В численном интегрировании , правила Симпсона несколько приближений для определенных интегралов , названных в честь Томаса Симпсона (1710-1761).
Самое основное из этих правил, называемое правилом Симпсона 1/3 или просто правилом Симпсона , гласит:
Если правило 1/3 применяется к n равным подразделениям диапазона интегрирования [ a, b ], получается составное правило Симпсона . Точкам внутри диапазона интегрирования присваиваются чередующиеся веса 4/3 и 2/3.
Правило Симпсона 3/8 , также называемое вторым правилом Симпсона, требует еще одной оценки функции внутри диапазона интегрирования и является точным, если f является многочленом до кубической степени.
Правила Симпсона 1/3 и 3/8 - это два частных случая замкнутых формул Ньютона – Котеса .
В военно-морской архитектуре и оценке остойчивости корабля также существует третье правило Симпсона , которое не имеет особого значения в общем численном анализе, см . Правила Симпсона (остойчивость корабля) .
Правило Симпсона 1/3
Производные
Квадратичная интерполяция
Один вывод заменяет подынтегральное выражение по квадратичным полиномом (т.е. парабола) который принимает те же значения, что и в конечных точках а также и середина . Можно использовать интерполяцию полинома Лагранжа, чтобы найти выражение для этого полинома,
Усреднение средней точки и трапецеидальных правил
Другой вывод строит правило Симпсона из двух более простых приближений: правило средней точки
Используя другое приближение (например, правило трапеции с вдвое большим количеством точек), можно взять подходящее средневзвешенное значение и исключить другой член ошибки. Это метод Ромберга .
Неопределенные коэффициенты
Третий вывод начинается с анзаца
Коэффициенты α, β и γ можно зафиксировать, потребовав, чтобы это приближение было точным для всех квадратичных многочленов. Это дает правило Симпсона.
Ошибка
Ошибка аппроксимации интеграла правилом Симпсона для является
где ( греческая буква xi ) - некоторое число между а также . [2]
Ошибка асимптотически пропорциональна . Однако приведенные выше выводы предполагают ошибку, пропорциональную. Правило Симпсона приобретает дополнительный порядок, потому что точки, в которых вычисляется подынтегральное выражение, симметрично распределены в интервале.
Поскольку член ошибки пропорционален четвертой производной от в , это показывает, что правило Симпсона дает точные результаты для любого полинома степени три или меньше, поскольку четвертая производная такого многочлена равна нулю во всех точках.
Если вторая производная существует и выпукла в интервале:
Составное правило Симпсона
Если интервал интегрирования в каком-то смысле «маленький», то правило Симпсона с подынтервалы обеспечат адекватное приближение к точному интегралу. Под малым мы на самом деле подразумеваем, что интегрируемая функция относительно гладкая на интервале. Для такой функции гладкий квадратичный интерполянт, подобный тому, который используется в правиле Симпсона, даст хорошие результаты.
Однако часто бывает, что функция, которую мы пытаемся интегрировать, не является гладкой по интервалу. Обычно это означает, что функция либо сильно колеблется, либо в определенных точках отсутствуют производные. В этих случаях правило Симпсона может дать очень плохие результаты. Один из распространенных способов решения этой проблемы - разбить интервал в небольшие подынтервалы. Затем к каждому подинтервалу применяется правило Симпсона, при этом результаты суммируются, чтобы получить приближение для интеграла по всему интервалу. Такой подход называется составным правилом Симпсона .
Предположим, что интервал разделен на подинтервалы, с четное число. Тогда составное правило Симпсона имеет вид
где для с участием ; в частности, а также . Это составное правило с соответствует обычному правилу Симпсона из предыдущего раздела.
Ошибка, допускаемая составным правилом Симпсона:
где какое-то число между а также а также это «длина шага». [3] Ошибка ограничена (по модулю) величиной
Эта формулировка разбивает интервал в подынтервалы одинаковой длины. На практике часто бывает выгодно использовать подынтервалы разной длины и концентрировать усилия на тех местах, где подынтегральное выражение ведет себя хуже. Это приводит к адаптивному методу Симпсона .
Правило Симпсона 3/8
Правило Симпсона 3/8, также называемое вторым правилом Симпсона, - это еще один метод численного интегрирования, предложенный Томасом Симпсоном. Он основан на кубической интерполяции, а не на квадратичной интерполяции. Правило Симпсона 3/8 выглядит следующим образом:
Дальнейшим обобщением этой концепции для интерполяции с многочленами произвольной степени являются формулы Ньютона – Котеса .
Составное правило Симпсона 3/8
Деление интервала в подынтервалы длины и вводим узлы у нас есть
В то время как остаток от правила отображается как: [4]
Мы можем использовать это, только если делится на три. Правило 1/3 можно использовать для оставшихся подынтервалов без изменения порядка члена ошибки (и наоборот, правило 3/8 можно использовать с правилом составного 1/3 для подинтервалов с нечетными номерами).
Альтернативное расширенное правило Симпсона
Это еще одна формулировка составного правила Симпсона: вместо применения правила Симпсона к непересекающимся сегментам интеграла, который нужно аппроксимировать, правило Симпсона применяется к перекрывающимся сегментам, что дает: [5]
Приведенная выше формула получается путем комбинирования исходного составного правила Симпсона с правилом Симпсона 3/8 на крайних подынтервалах и стандартным правилом трех точек на остальных подынтервалах. Затем результат получается путем усреднения двух формул.
Правила Симпсона в случае узких пиков
В задаче оценки полной площади узких пикообразных функций правила Симпсона гораздо менее эффективны, чем правило трапеций . А именно, составное правило Симпсона 1/3 требует в 1,8 раза больше точек для достижения той же точности [6], что и правило трапеции. Составное правило Симпсона 3/8 еще менее точно. Интеграл по правилу 1/3 Симпсона может быть представлен как сумма 2/3 интеграла по правилу трапеций с шагом h и 1/3 интеграла по правилу прямоугольников с шагом 2h. Усреднение составных сумм по правилу Симпсона 1/3 с правильно сдвинутыми фреймами дает следующие правила:
где используются две точки за пределами интегрированной области и
Эти правила очень похожи на альтернативное расширенное правило Симпсона Пресса. Коэффициенты в пределах большей части интегрируемой области равны единице, различия только по краям. Эти три правила могут быть связаны с формулой Эйлера-Маклаурина с первым производным членом и названы правилами интегрирования Эйлера-Маклаурина . [6] Они отличаются только тем, как вычисляется первая производная на конце области.
Составное правило Симпсона для нерегулярных данных
Для некоторых приложений интервал интеграции необходимо разделить на неравные интервалы - возможно, из-за неравномерной выборки данных или отсутствия или повреждения точек данных. Предположим, мы делим интервална четное числоподынтервалов ширин. Тогда составное правило Симпсона дается формулой [7] [8]
где - значения функции на -я точка отбора проб на интервале .
В случае нечетного числаподинтервалов , приведенная выше формула используется до предпоследнего интервала, а последний интервал обрабатывается отдельно путем добавления к результату следующего: [9]
где
Пример реализации на Python |
из collection.abc Импорт Последовательностьdef simpson_nonuniform ( x : Sequence [ float ], f : Sequence [ float ]) -> float : "" " Правило Симпсона для нерегулярно расположенных данных. : param x: Точки выборки для значений функции : param f: Значения функции в точках выборки : return: приближение для интеграла См. Scipy.integrate.simpson и базовый _basic_simpson для более производительной реализации с использованием трансляции numpy. "" " N = len ( x ) - 1 h = [ x [ i + 1 ] - x [ i ] для i в диапазоне ( 0 , N )] assert N > 0 результат = 0,0 для i в диапазоне ( 1 , N , 2 ): h0 , h1 = h [ i - 1 ], h [ i ] hph , hdh , hmh = h1 + h0 , h1 / h0 , h1 * h0 результат + = ( hph / 6 ) * ( ( 2 - hdh ) * f [ i - 1 ] + ( hph ** 2 / hmh ) * f [ i ] + ( 2 - 1 / hdh ) * f [ i + 1 ] ) если N % 2 == 1 : h0 , h1 = h [ N - 2 ], h [ N - 1 ] результат + = f [ N ] * ( 2 * h1 ** 2 + 3 * h0 * h1 ) / ( 6 * ( h0 + h1 )) результат + = f [ N - 1 ] * ( h1 ** 2 + 3 * h1 * h0 ) / ( 6 * h0 ) результат - = f [ N - 2 ] * h1 ** 3 / ( 6 * h0 * ( h0 + h1 )) вернуть результат |
Смотрите также
Заметки
- ^ Аткинсон, стр. 256; Сули и Майерс, §7.2
- ^ Аткинсон, уравнение (5.1.15); Сули и Майерс, теорема 7.2.
- Перейти ↑ Atkinson, pp. 257 + 258; Сули и Майерс, §7.5
- ^ a b Мэтьюз (2004)
- ↑ Press (1989), стр. 122
- ^ a b Каламбет Юрий; Козьмин Юрий; Самохин, Андрей (2018). «Сравнение правил интегрирования в случае очень узких хроматографических пиков». Хемометрика и интеллектуальные лабораторные системы . 179 : 22–30. DOI : 10.1016 / j.chemolab.2018.06.001 . ISSN 0169-7439 .
- ^ Кюлянпяя, Илкка (2019). Курс вычислительной физики . Университет Тампере.
- ^ Шклов, Н. (декабрь 1960). «Правило Симпсона для неравномерно расположенных ординат». Американский математический ежемесячник . 67 (10): 1022. DOI : 10,2307 / 2309244 .
- ^ [ необходима ссылка ] ; должно быть
Рекомендации
- Аткинсон, Кендалл Э. (1989). Введение в численный анализ (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-50023-2.
- Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (2000). Численный анализ (7-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-38216-9.
- Мэтьюз, Джон Х. (2004). «Правило Симпсона 3/8 для численного интегрирования» . Численный анализ - Проект численных методов . Калифорнийский государственный университет, Фуллертон. Архивировано из оригинала 4 декабря 2008 года . Проверено 11 ноября 2008 года .
- Press, William H .; Флэннери, Брайан П .; Веттерлинг, Уильям Т .; Теукольский, Саул А. (1989). Числовые рецепты в Паскале: Искусство научных вычислений . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37516-9.
- Сули, Эндре; Майерс, Дэвид (2003). Введение в численный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00794-1.
- Кау, Аутар; Калу, Эгву; Нгуен, Дык (2008). «Численные методы с приложениями» .
- Вайсштейн, Эрик В. (2010). «Формулы Ньютона-Котеса» . MathWorld - Интернет-ресурс по вольфрамтиту . MathWorld . Проверено 2 августа 2010 года .
Внешние ссылки
- «Формула Симпсона» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. "Правило Симпсона" . MathWorld .
- Применение правила Симпсона - земляные работы (Примечание: формула, описанная на этой странице, верна, но есть ошибки в расчетах, которые должны дать результат 569 м3, а не 623 м3, как указано)
- Симпсон 1 / третье правило интеграции - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple в численные методы для STEM студентов
- Подробное описание компьютерной реализации описывается Dorai Ситары в Teach Yourself Схемы в Fixnum дней , Приложение C
Эта статья включает материал из правила Code for Simpson о PlanetMath , которое находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .