В математике проблема Шепарда — это следующий геометрический вопрос, заданный Джеффри Колином Шепардом в 1964 году: если K и L — центрально-симметричные выпуклые тела в n - мерном евклидовом пространстве , такие, что всякий раз , когда K и L проектируются на гиперплоскость , объем проекция K меньше объема проекции L , то следует ли из этого, что объем K меньше объемаЛ ? [1]
В этом случае «центрально-симметричный» означает, что отражение K в начале координат, −K , является переносом K , и аналогично для L . Если πk : Rn → Πk является проекцией Rn на некоторую k - мерную гиперплоскость Πk ( не обязательно координатную гиперплоскость), а Vk обозначает k - мерный объем , то задача Шепарда состоит в том, чтобы определить истинность или ложность значение
V k ( π k ( K )) иногда называют яркостью K , а функцию V k o π k называют ( k - мерной) функцией яркости .
В измерениях n = 1 и 2 ответ на проблему Шепарда — «да». Однако в 1967 году Петти и Шнайдер показали, что ответ «нет» для любого n ≥ 3. [2] [3] Решение проблемы Шепарда требует первого неравенства Минковского для выпуклых тел и понятия проекционных тел выпуклых тел.