Решение треугольников

Решение треугольников ( лат . Solutio triangulorum ) - основная тригонометрическая задача нахождения характеристик треугольника (углов и длин сторон), когда некоторые из них известны. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере . Приложения, требующие треугольных решений, включают геодезию , астрономию , строительство и навигацию .

Решение плоских треугольников [ править ]

Стандартные обозначения для треугольника

Треугольник общей формы имеет шесть основных характеристик (см. Рисунок): три линейных (длины сторон a , b , c ) и три угловые ( α , β , γ ). Задача классической плоской тригонометрии состоит в том, чтобы задать три из шести характеристик и определить остальные три. В этом смысле треугольник может быть однозначно определен, если задано любое из следующих условий: ^{[1] [2]}

• Три стороны ( SSS )
• Две стороны и включенный угол ( SAS )
• Две стороны и угол, не входящий между ними ( SSA ), если длина стороны, прилегающей к углу, короче, чем длина другой стороны.
• Сторона и два прилегающих к ней угла ( ASA )
• Сторона, противоположный ей угол и прилегающий к ней угол ( AAS ).

Для всех случаев в плоскости должна быть указана хотя бы одна из сторон. Если указаны только углы, длины сторон не могут быть определены, потому что любой подобный треугольник является решением.

Тригономические отношения [ править ]

Обзор конкретных шагов и инструментов, используемых при решении плоских треугольников

Стандартный метод решения проблемы - использование фундаментальных соотношений.

Закон косинусов

${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ alpha}$

${\ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos \ beta}$

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}$

Закон синусов

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}}$

Сумма углов

${\ Displaystyle \ альфа + \ бета + \ гамма = 180 ^ {\ circ}}$

Закон касательных

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)]} {\ tan [{\ frac { 1} {2}} (\ alpha + \ beta)]}}.}$

Есть и другие (иногда практически полезные) универсальные соотношения: закон котангенсов и формула Молвейде .

Заметки [ править ]

1. Чтобы найти неизвестный угол, закон косинусов безопаснее, чем закон синусов . Причина в том, что значение синуса для угла треугольника не определяет этот угол однозначно. Например, если sin β = 0,5 , угол β может быть равен 30 ° или 150 °. Использование закона косинусов позволяет избежать этой проблемы: в интервале от 0 ° до 180 ° величина косинуса однозначно определяет его угол. С другой стороны, если угол мал (или близок к 180 °), то численно более надежно определить его по синусу, чем по косинусу, потому что функция арккосинуса имеет расходящуюся производную в 1 (или -1). .
2. Мы предполагаем, что взаимное расположение указанных характеристик известно. В противном случае решением будет и зеркальное отражение треугольника. Например, три длины стороны однозначно определяют либо треугольник, либо его отражение.

Даны три стороны (SSS) [ править ]

Пусть указаны три длины сторон a , b , c . Чтобы найти углы α , β , можно использовать закон косинусов : ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$

Тогда угол γ = 180 ° - α - β .

Некоторые источники рекомендуют находить угол β из закона синусов, но (как указано в примечании 1 выше) существует риск спутать значение острого угла с тупым.

Другой метод вычисления углов от известных сторон - применение закона котангенсов .

Указаны две стороны и включенный угол (SAS) [ править ]

Здесь известны длины сторон a , b и угол γ между этими сторонами. Третья сторона может быть определена из закона косинусов: ^[4]

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$

Теперь мы используем закон косинусов, чтобы найти второй угол:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$

Наконец, β = 180 ° - α - γ .

Указаны две стороны и угол без включения (SSA) [ править ]

Этот случай не во всех случаях разрешим; решение гарантированно будет уникальным только в том случае, если длина стороны, примыкающей к углу, короче, чем длина другой стороны. Предположим, что известны две стороны b , c и угол β . Уравнение для угла γ можно вывести из закона синусов : ^[5]

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$

Обозначим далее D =c/бsin β (правая часть уравнения). Возможны четыре случая:

1. Если D > 1 , такого треугольника не существует, потому что сторона b не достигает прямой BC . По той же причине решение не существует, если угол β ≥ 90 ° и b ≤ c .
2. Если D = 1 , существует единственное решение: γ = 90 ° , т. Е. Треугольник прямоугольный .
3. Если D <1 , возможны две альтернативы.
   1. Если b ≥ c , то β ≥ γ (большая сторона соответствует большему углу). Поскольку ни в одном треугольнике не может быть двух тупых углов, γ - острый угол, и решение γ = arcsin D единственно.
   2. Если b < c , угол γ может быть острым: γ = arcsin D или тупым: γ ′ = 180 ° - γ . На рисунке справа показана точка C , сторона b и угол γ как первое решение, а точка C ′ , сторона b ′ и угол γ ′ - как второе решение.

Как только γ получен, третий угол α = 180 ° - β - γ .

Третью сторону можно найти из закона синусов:

${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

или из закона косинусов:

${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$

Указаны сторона и два смежных угла (ASA) [ править ]

Известными характеристиками являются сторона c и углы α , β . Третий угол γ = 180 ° - α - β .

Две неизвестные стороны могут быть вычислены по закону синусов: ^[6]

${\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.}$

или же

${\displaystyle a=c{\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}}$

${\displaystyle b=c{\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}}$

Указаны сторона, один смежный угол и противоположный угол (AAS) [ править ]

Процедура решения треугольника AAS такая же, как и для треугольника ASA: сначала найдите третий угол, используя свойство суммы углов треугольника, затем найдите две другие стороны, используя закон синусов .

Другая заданная длина [ править ]

Во многих случаях треугольники могут быть решены с учетом трех частей информации, некоторые из которых являются длинами медиан треугольника , высотами или биссектрисами угла . Позаментьер и Леманн ^[7] перечисляют результаты по вопросу о разрешимости, используя не более чем квадратные корни (т. Е. Конструктивность ) для каждого из 95 различных случаев; 63 из них являются конструктивными.

Решение сферических треугольников [ править ]

Общий сферический треугольник полностью определяется тремя из шести его характеристик (3 стороны и 3 угла). Длины сторон a , b , c сферического треугольника - это их центральные углы , измеренные в угловых, а не линейных единицах. (На единичной сфере угол (в радианах ) и длина вокруг сферы численно одинаковы. На других сферах угол (в радианах) равен длине вокруг сферы, деленной на радиус.)

Сферическая геометрия отличается от плоской евклидовой геометрии , поэтому решение сферических треугольников строится по другим правилам. Например, сумма трех углов α + β + γ зависит от размера треугольника. Кроме того, подобные треугольники не могут быть неравными, поэтому задача построения треугольника с указанными тремя углами имеет единственное решение. Основные соотношения, используемые для решения проблемы, аналогичны отношениям в плоском случае: см. Сферический закон косинусов и Сферический закон синусов .

Среди других соотношений, которые могут быть полезны, - формула половинной стороны и аналогии Нэпьера : ^[8]

• ${\displaystyle \tan {\frac {c}{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\tan {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}$
• ${\displaystyle \tan {\frac {c}{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\tan {\frac {a-b}{2}}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}$
• ${\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}$
• ${\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}.}$

Даны три стороны (сферическая ГБО) [ править ]

Известны: стороны a , b , c (в угловых единицах). Углы треугольника вычисляются с использованием сферического закона косинусов :

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right),}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right).}$

Указаны две стороны и включенный угол (сферический SAS) [ править ]

Известны: стороны a , b и угол γ между ними. Сторона c находится из сферического закона косинусов:

${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$

Углы α , β можно рассчитать, как указано выше, или используя аналогии Напье:

${\displaystyle \alpha =\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}},}$

${\displaystyle \beta =\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}.}$

Эта проблема возникает в навигационной задаче поиска большого круга между двумя точками на Земле, заданными их широтой и долготой; в этом приложении важно использовать формулы, которые не допускают ошибок округления. Для этого можно использовать следующие формулы (которые можно получить с помощью векторной алгебры):

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$

где знаки числителей и знаменателей в этих выражениях должны использоваться для определения квадранта арктангенса.

Указаны две стороны и угол без включения (сферическая SSA) [ править ]

Эта проблема не во всех случаях разрешима; решение гарантированно будет уникальным только в том случае, если длина стороны, примыкающей к углу, короче, чем длина другой стороны. Известно: стороны b , c и угол β не между ними. Решение существует, если выполняется следующее условие:

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).}$

Угол γ находится из сферического закона синусов :

${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).}$

Что касается плоского случая, то если b < c, то есть два решения: γ и 180 ° - γ .

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Напьера:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right].\end{aligned}}}$

Заданы сторона и два смежных угла (сферическая ASA) [ править ]

Известны: сторона c и углы α , β . Сначала определим угол γ, используя сферический закон косинусов :

${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).\,}$

Мы можем найти две неизвестные стороны из сферического закона косинусов (используя вычисленный угол γ ):

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }}\right),}$

или используя аналогии Напьера:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta )}}\right].\end{aligned}}}$

Сторона, один прилегающий угол и заданный противоположный угол (сферический AAS) [ править ]

Известны: сторона a и углы α , β . Сторона b находится из сферического закона синусов :

${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

Если угол для стороны a острый и α > β , существует другое решение:

${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Напьера:

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right].\end{aligned}}}$

Даны три угла (сферический AAA) [ править ]

Известны: углы α , β , γ . Из сферического закона косинусов заключаем:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right),}$

${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right).}$

Решение прямоугольных сферических треугольников [ править ]

Вышеупомянутые алгоритмы становятся намного проще, если один из углов треугольника (например, угол C ) является прямым. Такой сферический треугольник полностью определяется двумя своими элементами, а остальные три могут быть вычислены с использованием Пентагона Нэпьера или следующих соотношений.

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$(из сферического закона синусов )

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$(из сферического закона косинусов )

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$ (также из сферического закона косинусов)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

Некоторые приложения [ править ]

Триангуляция [ править ]

Если кто-то хочет измерить расстояние d от берега до удаленного корабля с помощью триангуляции, он отмечает на берегу две точки с известным расстоянием l между ними (базовая линия). Пусть α , β - углы между базовой линией и направлением на корабль.

Из приведенных выше формул (случай ASA, предполагая плоскую геометрию) можно вычислить расстояние как высоту треугольника :

${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$

Для сферического случая можно сначала вычислить длину стороны от точки в α до корабля (то есть стороны, противоположной β ) по формуле ASA

${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot(l/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(l/2)\sin(\alpha -\beta )}},}$

и вставьте это в формулу AAS для правого подтреугольника, который содержит угол α и стороны b и d :

${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$

(Плоская формула фактически является первым членом разложения Тейлора d сферического решения по степеням l .)

Этот метод используется в каботаже . Углы α , β определяются путем наблюдения за знакомыми ориентирами с корабля.

В качестве другого примера, если кто-то хочет измерить высоту h горы или высокого здания, задаются углы α , β от двух точек земли до вершины. Пусть ℓ - расстояние между этими точками. Из тех же формул для случая ASA получаем:

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$

Расстояние между двумя точками на земном шаре [ править ]

Чтобы рассчитать расстояние между двумя точками на земном шаре,

Точка A: широта λ _A , долгота L _A и

Точка B: широта λ _B , долгота L _B

мы рассматриваем сферический треугольник ABC , где C - северный полюс. Некоторые характеристики:

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} },\,}$

${\displaystyle b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} },\,}$

${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }.\,}$

Если даны две стороны и включенный угол , то из формул получим

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right].}$

Здесь R - радиус Земли .

См. Также [ править ]

• Конгруэнтность
• Проблема Хансена
• Теорема о шарнире
• Ленарт сфера
• Проблема Снеллиуса – Потенота

Ссылки [ править ]

• Евклид (1956) [1925]. Сэр Томас Хит (ред.). Тринадцать книг стихий. Том I . Переведено с введением и комментариями. Дувр. ISBN 0-486-60088-2.

Внешние ссылки [ править ]

• Тригонометрические наслаждения , Эли Маор , Princeton University Press, 1998. Электронная версия в формате PDF, полный текст представлен.
• Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луи Ингольда, компания Macmillan, 1914. На изображениях представлен полный текст. Книга Google.
• Сферическая тригонометрия в математическом мире.
• Введение в Spherical Trig. Включает обсуждение круга Напьера и правил Непьера.
• Сферическая тригонометрия - для использования в колледжах и школах. Автор: I. Todhunter, MA, FRS Historical Math Monograph, опубликованный Библиотекой Корнельского университета .
• Triangulator - решатель треугольников. Решите любую задачу о плоском треугольнике с минимумом входных данных. Рисование решенного треугольника.
• TriSph - Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и настроенное для гномоники.
• Калькулятор сферических треугольников - решает сферические треугольники.