В нестандартном анализе , то стандартная функция части является функцией от ограниченного (конечного) чисел гипердействительных до действительных чисел. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного. Он ассоциируется с каждым таким Гипердействительным , единственными реальным бесконечно близко к нему, то есть является бесконечно малым . Таким образом , это математическая реализация исторической концепции adequality введенного Пьер де Ферма , [1] , а также Лейбниц «s Трансцендентальная закон однородности .
Стандартная функция части была впервые определена Абрахамом Робинсоном, который использовал обозначение стандартной части гиперреального (см. Робинсон 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении таких понятий исчисления, как непрерывность, производная и интеграл в нестандартном анализе . Последняя теория представляет собой строгую формализацию вычислений с бесконечно малыми величинами . Стандартная часть x иногда называется его тенью .
Определение [ править ]
Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой , где гиперреальные числа являются упорядоченным расширением поля действительных чисел и содержат бесконечно малые числа в дополнение к действительным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число имеет набор чисел (называемый монадой или ореолом ) гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Стандартное функциональные части ассоциируют с конечным гиперреальным х , единственным стандартным вещественным числом х 0 , что бесконечно близко к нему. Отношения символически выражаются написанием
Стандартная часть любой бесконечно малой равна 0. Таким образом, если N бесконечное сверхъестественное , то 1 / N бесконечно малая и st (1 / N ) = 0.
Если гиперреалистическое представление представлено последовательностью Коши в конструкции сверхстепени , то
В более общем смысле, каждое конечное число определяет разрез Дедекинда на подмножестве (через общий порядок ), и соответствующее действительное число является стандартной частью u .
Не внутренний [ править ]
Стандартная функция детали "st" не определяется внутренним набором . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самым простым является то, что его область L, представляющая собой набор ограниченных (т.е. конечных) гиперреалов, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничен (например, любым бесконечным сверхъестественным), L должен был бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L был внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. В качестве альтернативы диапазон «st» не является внутренним; фактически каждое внутреннее множество в этом является подмножеством обязательно конечно , см. (Goldblatt, 1998).
Приложения [ править ]
Все традиционные понятия исчисления могут быть выражены в терминах стандартной функции части следующим образом.
Производная [ править ]
Стандартная функция части используется для определения производной функции f . Если f - действительная функция, а h бесконечно малая, и если f ′ ( x ) существует, то
В качестве альтернативы, если взять бесконечно малое приращение и вычислить соответствующее . Один составляет соотношение . Затем производная определяется как стандартная часть отношения:
Интегральный [ править ]
Для данной функции на интеграл определяется как стандартная часть бесконечной суммы Римана, когда значение берется бесконечно малым, используя сверхконечное разбиение интервала [ a , b ].
Лимит [ править ]
Для данной последовательности ее предел определяется где - бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть одинакова, независимо от выбранного бесконечного индекса.
Непрерывность [ править ]
Настоящая функция непрерывна в вещественной точке , если и только если композиция является постоянной на гало из . См. Более подробную информацию в разделе « Микропрерывность» .
См. Также [ править ]
- Адекватность
- Нестандартное исчисление
Заметки [ править ]
- ^ Карин Усади Кац и Михаил Г. Кац (2011) Берджесская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии. Основы науки . doi : 10.1007 / s10699-011-9223-1 [1] См. arxiv . Авторы ссылаются на стандартную часть Ферма-Робинсона.
Ссылки [ править ]
- Х. Джером Кейслер . Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Первое издание 1976 г .; 2-е издание 1986 г. (Эта книга сейчас больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который сделал доступным 2-е издание в формате .pdf, доступное для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
- Гольдблатт, Роберт . Лекции о гиперреалах . Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике , 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
- Авраам Робинсон . Нестандартный анализ. Репринт второго (1974 г.) издания. С предисловием Вильгельма А. Я. Люксембург . Достопримечательности Принстона в математике. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx + 293 pp. ISBN 0-691-04490-2