Модель Изинга
Модель Изинга (или модель Ленца–Изинга ), названная в честь физиков Эрнста Изинга и Вильгельма Ленца , — математическая модель ферромагнетизма в статистической механике . Модель состоит из дискретных переменных , которые представляют собой магнитные дипольные моменты атомных «спинов» , которые могут находиться в одном из двух состояний (+1 или -1). Спины расположены в виде графа, обычно в виде решетки (где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях), что позволяет каждому спину взаимодействовать со своими соседями. Соседние согласованные спины имеют меньшую энергию, чем несогласованные; система стремится к наименьшей энергии, но тепло нарушает эту тенденцию, создавая тем самым возможность различных структурных фаз. Модель позволяет идентифицировать фазовые переходы как упрощенную модель реальности. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой — одна из простейших статистических моделей, показывающих фазовый переход . [1]
Модель Изинга была изобретена физиком Вильгельмом Ленцем ( 1920 ), который поставил ее в качестве задачи своему ученику Эрнсту Изингу. Одномерная модель Изинга была решена только Изингом (1925) в его диссертации 1924 года; [2] у него нет фазового перехода. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой намного сложнее, и ее аналитическое описание было дано гораздо позже Ларсом Онсагером ( 1944 ). Обычно она решается методом трансфер-матрицы , хотя существуют и другие подходы, больше связанные с квантовой теорией поля .
В размерностях больше четырех фазовый переход модели Изинга описывается теорией среднего поля . Модель Изинга для больших размерностей также исследовалась в отношении различных древовидных топологий в конце 1970-х годов, что привело к точному решению не зависящей от времени модели Барта (1981) с нулевым полем для замкнутых деревьев Кэли с произвольным коэффициентом ветвления и, таким образом, , сколь угодно большой размерности в пределах ветвей дерева. Решение этой модели продемонстрировало новое, необычное поведение при фазовом переходе, а также неисчезающие спин-спиновые корреляции дальнего действия и ближайших соседей, что считается актуальным для больших нейронных сетей как одно из его возможных применений .
Задачу Изинга без внешнего поля можно эквивалентно сформулировать как задачу максимального разреза графа (Max-Cut), которую можно решить посредством комбинаторной оптимизации .
Рассмотрим набор узлов решетки, каждый из которых имеет набор смежных узлов (например, граф ), образующих -мерную решетку. Для каждого узла решетки существует дискретная переменная такая, что , представляющая вращение узла. Спиновая конфигурация — это присвоение значения спина каждому узлу решетки.
