Закон Стокса

В 1851 году Джордж Габриэль Стокс вывел выражение, известное теперь как закон Стокса , для силы трения, также называемой силой сопротивления, действующей на сферические объекты с очень маленькими числами Рейнольдса в вязкой жидкости . ^[1] Закон Стокса выводится путем решения предела Стокса для малых чисел Рейнольдса уравнений Навье – Стокса . ^[2]

Заявление о законе [ править ]

Сила вязкости, действующая на небольшую сферу, движущуюся в вязкой жидкости, определяется выражением ^[3]

${\ Displaystyle F_ {d} = 6 \ пи \, \ му \, R \, v \,}$

куда:

• F _d - сила трения, известная как сопротивление Стокса, действующая на границу раздела между жидкостью и частицей.
• μ - динамическая вязкость (некоторые авторы используют символ η )
• R - радиус сферического объекта
• v - скорость потока относительно объекта.

В системе единиц СИ , Р _д дается в ньютонах (= кг мс ^-2 ), М в Па · с (= кг · м ^-1 с ^-1 ), R в метрах, и V в м / с.

Закон Стокса делает следующие предположения относительно поведения частицы в жидкости:

• Ламинарный поток
• Сферические частицы
• Однородный (однородный по составу) материал
• Гладкие поверхности
• Частицы не мешают друг другу.

Для молекул используется закон Стокса, чтобы определить их радиус Стокса и диаметр .

CGS единица кинематической вязкости был назван «Stokes» после его работы.

Приложения [ править ]

Закон Стокса лежит в основе вискозиметра с падающей сферой , в котором жидкость неподвижна в вертикальной стеклянной трубке. Сфера известного размера и плотности может опускаться через жидкость. При правильном выборе он достигает предельной скорости, которую можно измерить по времени, необходимому для прохождения двух отметок на трубке. Электронное зондирование может использоваться для непрозрачных жидкостей. Зная конечную скорость, размер и плотность сферы, а также плотность жидкости, закон Стокса можно использовать для расчета вязкости жидкости. В классическом эксперименте обычно используются стальные шарикоподшипники разного диаметра для повышения точности расчетов. В школьном эксперименте используется глицерин или золотой сироп.как жидкость, и этот метод используется в промышленности для проверки вязкости жидкостей, используемых в технологических процессах. Некоторые школьные эксперименты часто включают изменение температуры и / или концентрации используемых веществ, чтобы продемонстрировать влияние, которое это оказывает на вязкость. Промышленные методы включают множество различных масел и полимерных жидкостей, таких как растворы.

Важность закона Стокса подтверждается тем фактом, что он сыграл решающую роль в исследовании, которое привело к получению по крайней мере трех Нобелевских премий. ^[4]

Закон Стокса важен для понимания плавания микроорганизмов и сперматозоидов ; также осаждение мелких частиц и организмов в воде под действием силы тяжести. ^[5]

В воздухе ту же теорию можно использовать для объяснения того, почему маленькие капли воды (или кристаллы льда) могут оставаться взвешенными в воздухе (в виде облаков) до тех пор, пока они не вырастут до критических размеров и не начнут падать в виде дождя (или снега с градом). ^[6] Аналогичное использование уравнения может быть сделано при осаждении мелких частиц в воде или других жидкостях. ^{[ необходима цитата ]}

Конечная скорость шара, падающего в жидкость [ править ]

При конечной скорости (или скорости оседания) избыточная сила F _g из-за разницы между весом и плавучестью шара (и то и другое вызвано гравитацией ^[7] ) определяется как

${\ Displaystyle F_ {g} = \ left (\ rho _ {p} - \ rho _ {f} \ right) \, g \, {\ frac {4} {3}} \ pi \, R ^ {3 },}$

где ρ _p и ρ _f - массовые плотности шара и жидкости соответственно, а g - ускорение свободного падения . Требование баланса сил F _d  =  F _g и решение для скорости v дает конечную скорость v _s . Обратите внимание, что, поскольку избыточная сила увеличивается при R ^3, а сопротивление Стокса увеличивается как R , конечная скорость увеличивается как R ^2.и поэтому сильно зависит от размера частиц, как показано ниже. Если частица испытывает только свой собственный вес при падении в вязкой жидкости, то конечная скорость достигается, когда сумма сил трения и выталкивающей силы на частицу из-за жидкости точно уравновешивает гравитационную силу . Эта скорость v (м / с) определяется как: ^[7]

${\ displaystyle v = {\ frac {2} {9}} {\ frac {\ left (\ rho _ {p} - \ rho _ {f} \ right)} {\ mu}} g \, R ^ { 2}}$

(вертикально вниз, если ρ _p  >  ρ _f , вверх, если ρ _p  <  ρ _f  ), где:

• g - напряженность гравитационного поля (м / с ² )
• R - радиус сферической частицы (м)
• ρ _p - массовая плотность частиц (кг / м ³ )
• ρ _f - массовая плотность жидкости (кг / м ³ )
• μ - динамическая вязкость (кг / (м * с)).

Вывод [ править ]

Устойчивый поток Стокса [ править ]

В стоксовом потоке при очень низком числе Рейнольдса члены, вызывающие конвективное ускорение, в уравнениях Навье – Стокса не учитываются. Тогда уравнения потока принимают вид для стационарного несжимаемого потока : ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

куда:

• p - давление жидкости (в Па),
• u - скорость потока (в м / с), а
• ω - завихренность (в s ⁻¹ ), определяемая как  ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

Используя некоторые тождества векторного исчисления , можно показать, что эти уравнения приводят к уравнениям Лапласа для давления и каждого из компонентов вектора завихренности: ^[8]

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$   и   ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

Дополнительные силы, такие как силы тяжести и плавучести, не учитывались, но их можно легко добавить, поскольку приведенные выше уравнения являются линейными, поэтому может применяться линейная суперпозиция решений и связанных сил.

Поперечный поток вокруг сферы [ править ]

Для случая сферы в однородном потоке в дальней зоне выгодно использовать цилиндрическую систему координат (  r  , φ,  z  ). Г ось лежит через центр сферы и выровнены с направлением среднего потока, в то время как г есть радиус, измеренный перпендикулярно г оси х. Начало координат находится в центре сферы. Поскольку поток осесимметричен относительно оси z , он не зависит от азимута φ .

В этой цилиндрической системе координат поток несжимаемой жидкости можно описать функцией тока Стокса ψ , зависящей от r и z : ^{[9] [10]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

где u _r и u _z - компоненты скорости потока в направлениях r и z соответственно. В этом осесимметричном случае азимутальная составляющая скорости в направлении φ равна нулю. Объемный поток через трубку, ограниченную поверхностью некоторого постоянного значения ψ , равен 2π ψ и является постоянным. ^[9]

Для этого случая осесимметричного течения единственной ненулевой компонентой вектора завихренности ω является азимутальная φ –компонента ω _φ ^{[11] [12]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

Оператор Лапласа , примененный к завихренности ω _φ , принимает вид в этой цилиндрической системе координат с осесимметрией: ^[12]

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

Из двух предыдущих уравнений и с соответствующими граничными условиями для скорости u однородного потока в дальней зоне в направлении z и сферы радиуса R найдено решение ^[13]

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

Решение скорости в цилиндрических координатах и составляющих выглядит следующим образом:

${\displaystyle u_{r}(r,z)={\frac {3R^{3}}{4}}\cdot {\frac {rzu}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{5}}}-{\frac {3R}{4}}\cdot {\frac {rzu}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

${\displaystyle u_{z}(r,z)={\frac {3R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3uz^{2}}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{5}}}-{\frac {u}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)+u-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {u}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {uz^{2}}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}\right)}$

Решение завихренности в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Решение давления в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

Решение давления в сферических координатах выглядит следующим образом:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

Формулу давления также называют диполь-потенциалом в аналогах электростатики.

Далее следует более общая формулировка с произвольным вектором скорости в дальней зоне в декартовых координатах :${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$

Стокса-обтекание сферы с параметрами скорости дальнего поля , радиуса сферы , вязкости воды (T = 20 ° C) . Показаны силовые линии поля скорости и амплитуды скорости, давления и завихренности с псевдоцветами.${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}}$${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{\text{conservative: curl=0, div=0}}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),{\text{ div=0}}}=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbb {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbb {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbb {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

В этой формулировке неконсервативный термин представляет собой разновидность так называемого Стокслета . Стокслет - это функция Грина уравнений Стокса-потока. Консервативный член равен диполь-градиентному полю . Формула завихренности - это разновидность формулы Био-Савара , которая также используется в электромагнетизме .

Следующая формула описывает тензор вязких напряжений для частного случая стоксова потока. Это нужно для расчета силы, действующей на частицу. В декартовых координатах вектор-градиент идентичен матрице якобиана . Матрица представляет собой единичную матрицу . ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

Сила, действующая на сферу, рассчитывается с помощью поверхностного интеграла, где представляет собой радиальный единичный вектор сферических координат :${\displaystyle \mathbf {e_{r}} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} =\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta =\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta =6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }}$

Стокс-обтекание сферы: , ,${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}}$${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$

Вращательный поток вокруг сферы [ править ]

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}}$

${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {T} =\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}$

Другие типы потока Стокса [ править ]

Хотя жидкость статична, и сфера движется с определенной скоростью, но относительно рамки сферы сфера находится в покое, а жидкость течет прямо противоположно движению сферы.

См. Также [ править ]

• Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)
• Научные законы названы в честь людей
• Уравнение перетаскивания
• Вискозиметрия
• Эквивалентный сферический диаметр
• Отложение (геология)

Ссылки [ править ]

• Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9. Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.