Магический квадрат

В развлекательной математике квадратный массив чисел, обычно положительных целых чисел , называется магическим квадратом , если суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях одинаковы. ^{[1] [2]} Порядок магического квадрата — это количество целых чисел вдоль одной стороны ( n ) , а постоянная сумма называется магической константой . Если массив включает только положительные целые числа , магический квадрат называется нормальным . Некоторые авторы под магическим квадратом понимают обычный магический квадрат. ^[3]${\ Displaystyle 1,2,..., п ^ {2}}$

Магические квадраты, содержащие повторяющиеся элементы, не подпадают под это определение и называются тривиальными . Некоторые хорошо известные примеры, в том числе магический квадрат Святого Семейства и квадрат Паркера, в этом смысле тривиальны. Когда сумма всех строк и столбцов, но не обеих диагоналей, равна магической константе, мы получаем полумагические квадраты (иногда называемые ортомагическими квадратами).

Математическое изучение магических квадратов обычно связано с их построением, классификацией и перечислением. Хотя полностью общих методов получения всех магических квадратов всех порядков не существует, исторически были обнаружены три общих метода: методом окаймления, составлением составных магических квадратов и добавлением двух предварительных квадратов. Существуют также более конкретные стратегии, такие как метод непрерывного перечисления, который воспроизводит определенные шаблоны. Магические квадраты обычно классифицируются в соответствии с их порядком n как: нечетные, если n нечетно, четно-четные (также называемые «дважды четными»), если n кратно 4, нечетно-четные (также известные как «однократно четные»), если нлюбое другое четное число. Эта классификация основана на различных методах, необходимых для построения нечетных, четно-четных и нечетно-четных квадратов. Кроме того, в зависимости от дополнительных свойств, магические квадраты также классифицируются как ассоциативные магические квадраты , пандиагональные магические квадраты , наиболее совершенные магические квадраты и так далее. Более сложной задачей были также попытки классифицировать все магические квадраты заданного порядка как преобразования меньшего набора квадратов. За исключением n ≤ 5, перечисление магических квадратов более высокого порядка все еще остается открытой задачей. Перечисление наиболее совершенных магических квадратов любого порядка было совершено только в конце 20 века.

Магические квадраты имеют долгую историю, восходящую как минимум к 190 г. до н.э. в Китае. В разное время они приобретали оккультное или мифическое значение и появлялись как символы в произведениях искусства. В наше время они были обобщены несколькими способами, включая использование дополнительных или других ограничений, умножение вместо добавления ячеек, использование альтернативных форм или более двух измерений, а также замену чисел формами и сложение геометрическими операциями.

Наименьший (и единственный с точностью до поворота и отражения) нетривиальный случай магического квадрата 3-го порядка

« Меланхолия I » Дюрера (1514 г.) включает квадрат порядка 4 с магической суммой 34.

Железная пластина с магическим квадратом порядка 6 восточно-арабскими цифрами из Китая, датируемая династией Юань (1271–1368).

Страница с изображением магического квадрата 9 × 9 из « Suanfa tongzong» Ченг Давэя (1593 г.).

Магический квадрат 3 × 3 в разных ориентациях, образующий ненормальный магический квадрат 6 × 6, из неопознанной индийской рукописи 19 века.

Магический квадрат 6 × 6 из Книги чудес (из рукописи XVI века).

Эта страница из « Эдипа Эгиптиака » Афанасия Кирхера (1653 г.) принадлежит трактату о магических квадратах и ​​показывает Sigillum Iovis , связанный с Юпитером .

Страница из книги Симона де ла Лубера « Du Royaume de Siam » (1691 г.), демонстрирующая индийский метод построения нечетного магического квадрата.

Ло Шу из «Астрономических явлений» ( Тянь Юань Фа Вэй ). Составлено Бао Юньлуном в 13 веке, опубликовано во времена династии Мин , 1457–1463 гг.

Магический квадрат в храме Паршванатха , Кхаджурахо , Индия

Деталь Меленколии I

Магический квадрат на фасаде церкви Саграда Фамилия

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета в сумме дают магическую константу. * В наиболее совершенных магических квадратах 4 × 4 любые 2 ячейки, которые находятся на расстоянии 2 ячеек по диагонали (включая закругление), в сумме составляют половину магической константы, следовательно, любые 2 такие пары также в сумме составляют магическую константу.

Полулогарифмический график Pn, вероятности магических квадратов размерности n

Метод строительства Ян Хуэя

Магический квадрат Рамануджана

Геометрический магический квадрат.

Первый магический квадрат линейной площади

Полумагический квадрат Эйлера (сумма его диагоналей не равна его магической константе 260) также образует путь коня.

Происхождение сигила Хагиэля, планетарного разума Венеры , нарисованного на магическом квадрате Венеры . Каждая еврейская буква имеет числовое значение, обозначающее вершины сигилы.

Марки Макао с изображением магических квадратов