Функция Бесселя

Функции Бесселя - это радиальная часть мод колебаний кругового барабана.

Функции Бесселя , сначала определенные математиком Даниэлем Бернулли, а затем обобщенные Фридрихом Бесселем , являются каноническими решениями y ( x ) дифференциального уравнения Бесселя

${\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {\ frac {dy} {dx}} + \ left (x ^ {2} - \ альфа ^ {2} \ right) y = 0}$

для произвольного комплексного числа α - порядок функции Бесселя. Хотя α и - α создают одно и то же дифференциальное уравнение, принято определять разные функции Бесселя для этих двух значений таким образом, чтобы функции Бесселя в основном были гладкими функциями α .

Наиболее важные случаи, когда α является целым или полуцелым числом . Функции Бесселя для целого числа α также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники, потому что они появляются в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах . Сферические функции Бесселя с полуцелым числом α получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах .

Приложения функций Бесселя

Уравнение Бесселя возникает при нахождении отделимых решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получаются функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических проблемах, получается полуцелые порядки ( α = п + 1 / 2 ). Например:

• Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе
• Амплитуды давления невязких вращательных потоков.
• Теплопроводность в цилиндрическом объекте
• Режимы вибрации тонкой круглой (или кольцевой) акустической мембраны (например, барабана или другого мембранофона )
• Задачи диффузии на решетке
• Решения радиального уравнения Шредингера (в сферической и цилиндрической координатах) для свободной частицы
• Решение шаблонов акустического излучения
• Частотно-зависимое трение в трубопроводах круглого сечения
• Динамика плавающих тел
• Угловое разрешение
• Дифракция от спиральных объектов, включая ДНК
• Функция плотности вероятности произведения двух нормально распределенных случайных величин

Функции Бесселя также появляются в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. FM-синтез , окно Кайзера или фильтр Бесселя ).

Определения

Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные составы этих растворов. Различные варианты приведены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.

Тип	Первый вид	Второй вид
Функции Бесселя	J α	Y α
Модифицированные функции Бесселя	I α	К α
Функции Ганкеля	ЧАС(1) α= J α + iY α	ЧАС(2) α= J α - iY α
Сферические функции Бесселя	j n	да н
Сферические функции Ганкеля	час(1) п= j n + iy n	час(2) п= j n - iy n

Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя второго рода иногда обозначают N _n и n _n соответственно, а не Y _n и y _n . ^{[1] [2]}

Функции Бесселя первого рода: J _α

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целого или положительного  α функции Бесселя первого рода конечны в начале координат ( x = 0 ); в то время как для отрицательного нецелого  α функции Бесселя первого рода расходятся при приближении x к нулю. Функцию можно определить, разложив ее в ряд вокруг x = 0 , что можно найти, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя: ^[3]

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$

где Γ ( z ) - гамма-функция , сдвинутое обобщение факториальной функции на нецелые значения. Функция Бесселя первого рода является целой функцией, если α - целое число, в противном случае это многозначная функция с особенностью в нуле. Графики функций Бесселя выглядят примерно как осциллирующие синусоидальные или косинусные функции, которые убывают пропорционально (см. Также их асимптотические формы ниже), хотя их корни обычно не являются периодическими, за исключением асимптотических для больших x . (Ряд указывает, что - J ₁ ( x )${\displaystyle x^{-{\frac {1}{2}}}}$- производная от J ₀ ( x ) , так же как −sin x - производная от cos x ; в более общем плане производная J _n ( x ) может быть выражена через J _{n ± 1} ( x ) с помощью тождеств, приведенных ниже .)

Для нецелого числа α функции J _α ( x ) и J _{- α} ( x ) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целого порядка n справедливо следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюсы у каждого из неположительных целых чисел): ^[4]

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$

Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.

Интегралы Бесселя

Другое определение функции Бесселя для целых значений n возможно с использованием интегрального представления: ^[5]

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(x\sin \tau -n\tau )}\,d\tau .}$

Это был подход, который использовал Бессель, и из этого определения он вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелочисленных порядков с помощью одного из интегралов Шлефли для Re ( x )> 0 : ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$

Отношение к гипергеометрическому ряду

Функции Бесселя могут быть выражены в терминах обобщенного гипергеометрического ряда как ^[10]

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

Это выражение связано с развитием функций Бесселя через функцию Бесселя – Клиффорда .

Связь с полиномами Лагерра

В терминах полиномов Лагерра L _k и произвольно выбранного параметра t функция Бесселя может быть выражена как ^[11]

${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

Функции Бесселя второго рода: Y _α

Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y _α ( x ) , иногда вместо этого обозначаемые N _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, которые имеют особенность в начале координат ( x = 0 ) и являются многозначными . Иногда их называют функциями Вебера , поскольку они были введены Х. М. Вебером  ( 1873 г. ), а также функциями Неймана после Карла Неймана . ^[12]

Для нецелых & alpha ; , Y _{& alpha} ; ( х ) связана с J _{& alpha} ; ( х ) по

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$

В случае целочисленного порядка n функция определяется путем взятия предела, когда нецелое число α стремится к n :

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$

Если n - целое неотрицательное число, мы имеем ряд ^[13]

${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$

где это функция дигамма , то логарифмическая производная от гамма - функции . ^[14]${\displaystyle \psi (z)}$

Также существует соответствующая интегральная формула (при Re ( x )> 0 ): ^[15]

${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$

Y _α ( x ) необходимо как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α является целым числом. Но Y _α ( x ) имеет большее значение, чем это. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J _α ( x ) . См. Также подраздел о функциях Ганкеля ниже.

Более того, когда α является целым числом, как это было аналогично для функций первого рода, справедливо следующее соотношение:

${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$

Оба J _{& alpha} ; ( х ) и Y _{& alpha} ; ( х ) являются голоморфными функциями от й на комплексной плоскости разрезе вдоль отрицательной действительной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J являются целыми функциями от x . Если x фиксируется на ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями от α .

Функции Бесселя второго рода, когда α - целое число, являются примером второго рода решений в теореме Фукса .

Функции Ганкеля: H⁽¹⁾
_α, H⁽²⁾
_α

Еще один важный препаратом из двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются функциями Ханкель первого и второго рода , H⁽¹⁾
_α( x ) и H⁽²⁾
_α( x ) , определенный как ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$

где i - мнимая единица . Эти линейные комбинации также известны как функции Бесселя третьего рода ; они являются двумя линейно независимыми решениями дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Германа Ганкеля .

Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным на первый взгляд простым свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь «простой» означает появление фактора вида e ^{i  f (x)} . Для реальных , где , вещественны, функции Бесселя первого и второго рода являются действительные и мнимые части, соответственно, первой функции ганкелевой и действительной и мнимой частей отрицательной второй функции Ханкеля. Таким образом, приведенные выше формулы являются аналогами формулы Эйлера с заменой H${\displaystyle x>0}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾
_α( х ) , H⁽²⁾
_α( Х ) для и , для , как явно показаны в асимптотическом разложении .${\displaystyle e^{\pm ix}}$${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle \sin(x)}$

Функции ганкелевы используются для выражения outward- и внутрь распространяющихся цилиндрической волна решения уравнения цилиндрической волны, соответственно (или наоборот, в зависимости от знака конвенции по частоте ).

Используя предыдущие отношения, их можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$

Если α является целым числом, необходимо вычислить предел. Следующие отношения действительны, независимо от того, является ли α целым числом или нет: ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$

В частности, если α = т + 1 / 2 с т неотрицательное целое число, выше соотношений следует , что непосредственно

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$

Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. Ниже).

Функции Ганкеля допускают следующие интегральные представления при Re ( x )> 0 : ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$

где пределы интегрирования указывают на интегрирование по контуру, который можно выбрать следующим образом: от −∞ до 0 вдоль отрицательной действительной оси, от 0 до ± πi вдоль мнимой оси и от ± πi до + ∞ ± πi вдоль контура, параллельного к реальной оси. ^[15]

Модифицированные функции Бесселя: I _α , K _α

Функции Бесселя действительны даже для сложных аргументов x , и важным частным случаем является случай чисто мнимого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированными функциями Бесселя (или иногда гиперболическими функциями Бесселя ) первого и второго рода и определяются как ^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$

когда α не является целым числом; когда α - целое число, используется предел. Они выбраны с действительными значениями для действительных и положительных аргументов x . Таким образом, разложение в ряд для I _α ( x ) аналогично разложению для J _α ( x ) , но без знакопеременного множителя (−1) ^m .

${\displaystyle K_{\alpha }}$ можно выразить через функции Ганкеля:

${\displaystyle K_{\alpha }={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$

Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они верны, если - π <arg z ≤ π / 2 ): ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$

I _α ( x ) и K _α ( x ) - два линейно независимых решения модифицированного уравнения Бесселя : ^[21]

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$

В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции действительного аргумента, I _α и K _α являются экспоненциально растущими и убывающими функциями соответственно. Как и обычная функция Бесселя J _α , функция I _α стремится к нулю при x = 0 при α > 0 и конечна при x = 0 при α = 0 . Аналогично K _α расходится при x = 0 с особенностью логарифмического типа при K ₀, и ½Γ (| α |) (2 / x ) ^{| α |} иначе. ^[22]

Модифицированные функции Бесселя первого рода I α ( x ) при α = 0, 1, 2, 3

Модифицированные функции Бесселя второго рода K α ( x ) при α = 0, 1, 2, 3

Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя (при Re ( x )> 0 ) следующие: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$

Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например:

${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$

Это можно доказать, доказав равенство приведенному выше определению интеграла для K ₀ . Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.

Модифицированные функции Бесселя K _1/3 и K _2/3 могут быть представлены в терминах быстро сходящихся интегралов ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Модифицированная функция Бесселя второго рода также называют следующими именами ( в настоящее время редко):

• Бассет функции после того, как Альфред Барнард Бассет
• Модифицированная функция Бесселя третьего рода
• Модифицированная функция Ханкеля ^[25]
• Функция Макдональда после Гектора Манро Макдональда

Сферические функции Бесселя: j _n , y _n

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах путем разделения переменных радиальное уравнение имеет вид

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$

Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя j _n и y _n и связаны с обычными функциями Бесселя J _n и Y _n соотношением ^[26].

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$

y _n также обозначается n _n или η _n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .

Сферические функции Бесселя также можно записать в виде ( формулы Рэлея ) ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$

Нулевая сферическая функция Бесселя j ₀ ( x ) также известна как (ненормализованная) функция sinc . Первые несколько сферических функций Бесселя: ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$

и ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$

Производящая функция

Сферические функции Бесселя имеют производящие функции ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$

Дифференциальные отношения

Далее f _n представляет собой любое из j _n , y _n , h⁽¹⁾
_п, ч⁽²⁾
_пдля n = 0, ± 1, ± 2, ... ^[31]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$

Сферические функции Ганкеля: h⁽¹⁾
_п, ч⁽²⁾
_п

Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$

Фактически, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя полуцелого порядка в терминах стандартных тригонометрических функций и, следовательно, для сферических функций Бесселя. В частности, для целых неотрицательных чисел n :

${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$

и ч⁽²⁾
_пявляется комплексно-сопряженным с этим (для действительного x ). Отсюда следует, например, что j ₀ ( x ) = sin x / x и y ₀ ( x ) = - cos x / x и так далее.

Сферические функции Ганкеля возникают в задачах, связанных с распространением сферических волн , например, в мультипольном разложении электромагнитного поля .

Функции Риккати – Бесселя: S _n , C _n , ξ _n , ζ _n

Функции Риккати – Бесселя мало отличаются от сферических функций Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$

Например, такого рода дифференциальное уравнение появляется в квантовой механике при решении радиальной составляющей уравнения Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером. ^[32] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати – Бесселя также возникают в задаче рассеяния электромагнитных волн сферой, известной как рассеяние Ми после первого опубликованного решения Ми (1908). См., Например, Du (2004) ^[33] для получения информации о последних разработках и ссылках.

После Дебая (1909), обозначение ф _п , χ _п иногда используется вместо S _п , С _н .

Асимптотические формы

Функции Бесселя имеют следующие асимптотики . Для небольших аргументов 0 < z ≪ √ α + 1 , когда α не является отрицательным целым числом: ^[3]

${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$

Когда α - отрицательное целое число, мы имеем

${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$

Для функции Бесселя второго рода имеем три случая:

${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is not a non-positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони (0,5772 ...).

Для больших вещественных аргументов z ≫ | α ² - 1 / 4 | , невозможно написать истинную асимптотику для функций Бесселя первого и второго рода (если α не является полуцелым числом ), потому что они имеют нули вплоть до бесконечности, которые должны быть точно согласованы с любым асимптотическим разложением. Однако для данного значения arg z можно написать уравнение, содержащее член порядка | z | ⁻¹ : ^[34]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}\mathrm {O} \left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}\mathrm {O} \left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$

(Для альфа = 1 / 2 последних слагаемые в этих формулах выпадают полностью, см сферических функций Бесселя выше.) Даже если эти уравнения справедливы, лучше приближения могут быть доступны для комплексного г . Например, J ₀ ( z ), когда z находится рядом с отрицательной действительной линией, лучше аппроксимируется выражением

${\displaystyle J_{0}(z)\approx {\sqrt {\frac {-2}{\pi z}}}\cos \left(z+{\frac {\pi }{4}}\right)}$

чем на

${\displaystyle J_{0}(z)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cos \left(z-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Асимптотики функций Ганкеля:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$

Их можно распространить на другие значения arg z, используя уравнения, связывающие H⁽¹⁾
_α( ze ^{im π} ) и H⁽²⁾
_α( ze ^{im π} ) в H⁽¹⁾
_α( z ) и H⁽²⁾
_α( z ) . ^[35]

Интересно, что, хотя функция Бесселя первого рода является средним из двух функций Ганкеля, J _α ( z ) не является асимптотическим по отношению к среднему этих двух асимптотик, когда z отрицательно (потому что одна или другая не будет исправьте там, в зависимости от используемого arg z ). Но асимптотики для функций Ганкеля позволяют нам записывать асимптотики для функций Бесселя первого и второго рода для комплексных (невещественных) z, пока | z | уходит в бесконечность при постоянном фазовом угле arg z (используя квадратный корень, имеющий положительную действительную часть):

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$

Для модифицированных функций Бесселя Ганкель также разработал асимптотические разложения (с большим аргументом) : ^{[36] [37]}

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Также существует асимптотика (для больших вещественных ) ^[38]${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+O\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

При α = 1 / 2 , все члены , кроме первого , равны нулю, и мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\frac {1}{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z)\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\K_{\frac {1}{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}.\end{aligned}}}$

Для небольших аргументов 0 <| z | ≪ √ α + 1 , имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$

Полнобластные приближения с элементарными функциями

Очень хорошее приближение (ошибка ниже максимального значения 1) ^{[ необходима цитата ]} функции Бесселя для произвольного значения аргумента x может быть получено с помощью элементарных функций путем объединения тригонометрического приближения, работающего для меньших значений x, с выражением содержащий функцию ослабленного косинуса, действительную для больших аргументов с использованием функции плавного перехода, т.е.${\displaystyle 0.3\%}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle {\frac {1}{1+(x/7)^{20}}}}$

${\displaystyle J_{0}(x)\approx \left[{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}\cos {\frac {x}{2}}+{\frac {1}{3}}\cos {\frac {{\sqrt {3}}x}{2}}+{\frac {1}{6}}\cos x\right]{\frac {1}{1+(x/7)^{20}}}+{\sqrt {\frac {2}{\pi |x|}}}\cos \left[x-{\frac {\pi }{4}}\operatorname {sgn}(x)\right]\left[1-{\frac {1}{1+(x/7)^{20}}}\right].}$

Характеристики

Для целого порядка & alpha ; = п , J _п часто определяется с помощью ряда Лорана для порождающей функции:

${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$

подход, использованный П.А. Хансеном в 1843 г. (Его можно обобщить на нецелочисленный порядок путем интегрирования контуров или другими методами.) Еще одним важным соотношением для целочисленных порядков является разложение Якоби – Ангера :

${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$

а также

${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$

который используется для разложения плоской волны как суммы цилиндрических волн или для нахождения ряда Фурье тонально-модулированного FM- сигнала.

В более общем смысле, серия

${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$

называется разложением Неймана функции f . Коэффициенты при ν = 0 имеют явный вид

${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$

где O _k - полином Неймана . ^[39]

Выбранные функции допускают специальное представление

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$

с участием

${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$

из-за соотношения ортогональности

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$

В более общем смысле, если f имеет точку ветвления около начала координат такой природы, что

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$

тогда

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}$

или

${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$

где - преобразование Лапласа функции f . ^[40]${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$

Другой способ определения функций Бесселя - это формула представления Пуассона и формула Мелера-Сонина:

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}$

где ν> - 1 / 2 и г ∈ C . ^[41] Эта формула особенно полезна при работе с преобразованиями Фурье .

Поскольку уравнение Бесселя становится эрмитовым (самосопряженным), если его делить на x , решения должны удовлетворять соотношению ортогональности для соответствующих граничных условий. В частности, из этого следует, что:

${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$

где α > -1 , δ _{м , п} является Кронекера , а у _{& alpha ; , т} является м е нуля в J _{& alpha} ; ( х ) . Это соотношение ортогональности затем можно использовать для извлечения коэффициентов в ряд Фурье – Бесселя , где функция раскладывается по базису функций J _α ( x u _{α , m} ) для фиксированного α и переменного m .

Непосредственно следует аналогичное соотношение для сферических функций Бесселя:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$

Если один определяет Boxcar функции от х , которая зависит от малого параметра е как:

${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)=\varepsilon \operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}$

(где прямоугольник является функцией прямоугольника ) , то преобразование ханкель из него (любого заданного порядка α > - 1 / 2 ), г _е ( к ) , приближается J _{& alpha} ; ( K ) , как ε стремится к нулю, для любых заданных к . Наоборот, преобразование Ганкеля (того же порядка) для g _ε ( k ) есть f _ε ( x ) :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}$

который равен нулю всюду, кроме около 1. Когда ε стремится к нулю, правая часть приближается к δ ( x - 1) , где δ - дельта-функция Дирака . Это допускает предел (в распределительном смысле):

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}$

Затем замена переменных приводит к уравнению замыкания : ^[42]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$

для альфа > - 1 / 2 . Преобразование Ханкеля может выразить довольно произвольную функцию ^{[ требуется пояснение ]} как интеграл функций Бесселя различных масштабов. Для сферических функций Бесселя соотношение ортогональности:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)}$

для α > −1 .

Другое важное свойство уравнений Бесселя, которое следует из тождества Абеля , включает вронскиан решений:

${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$

где A _α и B _α - любые два решения уравнения Бесселя, а C _α - постоянная, не зависящая от x (которая зависит от α и от конкретных рассматриваемых функций Бесселя). Особенно,

${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}$

а также

${\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}$

для α > −1 .

При α > −1 четная целая функция рода 1 x ^{- α} J _α ( x ) имеет только действительные нули. Позволять

${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }$

- все его положительные нули, тогда

${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}$

(Существует большое количество других известных интегралов и тождеств, которые здесь не воспроизводятся, но которые можно найти в справочной литературе.)

Повторяющиеся отношения

Функции J _α , Y _α , H⁽¹⁾
_α, а H⁽²⁾
_αвсе удовлетворяют рекуррентным соотношениям ^[43]

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$

а также

${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}$

где Z обозначает J , Y , H ⁽¹⁾ или H ⁽²⁾ . Эти две идентичности часто комбинируются, например, складываются или вычитаются, чтобы получить различные другие отношения. Таким образом, например, можно вычислить функции Бесселя более высоких порядков (или более высокие производные) с учетом значений более низких порядков (или более низких производных). В частности, отсюда следует, что ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}$

Модифицированные функции Бесселя подчиняются аналогичным отношениям:

${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$