Схема для горизонтальных циферблатов

Схема для горизонтальных циферблатов представляет собой набор инструкций , используемых для построения горизонтальных солнечных часов , используя компас и строительный стрэйтэдж методу, которые широко используются в Европе с концом пятнадцатого века до конца девятнадцатого века. Общие горизонтальные солнечные часами являются геометрической проекцией из экваториальных солнечных часов на горизонтальную плоскость.

Особые свойства гномона с полярным указателем (осевого гномона) были впервые известны мавританскому астроному Абдулу Хасану Али в начале тринадцатого века ^[1], и это привело к появлению уже знакомых нам циферблатных пластин, циферблатных пластин. где стиль и часовые линии имеют общий корень.

На протяжении веков ремесленники использовали различные методы для разметки часовых линий солнечных часов, используя методы, которые были им знакомы, кроме того, эта тема увлекла математиков и стала предметом изучения. Когда-то обычно преподавалась графическая проекция, хотя ее вытеснили тригонометрия , логарифмы , правила слайдов и компьютеры, которые сделали арифметические вычисления все более тривиальными. .

Первый известный документ на английском языке, описывающий схему для графической проекции, был опубликован в Шотландии в 1440 году, что привело к серии отдельных схем для горизонтальных циферблатов, каждый с характеристиками, которые соответствовали целевой широте и методу построения того времени.

Контекст [ править ]

Мечеть Омейядов, также известная как Большая мечеть Дамаска.

Искусство дизайна солнечных часов заключается в создании циферблата, точно отображающего местное время. Дизайнеры солнечных часов также были очарованы математикой циферблата и возможными новыми способами отображения информации. Современный набор номера начался в десятом веке, когда арабские астрономы сделали великое открытие, что гномон, параллельный оси Земли, будет производить солнечные часы, чьи часовые линии показывают равные часы или официальные часы в любой день года: циферблат Ибн аль-Шатира в Мечеть Омейядов в Дамаске - самый старый циферблат этого типа. ^[a] Циферблаты этого типа появились в Австрии и Германии в 1440-х годах. ^[2]

Циферблат может быть выложен прагматичным подходом, наблюдая и отмечая тень через равные промежутки времени в течение дня в каждый день года. Если широта известна, циферблат может быть выложен с использованием методов геометрического построения, которые полагаются на геометрию проекции , или путем расчета с использованием известных формул и тригонометрических таблиц, обычно с использованием логарифмов или правил скольжения, или, в последнее время, компьютеров или мобильных телефонов . Линейная алгебра предоставила полезный язык для описания преобразований .

В схеме солнечных часов используются компас и линейка, чтобы сначала определить основные углы для этой широты, а затем использовать их для рисования часовых линий на циферблате. В современной терминологии это означало бы, что для получения и и из него использовались графические методы . ^[b]${\ Displaystyle \ грех х}$${\ Displaystyle м \ загар у}$${\ Displaystyle \ грех х. \ загар у}$

Базовый расчет [ править ]

• Используя большой лист бумаги.
• Начиная снизу проводится горизонтальная линия, а вверх по центру - вертикальная. Там, где они пересекаются, становится начало О, подножие Гномона.
• Горизонтальной линией проведите линию, фиксирующую размер циферблата. Там, где он пересекает центральную линию, является важная точка построения F.
• Строительная линия проводится вверх от точки O под углом широты. ^[c]
• Используя квадрат (опустите линию), проведите линию от F до вспомогательной линии так, чтобы они пересекались под прямым углом. Эта точка E - важная точка построения. Если быть точным, важна именно длина линии FE .${\ Displaystyle \ грех \ фи}$
• Используя циркуль или делители, длина FE была скопирована вверх по центральной линии от F. Новая точка построения называется G. Линии построения и FE стираются.

• Выставляем шкалу на 52 ° с. Три начальных строки.

• Обозначение широты, разметку длины и копирование до G по вертикали.${\ Displaystyle \ грех \ фи}$

• Касательная: определение длины ${\ displaystyle \ tan \ theta}$

• Тангенс синуса: нанесение линий длиной , где h - целое число 0 .. 5${\ displaystyle \ sin \ phi \ tan h}$

Такие геометрические конструкции были хорошо известны и оставались частью учебной программы средней школы (британской гимназии) до революции новой математики в 1970-х годах. ^[3]

Схема, показанная выше, использовалась в 1525 году (из более ранней работы 1440 года) Дюрером и используется до сих пор. Более простая схема больше подходила для циферблатов, предназначенных для более низких широт, требующих для конструкции узкого листа бумаги, чем для циферблатов, предназначенных для более высоких широт. Это побудило к поиску других построек.

Горизонтальные циферблаты [ править ]

Первая часть процесса является общей для многих методов. Он устанавливает точку на линии север-юг, которая находится на расстоянии sin φ от линии меридиана.

Ранний шотландский метод (1440 г.) Дюрер (1525 г.) Рор (1965 г.) [ править ]

• Начните с основного метода, показанного выше
• От G проведена серия линий, разнесенных на 15 °, достаточно длинных, чтобы пересекать линию, проходящую через F. Они отмечают часовые точки 1, 2, 3, 4, 5 и 7, 8, 9, 10, 11.
• Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до точки O, будет часовой линией на готовом циферблате. ^[4]

Существенная проблема - это ширина бумаги, необходимая в более высоких широтах. ^[5]

• Выставляем шкалу на 52 ° с. Три начальных строки.

• Обозначение широты, разметку длины и копирование до G по вертикали.${\ Displaystyle \ грех \ фи}$

Бенедетти (1574 г.) [ править ]

Бенедетти, бедный дворянин, работал математиком при дворе Саволы. Его книга, описывающая этот метод, была De gnomonum umbrarumque solarium usu, опубликованная в 1574 году. В ней описан метод отображения официальных часов, то есть равных часов, которые мы используем сегодня, в то время как большинство людей все еще использовали неравные часы, которые делили дневное время на 12. равные часы, но они будут меняться с течением года. Метод Бенедеттиса делит квадрант на сегменты по 15 °. Сделаны две конструкции: параллельная горизонтальная линия, определяющая расстояния tan h, и гномоническая полярная линия GT, которая представляет sin φ.

• Нарисуйте квадрант GRB с сегментами 15 °. GR - горизонтальный.
• Параллельная горизонтальная линия проведена из полиэтилена и сделаны отметки там, где она делит пополам лучи под углом 15 °.
• GX - это широта. T - точка пересечения с PE. ГТД - это гномонический треугольник.
• Длина GT копируется в нижнюю часть E, получая точку F.
• Часовые линии нарисованы от буквы F, и циферблат готов.

Бенедетти включил инструкции по рисованию точечного гномона, чтобы можно было нанести на график неравные часы.^[6]

• Квадрант с сегментами 15 °.

• построение лучей.

• В поисках происхождения.

• Добавление часовых линий.

• Циферблат циферблата.

Метод Клавия (1586) [ править ]

( Fabica et usus Instrumenti ad horologiorum descriptionem. ) Рим Италия.

Метод Клавиуса смотрит на четверть циферблата. Он рассматривает горизонтальную и перпендикулярную плоскости к полярной оси в виде двух прямоугольников, шарнирно соединенных вокруг верхнего края обоих циферблатов. полярная ось будет на φ градусов к полярной оси, а часовые линии будут равномерно распределены в полярной плоскости на экваториальном циферблате. (15 °). Часовые точки на полярной плоскости соединятся с совпадающей точкой на горизонтальной плоскости. Горизонтальные часовые линии откладываются до начала координат.

^[7]

• Нарисуйте гномический треугольник, лежащий на нем гипотенузу.
• На маленькой стороне нарисуйте (экваториальный) квадрат с разметкой 15 ° часов.
• Циферблат состоит из циркуля, размеры которого взяты из треугольника.
• Часовые линии 12, 3 и 6 известны. Часовые линии 1 и 2 взяты со стороны квадрата.
• Диагональ берется от 12 до 6, и параллельные ей прямые проходят через 1 и 2, давая 5 и 4.
• Утренний циферблат - отражение этого.

Метод Стиррапа (1652 г.) [ править ]

• От G проведена серия линий под углом 15 °, достаточно длинных, чтобы пересекать линию, проходящую через F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до точки O, будет часовой линией на готовом циферблате.

^[5]

• Выставляем шкалу на 52 ° с. Три начальных строки.

• Обозначение широты, разметку длины и копирование до G по вертикали.${\ Displaystyle \ грех \ фи}$

• От G литье по горизонтали.${\ Displaystyle \ загар ч \ грех \ фи}$

• Фактические часовые строки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.

• Строительные линии удалены.

• Нахождение угла для 4 и 5.

• Рисунок 4 и 5.

• Строительные линии удалены. Готовая циферблат на 52 ° с. Стремена (1652)

Метод Беттини (1660 г.) [ править ]

Иезуитский Марио Беттини написал метод , который был посмертно опубликован в книге Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima +1660.

• Нарисуйте гномонический треугольник с гипотенузой напротив линии меридиана и направьте φ вниз, C. Другая точка называется M, а прямой угол - G.
• Горизонтальная линия проведена через М, это равноденствие.
• Нарисована окружность с центром в M и радиусом MG. G2 и G3 - это точки пересечения окружности и меридиана.
• В верхних квадрантах точки отмечены каждые 30 °. Двое названы P, Q.
• Строительные линии проводятся от G2 и G3 через точки P и Q - точки пересечения с равноденствием отмечены.
• В завершение через эти точки от точки C проводят часовые линии, а циферблат вырезают в квадрат.

^[8]

• Метод Беттини 1660
• Гномонический треугольник

• Круг отмечен каждые 30 °

• Строительные линии

• Часовые линии, проведенные к началу координат

• Циферблат

Лейборн (1669) [ править ]

Уильям Лейборн опубликовал свое « Искусство набора номера » ^[d] в 1669 году, а вместе с ним и шестиступенчатый метод. Его описание в значительной степени опирается на термин « линия аккордов» , который в современном списке набора заменяется транспортиром . Линия аккордов была шкалой, найденной в секторе, которая использовалась вместе с набором разделителей или циркуля. Он использовался мореплавателями до конца 19 века. ^[e]

• Нарисуйте круг и два его основных диаметра: E – W и S – N (сверху вниз). O - их точка пересечения или происхождение.
• Используя шкалу хорд или транспортир, отложите две линии: «0a», что на 52 ° от OS, и «0b», что на 52 ° от OW. (они будут под прямым углом. Точки «а» и «б» важны.
• Прямым краем нарисуйте линию, соединяющую E с «a», она пересекает SN (меридиональную линию) в точке P, которая называется полюсом мира . Теперь подключите E к «a», это соединит AE. Эта точка важна, так как именно здесь меридиан пересекает равноденственный круг . Точки E, AE и W лежат на равноденственном круге. Следующая задача - использовать эту информацию, чтобы найти центр и нарисовать круг. Используйте вспомогательную линию, чтобы соединить AE и W. В центральной точке поднимите линию под прямым углом. Место пересечения SN (меридиана) будет C, центром равноденственного круга. Используйте C, чтобы нарисовать дугу от E до W, она пройдет через AE.
• Теперь есть полукруг, проходящий через E и W, и дуга равноденствия, проходящая через E и W. Разделите полукруг на 12 равных частей, то есть на углы 15 °. Отметьте «точкой построения». ^[f]
• Линейка соединяет точку O с точками полукруга. Эти линии пересекают дугу равноденствия: создается серия неравных точек («маркеров»).
• Линейка от P (полюса мира) проводит линию от этих маркеров обратно через полукруг. Где он сокращается, это будет «часовая точка»; эти часовые точки расположены неравномерно.
• Часовые линии проводятся от каждой из этих «часовых точек» до начала координат. Исток - основа стиля, срезанного под углом 52 °. ^{[10] [5]}

Метод Озанама (1673 г.), Майол (1938 г.) [ править ]

Для этого метода требуется гораздо меньший лист бумаги ^{[5], что} является большим преимуществом для более высоких широт.

• От G проведена серия линий, разнесенных на 15 °, достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3 и представляют собой точки .${\ Displaystyle \ загар ч \ грех \ фи}$
• Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до точки O, будет часовой линией на готовом циферблате. ^[4]
• Линии через 9 и 3 продолжаются до линии WE, а линия, перпендикулярная от 9 и 3 к линии WE, называются точками пересечения W 'и E'. От W и E еще две линии проведены на расстоянии 15 ° друг от друга, они пересекают вертикали, образуя часовые точки 7, 8 и 4, 5. Линии от 0 до этих часовых точек являются часовыми линиями на последнем циферблате.

^[5]

• Выставляем шкалу на 52 ° с. Три начальных строки.

• Обозначение широты, разметку длины и копирование до G по вертикали.${\ Displaystyle \ грех \ фи}$

• От G литье по горизонтали.${\ Displaystyle \ загар ч \ грех \ фи}$

• Фактические часовые строки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.

• Строительные линии удалены.

Энциклопедический метод (1771 г.) [ править ]

Этот метод использует свойства хорд для определения расстояния в верхнем квадранте, а затем переносит это расстояние в нижний квадрант, чтобы оно было установлено. Опять перенос этой меры на хорды в верхнем квадранте. Последние строки устанавливают формулу =${\ Displaystyle м. \ грех \ тета}$${\ Displaystyle \ грех \ фи \ грех \ тета}$${\ Displaystyle \ загар \ каппа =}$ ${\ Displaystyle \ грех \ тета \ грех \ фи \ над \ соз \ тета}$${\ Displaystyle \ загар \ тета \ грех \ фи}$

Затем он симметрично переносится на все квадранты. Он был использован в Британской энциклопедии, первое издание 1771 года, шестое издание 1823 года ^[11]

• Гномон рисуется первым по линии север-юг. При этом рисуется диаметр под углом φ градусов к вертикали; его отражение тоже будет необходимо.
• Окружность размечена с интервалом 15 ° в верхних квадрантах. Рисуются хорды, параллельные горизонтали (длина этих хорд будет sin.
• Измерение каждой хорды переносится на шкалу по нижним радиусам. При соединении эти точки образуют серию параллельных линий, равных sin θ. sin φ по длине.
• Эти измерения переносятся до хорды.
• Последние часовые линии проводятся от начала координат через эти точки пересечения. ( = ) ^[12]${\ Displaystyle \ загар \ каппа =}$ ${\ Displaystyle \ грех \ тета \ грех \ фи \ над \ соз \ тета}$${\ Displaystyle \ загар \ тета \ грех \ фи}$

• Нарисуйте гномон и диаметры под заданным углом.

• Отметьте верхние квадранты под углом 15 ° и соедините хордами.

• Перенесите длину полухорды на нижний радиус и проведите поперек.

• Поднимите вертикали

• Проведите часовую линию через пересечения.

• Полученный циферблат на 52 °.

de Celles (1760) (1790) Метод Во (1973) [ править ]

Метод Дом Франсуа Бедо де Целль (1760 г.) ^[13], иначе известный как метод Во (1973 г.) ^{[14] [5]}

• От G проведена серия линий под углом 15 °, достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, если вы возьмете всего 3 и представите точки. .${\ Displaystyle \ загар ч \ грех \ фи}$
• Центр циферблата находится внизу, точка O. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до точки O, будет часовой линией на готовом циферблате. ^[4]
• Если бумага достаточно велика, описанный выше метод работает от 7 до 12 и от 12 до 5, а значения до и после 6 рассчитываются посредством симметрии. Однако есть другой способ разметки 7 и 8, а также 4 и 5. Назовите точку, где 3 пересекает линию R, и опустите линию под прямым углом к ​​базовой линии. Назовите эту точку W. Используйте строительную линию, чтобы соединить точки W и F. Во назовите точки пересечения линиями часов K, L, M.
• Используя циркуль или делитель, добавьте еще две точки к этой линии N и P, чтобы расстояния MN = ML, а MP = MK. Отсутствующие часовые линии проводятся от O до N и через P. Линии построения стираются. ^{[4] [5]}

• Выставляем шкалу на 52 ° с. Три начальных строки.

• Обозначение широты, разметку длины и копирование до G по вертикали.${\ Displaystyle \ грех \ фи}$

• От G литье по горизонтали.${\ Displaystyle \ загар ч \ грех \ фи}$

• Фактические часовые строки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.

• Строительные линии удалены.

• Построение 7, 8, 4, 5 линий

• Разметка 7, 8, 4, 5 строк

• Готовая циферблат на 52 ° с. Бедос де Селлес (1790)

Метод Николсона (1825 г.) [ править ]

Этот метод впервые появился в популярном курсе чистой и смешанной математики Питера Николсона в 1825 году. Он был скопирован в School World в июне 1903 года, затем в книге Кеннета Линча, «Солнечные часы и сферы» 1971. ^[15] Он начинается с рисования хорошо известного треугольника, и берет вершины, чтобы нарисовать две окружности радиуса (OB) sin φ и (AB) tan φ. Проведены линии 15 °, пересекающие эти круги. Линии взяты по горизонтали, а по вертикали от этих кругов и их точка пересечения (OB sin t, AB cos t) находится на часовой линии. То есть tan κ = OB sin t / AB cos t, что сводится к sin φ. загар т.

• Нарисуйте линию NS и линию EW, пересекающуюся в начале O. В удобной точке в первом квадранте соедините оси с линией, установленной под целевым углом. Это образует основной треугольник OAB.
• Установите циркуль на расстояние ОВ и начертите круг. Установите циркуль на AB и начертите концентрический круг. На обоих этих кругах отметьте углы 15 °.
• Беря линии вертикально от внутреннего круга и горизонтально от внешнего круга, отметьте каждое из пересечений. Это на часовых линиях.
• Соедините точки пересечения с началом координат.

^[15]

• Основной треугольник

• Круги

• Измерение 15 °

• Точки пересечения

• Готовый циферблат

Шкалы набора номера Foster Serles (1638) [ править ]

• На циферблате нанесен прямой угол, а шкала широты отложена по оси x .
• Точка целевой широты отмечена на циферблате. Часовая шкала располагается от этой точки до полуденной линии (условно, нулевая точка находится на полуденной линии).
• Каждая из часовых точек копируется на циферблат, и эта процедура повторяется, давая часам обе стороны полудня. Прямая кромка используется для соединения этих точек с началом координат, таким образом рисуя часовые линии для этого местоположения.
• Вертикальная линия от точки целевой широты и горизонтальная линия, проходящая через точку полудня, будут делиться пополам на отметке трех часов (9: 00–15: 00).
• Стиль будет под тем же углом, что и широта.

^[16]

Сафея (Ас-Сафия) [ править ]

Это был ранний и удобный метод, который можно было использовать, если у вас был доступ к астролябии, как это было у многих астрологов и математиков того времени. Метод заключался в копировании проекций небесной сферы на плоскую поверхность. Проведена вертикальная линия с линией под углом к ​​широте, проведенной на пополам вертикали с небесной сферой. ^[17]

См. Также [ править ]

• Лондонский циферблат
• Схема для вертикально убывающих циферблатов

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

• Дурелл, Клемент V (1921). Геометрия . Издатель G.Bell And Sons Limited.
• Бедос де Селлес, Франсуа (1760). «4-3» . La Gnomonique pratique ou l'Art de tracer les cadrans solaires avec la plus grande précision (на французском языке) (3-е изд.). Париж. п. 459 . Дата обращения 12 июля 2015 .
• Дэвис, Джон (июнь 2014 г.). «Гравированный декор англоязычных горизонтальных циферблатов» (PDF) . Бюллетень . Британское общество солнечных часов. 26 (ii): 48–52. ISSN  0958-4315 . Дата обращения 3 июля 2015 .
• Рор, Рене Р.Дж.; с предисловием Анри Мишеля; перевод Габриэля Година (1996). Солнечные часы: история, теория и практика (изд. В мягкой обложке). Нью-Йорк: Dover Publications . С.  142 . ISBN 0-486-29139-1.
• Сойер, Фред (1995). "Наборные весы Серле". Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 2 (2): 5.
• Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные схемы 1–4». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (1): 33.
• Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные схемы 6». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (3): 36–7.
• Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные схемы 7». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (4): 39.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные схемы 8 - Метод Клавиуса». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 20 (1): 31.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные схемы 9 - Метод Бенедетти». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 20 (2): 37.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные схемы 10 - Метод Сафеи». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 20 (3): 39.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные макеты 11 - все еще метод для горизонтальных солнечных часов». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 21 (3): 13.
• Пауэрс, Патрик (2012). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные схемы 5 - Метод Лейборна». Компендиум . Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов. 19 (2): 4.
• Во, Альберт Э. (1973). Солнечные часы: их теория и конструкция . Нью-Йорк: Дувр. С.  38–39 . ISBN 0486229475.