Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Май 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
В статистической механике , то двумерная квадратная решетка модели Изинга простая решетка модель взаимодействующих магнитных спинов . Модель отличается нетривиальным взаимодействием, но при этом имеет аналитическое решение . Модель была решена Ларсом Онзагером для частного случая, когда внешнее магнитное поле H = 0. ( Онсагер (1944) ) Аналитическое решение для общего случая для еще не найдено.
Определение функции раздела [ править ]
Рассмотрим 2D- модель Изинга на квадратной решетке с N узлами и периодическими граничными условиями как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях, что эффективно уменьшает топологию модели до тора . Обычно горизонтальное соединение вертикальное . С и абсолютная температура и постоянная Больцмана , то функция распределения
Критическая температура [ править ]
Критическая температура может быть получена из соотношения двойственности Крамерса – Ванье . Обозначая свободную энергию для каждого сайта как :
куда
Предполагая, что в плоскости (K, L) имеется только одна критическая линия, соотношение двойственности подразумевает, что она определяется следующим образом:
Для изотропного случая находим известное соотношение для критической температуры
Двойная решетка [ править ]
Рассмотрим конфигурацию спинов на квадратной решетке . Пусть r и s обозначают количество непохожих соседей в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Тогда слагаемое в , соответствующий задается
Постройте двойную решетку, как показано на схеме. Для каждой конфигурации многоугольник связан с решеткой путем рисования линии на краю дуальной решетки, если спины, разделенные краем, различны. Так как при прохождении вершины спинов необходимо изменить четное количество раз, чтобы прибыть в начальную точку с одинаковым зарядом, каждая вершина дуальной решетки соединяется с четным числом линий в конфигурации, определяя многоугольник .
Это уменьшает статистическую сумму до
суммирование по всем многоугольникам в дуальной решетке, где r и s - количество горизонтальных и вертикальных линий в многоугольнике с коэффициентом 2, возникающим из-за инверсии конфигурации спина.
Низкотемпературное расширение [ править ]
При низких температурах K, L стремятся к бесконечности, так что как , так что
определяет низкое температурное расширение .
Высокотемпературное расширение [ править ]
Поскольку у одного есть
Следовательно
где и . Поскольку существует N горизонтальных и вертикальных ребер, в расширении содержится всего членов. Каждый член соответствует конфигурации линий решетки путем связывания линии, соединяющей i и j, если член (или выбран в продукте. Суммируя конфигурации, используя
показывает, что только конфигурации с четным числом линий в каждой вершине (многоугольники) будут вносить вклад в функцию распределения, давая
где сумма ведется по всем многоугольникам решетки. Поскольку tanh K , tanh L as , это дает высокотемпературное расширение .
Эти два разложения можно связать с помощью двойственности Крамерса – Ванье .
Точное решение [ править ]
Свободная энергия на сайт в пределе определяется следующим образом. Определите параметр как
Свободная энергия Гельмгольца на сайте может быть выражена как
Для изотропного случая из приведенного выше выражения для внутренней энергии на узел находится:
и спонтанная намагниченность, ибо ,
Ссылки [ править ]
- Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решаемые модели в статистической механике (PDF) , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, Руководство по ремонту 0690578
- К. Биндер (2001) [1994], "Модель Изинга" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Стивен Дж. Браш (1967), История модели Ленца-Изинга . Обзоры современной физики (Американское физическое общество), т. 39. С. 883–893. DOI : 10.1103 / RevModPhys.39.883
- Хуанг, Керсон (1987), Статистическая механика (2-е издание) , Wiley, ISBN 978-0471815181
- Изинг, Э. (1925), "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus", Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Bibcode : 1925ZPhy ... 31..253I , doi : 10.1007 / BF02980577 , S2CID 122157319
- Ициксон, Клод; Дрофф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория чемпионов, Том 1 , Savoirs actels ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN 978-2868833600
- Ициксон, Клод; Дрофф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1: От броуновского движения к перенормировке и решеточной калибровочной теории , Cambridge University Press, ISBN 978-0521408059
- Барри М. Маккой и Тай Цун Ву (1973), Двумерная модель Изинга . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 0-674-91440-6
- Montroll, Elliott W .; Поттс, Ренфри Б.; Уорд, Джон К. (1963), «Корреляции и спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга» , Журнал математической физики , 4 (2): 308–322, Bibcode : 1963JMP ..... 4..308M , doi : 10.1063 / 1.1703955 , ISSN 0022-2488 , MR 0148406 , заархивировано из оригинала на 2013-01-12
- Онзагер, Ларс (1944), "Кристаллическая статистика. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок", Phys. Rev. , Series II, 65 (3-4): 117-149, Bibcode : 1944PhRv ... 65..117O , DOI : 10,1103 / PhysRev.65.117 , MR 0010315
- Онсагер, Ларс (1949), «Обсуждение», Nuovo Cimento Supplement , 6 : 261
- Джон Палмер (2007), Плоские корреляции Изинга . Биркхойзер, Бостон, ISBN 978-0-8176-4248-8 .
- Ян, CN (1952), "Спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга", Physical Review , Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv ... 85..808Y , doi : 10.1103 / PhysRev.85.808 , MR 0051740