Теорема Веддерберна – Артина
В алгебре теорема Веддерберна-Артина является классификационной теоремой для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает, что (артиново) [1] полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа n i -x n i колец матриц над телами D i для некоторых целых чисел n i , каждое из которых определяется однозначно к перестановке индекса i . В частности, любое простое левое или правоеАртиново кольцо изоморфно кольцу матриц размера n на n над телом D , где n и D определены однозначно. [2]
Пусть R — (артиново) полупростое кольцо . Тогда R изоморфно произведению конечного числа колец матриц n i на n i над телами D i для некоторых целых чисел n i , каждое из которых определяется однозначно с точностью до перестановки индекса i .
Если R — конечномерная полупростая k -алгебра, то каждый D i в приведенном выше утверждении является конечномерной алгеброй с делением над k . Центр каждого D i не обязательно должен быть k ; это может быть конечное расширение k .
Обратите внимание, что если R — конечномерная простая алгебра над телом E , D не обязательно содержится в E . Например, кольца матриц над комплексными числами являются конечномерными простыми алгебрами над действительными числами .
Теорема Веддерберна–Артина подразумевает, что каждое простое конечномерное кольцо над телом изоморфно кольцу матриц размера n на n над телом D , где и n , и D определены однозначно. [2] Это первоначальный результат Джозефа Веддерберна . Эмиль Артин позже обобщил его на случай левых и правых артиновых колец . В частности, если — алгебраически замкнутое поле, то кольцо матриц, имеющее элементы из , является единственной конечномерной артиновой простой алгеброй над .
Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Пусть R — полупростое кольцо, т. е. конечномерная k -алгебра. Тогда R — конечный продукт , где — положительные целые числа, и — алгебра матриц над k .
