Проницательный кардинал

В математике , А умные кардинальный определенный вид большого кардинального числа введенного ( Rathjen 1995 )., Расширяя определение неописуемых кардиналов .

Кардинальное число κ называется λ-проницательный , если для каждой пропозиции ф, и множество A ⊆ V _х с (V _{х + Х} , Е, А) ⊧ φ существует такие а, X '<х с (V _{α + λ'} , ∈, A ∩ V _α ) ⊧ φ. Он называется проницательным, если он λ-проницателен для любого λ (включая λ> κ).

Это определение расширяет понятие неописуемости до трансфинитных уровней. Λ-проницательный кардинал также является μ-проницательным для любого ординала μ <λ. Проницательность была разработана Майклом Rathjen как часть его порядкового анализа из П ¹₂ -comprehension . По сути, это нерекурсивный аналог свойства устойчивости для допустимых ординалов .

В более общем смысле, кардинальное число κ называется λ-Π _m -точкой, если для любого Π _m предложения φ и для A ⊆ V _κ с (V _{κ + λ} , ∈, A) ⊧ φ существует α, λ '< κ, где (V _{α + λ '} , ∈, A ∩ V _α ) ⊧ φ.

Здесь рассматриваются формулы с m-1 чередованием кванторов, причем самый внешний квантор является универсальным.

При конечном п , п -Π _м -shrewd кардиналы это то же самое , как П _м^п -indescribable кардинальным.

Если κ - тонкий кардинал , то множество κ-проницательных кардиналов стационарно в κ. Однако Ратиен не говорит, насколько проницательные кардиналы сравниваются с несгибаемыми кардиналами .

λ-проницательность - это улучшенная версия λ-неописуемости, как это определено в Дрейке; это кардинальное свойство отличается тем, что отраженная подструктура должна быть (V _{α + λ} , ∈, A ∩ V _α ), что делает невозможным для кардинала κ быть κ-неописуемым. Также теряется свойство монотонности: λ-неописуемый кардинал может не быть α-неописуемым для некоторого ординала α <λ.

использованная литература

Дрейк, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . ISBN Elsevier Science Ltd. 0-444-10535-2.
Ратиен, Майкл (2006). «Искусство порядкового анализа» (PDF) .
Rathjen, Майкл (1995), "Последние достижения в области порядкового анализа: Π ¹₂ -ca и связанные с ними системы", Бюллетень символической логики , 1 (4): 468-485, DOI : 10,2307 / 421132 , ISSN 1079-8986 , MR 1369172

Эта статья по теории множеств незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .