Формула Эйлера – Маклорена

В математике , то формула Эйлера-Маклорена формула для разности между интегралом и тесно связанной суммы . Его можно использовать для аппроксимации интегралов конечными суммами или, наоборот, для вычисления конечных сумм и бесконечных рядов с использованием интегралов и вычислительной техники . Например, многие асимптотические разложения выводятся из формулы, и формула Фаульхабера для суммы степеней является непосредственным следствием.

Формула была открыта независимо Леонардом Эйлером и Колином Маклореном около 1735 года. Эйлеру она понадобилась для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, а Маклорен использовал ее для вычисления интегралов. Позже она была обобщена до формулы Дарбу .

Формула [ править ]

Если и являются натуральными числами и являются реальной или сложной значной непрерывной функцией для действительных чисел в интервале , то интеграл${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle [м, п]}$

${\ Displaystyle I = \ int _ {m} ^ {n} f (x) \, dx}$

можно приблизить к сумме (или наоборот)

${\ Displaystyle S = е (м + 1) + \ cdots + f (п-1) + е (п)}$

(см. метод прямоугольника ). Формула Эйлера – Маклорена дает выражения для разницы между суммой и интегралом в терминах высших производных, вычисленных в конечных точках интервала, то есть когда и .${\ Displaystyle е ^ {(к)} (х)}$${\ displaystyle x = m}$${\ Displaystyle х = п}$

Явно для положительного целого числа и функции, которая является непрерывно дифференцируемой раз на интервале , имеем${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle [м, п]}$

${\ displaystyle SI = \ sum _ {k = 1} ^ {p} {{\ frac {B_ {k}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (n) -f ^ {( k-1)} (m))} + R_ {p},}$

где это го числа Бернулли (с ) , и представляет собой вектор ошибок , который зависит от того , , , и , и, как правило , мало для подходящих значений .${\ displaystyle B_ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle B_ {1} = 1/2}$${\ displaystyle R_ {p}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$

Формула часто записывается с нижним индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением . В этом случае мы имеем ^{[1] [2]}${\ displaystyle B_ {1}}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p},}$

или альтернативно

${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}.}$

Оставшийся срок [ править ]

Остаточный член возникает потому, что интеграл обычно не в точности равен сумме. Формулу можно получить, применяя повторное интегрирование по частям для последовательных интервалов для . Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.${\displaystyle [r,r+1]}$${\displaystyle r=m,m+1,\ldots ,n-1}$

Остаточный член имеет точное выражение в терминах периодизованных функций Бернулли . Многочлены Бернулли может быть определена рекурсивно , а для ,${\displaystyle P_{k}(x)}$${\displaystyle B_{0}(x)=1}$${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}$

Периодизированные функции Бернулли определяются как

${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}(x-\lfloor x\rfloor ),}$

где обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное (так что всегда лежит в интервале ).${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle [0,1)}$

В этих обозначениях остаточный член равен${\displaystyle R_{p}}$

${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$

Когда можно показать, что${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle |B_{k}(x)|\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$

где обозначает дзета-функцию Римана ; один из подходов к доказательству этого неравенства состоит в получении ряда Фурье для многочленов . Граница достигается даже при нуле. Термин может быть опущен для нечетного, но в этом случае доказательство более сложное (см. Lehmer). ^[3] Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle B_{k}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle |R_{p}|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}|f^{(p)}(x)|\,dx.}$

Младшие дела [ править ]

Числа Бернулли от до равны Таким образом, младшие случаи формулы Эйлера-Маклорена следующие:${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{7}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{6}},0,-{\tfrac {1}{30}},0,{\tfrac {1}{42}},0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$

Приложения [ править ]

Проблема Базеля [ править ]

Задача Базеля - определить сумму

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Эйлер вычислил эту сумму до 20 знаков после запятой, используя всего несколько членов формулы Эйлера – Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его в том, что сумма равна , что он и доказал в том же году. ^[4]${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Суммы, содержащие многочлен [ править ]

Если - многочлен и достаточно большой, то остаточный член равен нулю. Например, если мы можем выбрать получение после упрощения${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Аппроксимация интегралов [ править ]

Формула обеспечивает средство аппроксимации конечного интеграла. Позвольте быть конечными точками интервала интегрирования. Зафиксируйте количество точек для использования в приближении и обозначьте соответствующий размер шага значком . Установите так, чтобы и . Тогда: ^[5]${\displaystyle a<b}$${\displaystyle N}$${\displaystyle h=(b-a)/(N-1)}$${\displaystyle x_{i}=a+(i-1)h}$${\displaystyle x_{1}=a}$${\displaystyle x_{N}=b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}[f'(x_{1})-f'(x_{N})]-{\frac {h^{4}}{720}}[f'''(x_{1})-f'''(x_{N})]+\cdots .\end{aligned}}}$

Это можно рассматривать как расширение правила трапеции путем включения поправочных членов. Обратите внимание, что это асимптотическое разложение обычно не сходится; есть некоторые , в зависимости от и , такие, что порядок терминов в прошлом быстро увеличивается. Таким образом, оставшийся член обычно требует пристального внимания. ^[5]${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$

Формула Эйлера – Маклорена также используется для подробного анализа ошибок в численной квадратуре . Это объясняет превосходные характеристики правила трапеций для гладких периодических функций и используется в некоторых методах экстраполяции . Квадратура Кленшоу – Кертиса - это, по сути, замена переменных для приведения произвольного интеграла к интегралам периодических функций, где подход Эйлера – Маклорена очень точен (в этом частном случае формула Эйлера – Маклорена принимает форму дискретного косинусного преобразования ) . Этот прием известен как периодизирующее преобразование.

Асимптотическое разложение сумм [ править ]

В контексте вычисления асимптотических разложений сумм и рядов обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера – Маклорена является

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$

где и - целые числа. ^[6] Часто расширение остается в силе даже после принятия ограничений или или оба. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций, хотя сумма в левой части не может. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены через элементарные функции. Например,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\rightarrow -\infty }$${\displaystyle b\rightarrow +\infty }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$

Здесь левая часть равна , а именно, полигамма-функция первого порядка, определенная как ; гамма - функция равна , если это положительное целое число . Это приводит к асимптотическому разложению для . Это расширение, в свою очередь, служит в качестве отправной точки для одного из выводов точных оценок погрешности приближения Стирлинга из факторной функции.${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)=(d/dz)^{2}(\log \Gamma (z))}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle (z-1)!}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$

Примеры [ править ]

Если s - целое число больше 1, мы имеем:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}$

Собирая константы в значение дзета-функции Римана , мы можем написать асимптотическое разложение:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}$

Для s, равного 2, это упрощается до

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}$

или же

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}$

Когда s = 1 , соответствующий метод дает асимптотическое разложение для номеров гармоник :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони .${\displaystyle \gamma \approx 0.5772156649015328606065}$

Доказательства [ править ]

Вывод математической индукцией [ править ]

Мы обрисовываем аргумент, приведенный в Апостоле. ^[1]

Бернулли многочлены В _п ( х ) и периодические функции Бернулли P _п ( х ) для п = 0, 1, 2, ... были введены выше.

Первые несколько полиномов Бернулли:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\\&\vdots \end{aligned}}}$

Значения B _n (0) - это числа Бернулли B _n . Обратите внимание, что при n  1 имеем

${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)=B_{n}(1),}$

и п  = 1 ,

${\displaystyle B_{1}=B_{1}(0)=-B_{1}(1).}$

Функции P _n согласованы с многочленами Бернулли на интервале [0, 1] и периодичны с периодом 1. Кроме того, за исключением случая n = 1 , они также непрерывны. Таким образом,

${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad (n\neq 1)}$

Пусть k - целое число, и рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&&({\text{since }}P_{0}(x)=1),\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$

Интегрируя по частям , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Используя , и суммируя выше от к = 0 до К = п - 1 , мы получаем${\displaystyle B_{1}(0)=-1/2}$${\displaystyle B_{1}(1)=1/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\dotsb +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Добавляя ( f ( n ) -  f (0)) / 2 к обеим сторонам и переставляя, мы имеем

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$

Это случай p = 1 формулы суммирования. Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки:

${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\frac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$

Результат интегрирования по частям:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Суммирование от k = 0 до k = n - 1 и замена этого члена ошибки более низкого порядка приводит к p = 2 формуле,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}(f'(n)-f'(0))-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$

Этот процесс можно повторять. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера – Маклорена, которое может быть формализовано с помощью математической индукции , в которой шаг индукции основан на интегрировании по частям и на тождествах для периодических функций Бернулли.

См. Также [ править ]

• Чезаро суммирование
• Суммирование Эйлера
• Квадратурная формула Гаусса – Кронрода
• Формула Дарбу
• Суммирование Эйлера – Буля

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]