В математике , сумма Римана определенный вид аппроксимации интеграла конечной суммой. Он назван в честь немецкого математика XIX века Бернхарда Римана . Одним из наиболее распространенных приложений является аппроксимация площади функций или линий на графике, а также длины кривых и других приближений.
Сумма вычисляется путем разделения области на формы ( прямоугольники , трапеции , параболы или кубики ), которые вместе образуют область, аналогичную измеряемой области, затем вычисляются площади для каждой из этих форм и, наконец, складываются все эти формы. небольшие участки вместе. Этот подход можно использовать для поиска численного приближения для определенного интеграла, даже если основная теорема исчисления не позволяет легко найти решение в замкнутой форме .
Поскольку область, заполненная маленькими фигурами, обычно не совсем такой же формы, как измеряемая область, сумма Римана будет отличаться от измеряемой площади. Эту ошибку можно уменьшить, разделив область более тонко, используя все меньшие и меньшие формы. По мере того, как формы становятся все меньше и меньше, сумма приближается к интегралу Римана .
Определение
Позволять быть функцией, определенной на отрезке реальных чисел, , а также
- ,
быть разбиением I , где
- .
Римана сумма функции f над I с разбиением P определяется как
где а также . [1] Можно получить разные суммы Римана в зависимости от того,выбраны. В конце концов, это не имеет значения, если функция интегрируема по Риману , когда разность или ширина слагаемых приближается к нулю.
Некоторые особые виды сумм Римана
Конкретный выбор дают нам разные типы сумм Римана:
- Если для всех i , то S называется левым правилом [2] [3] или левой суммой Римана .
- Если для всех i , то S называется правым правилом [2] [3] или правой суммой Римана .
- Если для всех i , то S называется правилом средней точки [2] [3] или средней суммой Римана .
- Если (то есть, верхняя грань из ф за кадром), то S определяется как верхняя сумма Римана или верхняя сумма Дарбу .
- Если (то есть, нижняя грань из ф за кадром), то S определяется как нижняя сумма Римана или нижняя сумма Дарбу .
Все эти методы являются одними из основных способов выполнения численного интегрирования . Грубо говоря, функция является интегрируемой по Риману, если все суммы Римана сходятся по мере того, как разбиение «становится все более и более тонким».
Хотя технически это не является суммой Римана, среднее значение левой и правой сумм Римана представляет собой трапециевидную сумму и является одним из самых простых из очень общих способов аппроксимации интегралов с использованием взвешенных средних. За этим по сложности следуют правило Симпсона и формулы Ньютона – Котеса .
Любая сумма Римана на данном разбиении (т. Е. Для любого выбора между а также ) содержится между нижней и верхней суммами Дарбу. Это составляет основу интеграла Дарбу , который в конечном итоге эквивалентен интегралу Римана.
Методы
Четыре метода суммирования Римана обычно лучше всего подходят для разбиений равного размера. Интервал [, ] поэтому делится на подынтервалы, каждый длиной
Тогда точки в разделе будут
Левая сумма Римана
Для левой суммы Римана аппроксимация функции ее значением в левой конечной точке дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ). Выполнение этого для i = 0, 1, ..., n - 1 и сложение результирующих областей дает
Влево сумма Римана составляет завышению , если F является монотонно убывает на этом интервале, и недооценке , если она монотонно возрастает .
Правая сумма Римана
Здесь f аппроксимируется значением в правой конечной точке. Это дает несколько прямоугольников с основанием Δ x и высотой f ( a + i Δ x ). Выполнение этого для i = 1, ..., n и сложение результирующих областей дает
Правая сумма Римана составляет недооценке , если F является монотонно убывающей , и завышению , если она монотонно возрастает . Ошибка этой формулы будет
- ,
где это максимальное значение абсолютной величины из на интервале.
Правило средней точки
Аппроксимация f в середине интервалов дает f ( a + Δ x / 2) для первого интервала, для следующего f ( a + 3Δ x / 2) и так далее, пока f ( b - Δ x / 2). Подводя итог по областям, мы получаем
- .
Ошибка этой формулы будет
- ,
где это максимальное значение абсолютной величины из на интервале.
Трапециевидная линейка
В этом случае значения функции f на интервале аппроксимируются средним значением значений на левой и правой конечных точках. Таким же образом, как и выше, простой расчет с использованием формулы площади
для трапеции с параллельными сторонами b 1 , b 2 и высотой h производит
Ошибка этой формулы будет
где - максимальное значение абсолютного значения .
Приближение, полученное с помощью правила трапеций для функции, такое же, как среднее значение левой и правой сумм этой функции.
Связь с интеграцией
Для одномерной суммы Римана по области , поскольку максимальный размер элемента разбиения уменьшается до нуля (то есть предел нормы разбиения стремится к нулю), для некоторых функций все суммы Римана сходятся к одному и тому же значению. Это предельное значение, если оно существует, определяется как определенный интеграл Римана функции по области,
Для домена конечного размера, если максимальный размер элемента раздела уменьшается до нуля, это означает, что количество элементов раздела стремится к бесконечности. Для конечных разбиений суммы Римана всегда являются приближениями к предельному значению, и это приближение становится лучше по мере того, как разбиение становится более мелким. Следующие анимации помогают продемонстрировать, как увеличение количества разделов (при уменьшении максимального размера элемента раздела) лучше соответствует «площади» под кривой:
Левая сумма
Правильная сумма
Средняя сумма
Поскольку здесь предполагается, что красная функция является гладкой функцией, все три суммы Римана сходятся к одному и тому же значению, когда количество разбиений стремится к бесконечности.
Пример
Например, площадь под кривой y = x 2 между 0 и 2 может быть вычислена процедурно с использованием метода Римана.
Интервал [0, 2] сначала делится на n подинтервалов, каждому из которых дается ширина; это ширина прямоугольников Римана (далее «коробки»). Поскольку должна использоваться правая сумма Римана, последовательность координат x для ящиков будет. Следовательно, последовательность высот ящиков будет. Это важный факт, что, а также .
Площадь каждой коробки будет и, следовательно, n- я правая сумма Римана будет:
Если рассматривать предел как n → ∞, можно сделать вывод, что приближение приближается к фактическому значению площади под кривой по мере увеличения количества прямоугольников. Следовательно:
Этот метод согласуется с определенным интегралом, вычисленным более механическими способами:
Поскольку функция является непрерывной и монотонно возрастающей на интервале, правая сумма Римана завышает интеграл на наибольшую величину (в то время как левая сумма Римана занижает интеграл на наибольшую величину). Этот факт, который интуитивно понятен из диаграмм, показывает, как характер функции определяет, насколько точно оценивается интеграл. Хотя простые, правые и левые суммы Римана часто менее точны, чем более продвинутые методы оценки интеграла, такие как правило трапеций или правило Симпсона .
В примере функции есть простая для поиска антипроизводная, поэтому оценка интеграла с помощью сумм Римана в основном является академическим упражнением; однако следует помнить, что не все функции имеют антипроизводные, поэтому оценка их интегралов путем суммирования практически важна.
Высшие измерения
Основная идея, лежащая в основе суммы Римана, состоит в том, чтобы «разбить» область посредством разбиения на части, умножить «размер» каждой части на некоторое значение, которое функция принимает для этой части, и просуммировать все эти продукты. Это может быть обобщено, чтобы позволить суммы Римана для функций в областях более чем одного измерения.
Хотя интуитивно процесс разделения домена прост для понимания, технические детали того, как домен может быть разделен, становятся намного сложнее, чем в одномерном случае, и включают аспекты геометрической формы домена. [4]
Два измерения
В двух измерениях область, может быть разделен на несколько ячеек, такой, что . В двух измерениях каждая ячейка может быть интерпретирована как имеющая «область», обозначенную. [5] Сумма Римана равна
где .
Три измерения
В трех измерениях принято использовать букву для домена, такой что под перегородкой и "объем" ячейки, проиндексированной . Тогда трехмерная сумма Римана может быть записана как [6]
с участием .
Произвольное количество измерений
Суммы Римана с более высокой размерностью следуют тому же принципу, как от одного до двух или трех измерений. Для произвольной размерности n сумма Римана может быть записана как
где , то есть это точка в n-мерной ячейке с n-мерным объемом .
Обобщение
В общих чертах суммы Римана можно записать
где обозначает любую произвольную точку, содержащуюся в элементе разбиения а также является мерой на нижележащем множестве. Грубо говоря, мера - это функция, которая дает "размер" набора, в данном случае размер набора; в одном измерении это часто можно интерпретировать как длину интервала в двух измерениях, площадь, в трех измерениях, объем и т. д.
Смотрите также
- Первообразный
- Метод Эйлера и середины метод , родственные методы решения дифференциальных уравнений
- Интеграл Лебега
- Интеграл Римана , предел сумм Римана, когда разбиение становится бесконечно тонким
- Правило Симпсона , мощный численный метод, более мощный, чем простые суммы Римана или даже правило трапеций
- Правило трапеции , численный метод на основе среднего значения левой и правой суммы Римана
Рекомендации
- ^ Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; и другие. (2005). Исчисление (4-е изд.). Вайли. п. 252. (Среди множества эквивалентных вариантов определения эта ссылка очень похожа на приведенную здесь.)
- ^ а б в Хьюз-Халлетт, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; и другие. (2005). Исчисление (4-е изд.). Вайли. п. 340.
На данный момент у нас есть три способа оценить интеграл с помощью суммы Римана: 1. Правило левого края использует левую конечную точку каждого подинтервала. 2. Правильное правило использует правую конечную точку каждого подынтервала. 3. Правило средней точки использует среднюю точку каждого подынтервала.
- ^ а б в Остеби, Арнольд; Цорн, Пол (2002). Исчисление с графической, числовой и символической точек зрения (второе изд.). п. М-33.
Все аппроксимирующие суммы по правилу левого, правого и среднего правила соответствуют этому определению.
- ^ Своковски, Эрл В. (1979). Исчисление с аналитической геометрией (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Prindle, Weber & Schmidt. С. 821–822. ISBN 0-87150-268-2.
- ^ Остеби, Арнольд; Цорн, Пол (2002). Исчисление с графической, числовой и символической точек зрения (второе изд.). п. М-34.
Мы разрезаем плоскую область R на m меньших областей R 1 , R 2 , R 3 , ..., R m , возможно, разных размеров и форм. «Размер» подобласти R i теперь принимается за ее площадь , обозначенную Δ A i .
- ^ Своковски, Эрл В. (1979). Исчисление с аналитической геометрией (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Prindle, Weber & Schmidt. С. 857–858. ISBN 0-87150-268-2.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Риман Сумма» . MathWorld .
- Моделирование, показывающее сходимость сумм Римана