Спирическая секция

Спирические сечения как плоские сечения тора

В геометрии , A Спирич участок , который иногда называют Спирич Персея , является квартика плоская кривая определяется уравнениями вида

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f. \,}$

Эквивалентно, спирические секции могут быть определены как бициркулярные кривые четвертой степени, которые симметричны относительно осей x и y . Спирические сечения входят в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом означает тор. ^{[ необходима цитата ]}

Спирическое сечение иногда определяют как кривую пересечения тора и плоскости, параллельной его оси симметрии вращения. Однако это определение не включает все кривые, указанные в предыдущем определении, если не разрешены воображаемые плоскости.

Спирические сечения были впервые описаны древнегреческим геометром Персеем примерно в 150 г. до н.э. и считаются первыми описанными торическими сечениями. Название spiric происходит от древнего обозначения спирали тора., ^{[1] [2]}

Уравнения [ править ]

а  = 1, б  = 2, с  = 0, 0,8, 1

Начнем с обычного уравнения для тора:

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + b ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}). \,}$

Меняя местами y и z так, чтобы ось вращения теперь находилась на плоскости xy , и установка z = c для нахождения кривой пересечения дает

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (x ^ {2} + c ^ {2}). \,}$

В этой формуле тор образован вращением окружности радиуса a, центр которой следует за другой окружностью радиуса b (не обязательно больше a , допускается самопересечение). Параметр c - это расстояние от плоскости пересечения до оси вращения. Не существует спирических секций с c  >  b  +  a , поскольку нет пересечения; плоскость слишком далеко от тора, чтобы пересекать его.

Расширение уравнения дает форму, показанную в определении

${\ Displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f \,}$

где

${\ displaystyle d = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}), \ e = 2 (a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}), \ f = - (a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (abc). \,}$

В полярных координатах это становится

${\ displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (r ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + c ^ {2}) \,}$

или же

${\ displaystyle r ^ {4} = dr ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + er ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + f. \,}$

Спирические сечения на торе шпинделя

Спирические сечения на торе шпинделя [ править ]

Спирические сечения на торе шпинделя, плоскости которого пересекают шпиндель (внутренняя часть), состоят из внешней и внутренней кривой (см. Рисунок).

Спирические секции как изоптики [ править ]

Изоптика эллипсов и гипербол - это спиртовые сечения. (С. также веб-ссылка The Mathematics Enthusiast .)

Примеры спиртовых секций [ править ]

Примеры включают гиппопеда и овал Кассини и их родственников, таких как лемниската Бернулли . Овал Кассини обладает замечательным свойством , что продукт расстояний до двух очагов являются постоянными. Для сравнения: в эллипсах сумма постоянна , в гиперболах разность постоянна, а в кружках отношение постоянное .

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. «Спирическая секция» . MathWorld .
• История MacTutor
• 2Dcurves.com описание
• MacTutor биография Персея
• Любитель математики № 9, статья 4

Конкретный