ) LHS стремится к нулю, и мы приходим к безразмерной форме уравнений Стокса. Изменение размеров урожайности${\displaystyle \rho u_{0}L/\eta }$${\displaystyle Re}$${\displaystyle \mathrm {Re} \rightarrow 0}$

${\displaystyle 0=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$.

Каковы некоторые последствия отсутствия инерционных членов при низком числе Рейнольдса? Одно из следствий означает, что пловец практически не испытывает чистой силы или крутящего момента. Второе следствие говорит нам, что скорость линейно пропорциональна силе (то же самое можно сказать об угловой скорости и крутящем моменте). Другие следствия приводят к особым свойствам уравнений Стокса. Уравнения Стокса линейны и не зависят от времени. Эти свойства приводят к кинематической обратимости, важному свойству движущегося тела при низком пределе числа Рейнольдса. Кинематическая обратимость означает, что любое мгновенное изменение направления сил, действующих на тело, не изменит природу потока жидкости вокруг него, а просто изменит направление потока. Эти силы ответственны за создание движения. Когда у тела только одна степень свободы,изменение направления сил вызовет взаимную деформацию тела. Например, гребешок, открывающий петлю, просто закроет ее, чтобы попытаться добиться толчка. Поскольку изменение направления сил не меняет природы потока, тело будет двигаться в обратном направлении точно так же, что не приведет к общему смещению. Так мы приходим к следствиям теоремы о гребешке.^[2]

Математическое доказательство [ править ]

Доказательство теоремы о гребешке может быть представлено математически элегантно. Для этого мы должны сначала понять математические следствия линейности уравнений Стокса. Подводя итог, линейность уравнений Стокса позволяет нам использовать теорему взаимности, чтобы связать скорость плавания пловца с полем скорости жидкости вокруг его поверхности (известное как плавательная походка), которое изменяется в соответствии с периодическим движением, которое он демонстрирует. . Это соотношение позволяет нам заключить, что передвижение не зависит от скорости плавания. Впоследствии это приводит к открытию, что реверсирование периодического движения идентично поступательному движению из-за симметрии, что позволяет нам сделать вывод, что чистого смещения быть не может. ^[3]

Оцените Независимость [ править ]

Теорема взаимности описывает взаимосвязь между двумя потоками в одной и той же геометрии, где инерционные эффекты незначительны по сравнению с вязкими эффектами. Рассмотрим заполненную жидкостью область, ограниченную поверхностью с единичной нормалью . Предположим, что у нас есть решения уравнений Стокса в области, имеющей вид полей скоростей и . Поля скоростей содержат соответствующие поля напряжений и соответственно. Тогда имеет место следующее равенство:${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} '}$${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S=\iint _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S}$.

Теорема взаимности позволяет нам получить информацию об определенном потоке, используя информацию из другого потока. Это предпочтительнее решения уравнений Стокса, что затруднительно из-за отсутствия известного граничного условия. Это особенно полезно, если кто-то хочет понять поток из сложной задачи, изучая поток более простой задачи в той же геометрии.

Можно использовать теорему взаимности, чтобы связать скорость плавания пловца, находящегося под действием силы, с его плавательной походкой :${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {u} _{S}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {U} =-\iint _{S}\mathbf {u} _{S}\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )~\mathrm {d} S}$.

Теперь, когда мы установили, что связь между мгновенной скоростью плавания в направлении силы, действующей на тело, и его воротами для плавания следует общей форме

${\displaystyle \mathbf {U} =\iint {\dot {\mathbf {r} _{S}}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S}$,

где и обозначают положения точек на поверхности пловца, мы можем установить, что движение не зависит от скорости. Рассмотрим пловца, который периодически деформируется посредством последовательности движений между моментами и . Чистое перемещение пловца составляет${\displaystyle \mathbf {u} _{S}\equiv {\dot {\mathbf {r} _{S}}}=\mathrm {d} \mathbf {r} _{S}/\mathrm {d} t}$${\displaystyle \mathbf {r} _{S}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \Delta X=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} ~\mathrm {d} t}$.

Теперь представьте, что пловец деформируется таким же образом, но с другой скоростью. Опишем это с помощью отображения

${\displaystyle t'=f(t),\quad \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t'),\quad {\dot {\mathbf {r} _{S}}}(t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t'}}\cdot {\dfrac {\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t}}={\dot {\mathbf {r} _{S}}}'(t'){\dot {f}}(t)}$.

Используя это отображение, мы видим, что

${\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(f(t)){\dot {f}}~\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} _{S}}}'{\dot {f}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r'} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} _{S}}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t\rightarrow \Delta X'=\Delta X}$.

Этот результат означает, что чистое расстояние, пройденное пловцом, не зависит от скорости его деформации, а только от геометрической последовательности формы. Это первый ключевой результат.

Симметрия движения вперед и назад [ править ]

Если пловец движется периодически, не зависящим от времени, мы знаем, что среднее смещение за один период должно быть нулевым. Чтобы проиллюстрировать доказательство, давайте рассмотрим пловца, деформирующегося в течение одного периода, который начинается и заканчивается временами и . Это означает , что его форма в начале и в конце одинакова, то есть . Затем мы рассмотрим движение, полученное симметрией относительно обращения времени первого движения, которое происходит в период, начинающийся и заканчивающийся в моменты времени и . используя сопоставление, подобное тому, что было в предыдущем разделе, мы определяем и и определяем форму в обратном движении, чтобы она была такой же, как форма в прямом движении . Теперь мы находим связь между чистыми смещениями в этих двух случаях:${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t_{0})=\mathbf {r} _{S}(t_{1})}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle t_{3}}$${\displaystyle t_{2}=f(t_{1})}$${\displaystyle t_{3}=f(t_{0})}$${\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t')}$

${\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{2}}^{t_{3}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{1}}^{t_{0}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\Delta X}$.

Это второй ключевой результат. Мы видим это в сочетании с нашим первым ключевым результатом из предыдущего раздела . Мы видим, что пловец, который меняет свое движение, меняя свою последовательность изменений формы, приводит к противоположному пройденному расстоянию. Кроме того, поскольку пловец демонстрирует взаимную деформацию тела, последовательность движений между и и и одинакова . Таким образом, пройденное расстояние должно быть одинаковым независимо от направления времени, а это означает, что возвратно-поступательное движение не может использоваться для чистого движения в средах с низким числом Рейнольдса.${\displaystyle \Delta X'=\Delta X=-\Delta X\rightarrow \Delta X=0}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle t_{3}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$

Исключения [ править ]

Теорема о гребешке верна, если мы предположим, что пловец совершает возвратно-поступательное движение в бесконечной неподвижной ньютоновской жидкости в отсутствие инерции и внешних сил тела. Однако есть случаи, когда предположения теоремы о гребешке нарушаются. ^[4] В одном случае успешные пловцы в вязкой среде должны демонстрировать невзаимную кинематику тела. В другом случае, если пловец находится в неньютоновской жидкости , движение также может быть достигнуто.

Типы невзаимного движения [ править ]

В своей оригинальной статье Перселл предложил простой пример невзаимной деформации тела, который теперь широко известен как пловец Перселла. Этот простой пловец обладает двумя степенями свободы движения: двухшарнирным телом, состоящим из трех жестких звеньев, вращающихся в противофазе друг с другом. Однако любое тело с более чем одной степенью свободы движения также может двигаться.

В общем, микроскопические организмы, такие как бактерии, развили разные механизмы для выполнения невзаимных движений:

• Использование жгутика , который вращается, толкая среду назад - а клетку вперед - почти так же, как судовой винт перемещает корабль. Так передвигаются некоторые бактерии; жгутик прикреплен одним концом к сложному вращающемуся двигателю, жестко закрепленному на поверхности бактериальной клетки ^{[5] [6]}
• Использование гибкой руки: это можно сделать разными способами. Например, у сперматозоидов млекопитающих есть жгутик, который, подобно хлысту, изгибается на конце клетки, толкая клетку вперед. ^[7] Реснички очень похожи по структуре на жгутики млекопитающих; они могут продвигать такую ​​клетку, как парамеций , сложным движением, похожим на грудной удар .

Неньютоновские жидкости [ править ]

Предположение о ньютоновской жидкости важно, поскольку уравнения Стокса не будут оставаться линейными и независимыми от времени в среде, которая обладает сложными механическими и реологическими свойствами. Также общеизвестно, что многие живые микроорганизмы живут в сложных неньютоновских жидкостях, которые часто встречаются в биологически значимых средах. Например, ползающие клетки часто мигрируют в эластичных полимерных жидкостях. Неньютоновские жидкости обладают несколькими свойствами, которыми можно манипулировать для создания движения в малых масштабах. ^[8]

Во-первых, одно из таких свойств - это нормальные различия напряжений. Эти различия возникают из-за растяжения жидкости потоком пловца. Еще одно полезное свойство - снятие стресса. Такая временная эволюция таких стрессов содержит термин памяти, хотя степень, в которой его можно использовать, в значительной степени не исследована. Наконец, неньютоновские жидкости обладают вязкостью, зависящей от скорости сдвига. Другими словами, пловец испытал бы другую среду числа Рейнольдса, изменив скорость своего движения. Многие биологически значимые жидкости разжижаются при сдвиге, то есть вязкость уменьшается с увеличением скорости сдвига. В такой среде скорость, с которой пловец совершает возвратно-поступательное движение, будет значительной, поскольку она больше не будет инвариантной во времени.Это резко контрастирует с тем, что мы установили, когда скорость движения пловца не имеет значения для установления локомоции. Таким образом, реципрокный пловец может быть сконструирован в неньютоновской жидкости. Цюи др . (2014) смогли сконструировать микрогребешок в неньютоновской жидкости. ^[9]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Э.М. Перселл. Жизнь при низком числе Рейнольдса , Американский журнал физики, том 45, стр. 3-11 (1977)
• Кинематическая обратимость и теорема о гребешке
• Видео о плавательном роботе, который не может двигаться в вязкой жидкости из-за теоремы о гребешке