Многозначная функция

В математике многозначная функция , также называемая многозначной функцией , многозначной функцией , многозначной функцией , похожа на функцию , но может ассоциировать несколько значений с каждым входом. Точнее, многозначная функция из домена $X$ в домен $Y$ связывает каждый $x$ в $X$ с одним или несколькими значениями $y$ в $Y$ ; таким образом, это последовательное бинарное отношение . ^{[ нужна ссылка ]}Некоторые авторы допускают, что многозначная функция не имеет значения для некоторых входных данных (в этом случае многозначная функция является просто бинарным отношением). ^{[ нужна ссылка ]}

Однако в некоторых контекстах, таких как комплексный анализ ( X = Y = C ), авторы предпочитают имитировать теорию функций, поскольку они расширяют понятия обычных (однозначных) функций. В этом контексте обычную функцию часто называют однозначной функцией , чтобы избежать путаницы.

Термин многозначная функция возник в комплексном анализе от аналитического продолжения . Часто бывает известно значение комплексной аналитической функции в некоторой окрестности точки . Это относится к функциям, определенным теоремой о неявной функции или рядом Тейлора вокруг . В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции вдоль кривых комплексной плоскости, начиная с . При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке зависит от выбранной кривой от до ${\ Displaystyle е (г)}$ ${\ Displaystyle г = а}$ ${\ Displaystyle г = а}$ ${\ Displaystyle е (г)}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle г = б}$ ${\ Displaystyle а}$ ${\ Displaystyle б}$ ; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включаются в многозначную функцию.

Например, позвольте быть обычной функцией квадратного корня на положительных действительных числах. Можно расширить его область до окрестности в комплексной плоскости, а затем далее по кривым, начинающимся в , так что значения вдоль данной кривой непрерывно изменяются от . Переходя к отрицательным действительным числам, можно получить два противоположных значения квадратного корня, например $\pm$ $i$ для $-1$ , в зависимости от того, была ли область расширена через верхнюю или нижнюю половину комплексной плоскости. Это явление очень часто встречается для корней $n$ -й степени , логарифмов и обратных тригонометрических функций . ${\ Displaystyle е (г) = {\ sqrt {г}} \,}$ ${\ Displaystyle г = 1}$ ${\ Displaystyle г = 1}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1}} = 1}$

Эта диаграмма представляет многозначную, но не правильную (однозначную) функцию , потому что элемент 3 в X связан с двумя элементами, b и c , в Y.