Material derivative

In continuum mechanics, the material derivative^[1]^[2] describes the time rate of change of some physical quantity (like heat or momentum) of a material element that is subjected to a space-and-time-dependent macroscopic velocity field. The material derivative can serve as a link between Eulerian and Lagrangian descriptions of continuum deformation.^[3]

For example, in fluid dynamics, the velocity field is the flow velocity, and the quantity of interest might be the temperature of the fluid. In which case, the material derivative then describes the temperature change of a certain fluid parcel with time, as it flows along its pathline (trajectory).

Other names[edit]

There are many other names for the material derivative, including:

advective derivative^[4]
convective derivative^[5]
derivative following the motion^[1]
hydrodynamic derivative^[1]
Lagrangian derivative^[6]
particle derivative^[7]
substantial derivative^[1]
substantive derivative^[8]
Stokes derivative^[8]
total derivative,^[1]^[9] although that also means something else (total derivative)

Definition[edit]

Материальная производная определяется для любого тензорного поля y, которое является макроскопическим , в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, y = y ( x , t ) :

{\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,

где ∇ y - ковариантная производная тензора, а u ( x , t ) - скорость потока . Как правило, конвективная производная поля u · ∇ y , содержащая ковариантную производную поля, может быть интерпретирована как как включающая тензорную производную линий тока поля u · ( y ), так и как включающую производную по направлению линий тока поля ( u · ∇) y , что приводит к тому же результату. ^[10] Only this spatial term containing the flow velocity describes the transport of the field in the flow, while the other describes the intrinsic variation of the field, independent by the presence of any flow. Confusingly, sometimes the name "convective derivative" is used for the whole material derivative D/Dt, instead for only the spatial term u·∇,^[2] which is also a redundant nomenclature. In the nonredundant nomenclature the material derivative only equals the convective derivative for absent flows. The effect of the time-independent terms in the definitions are for the scalar and tensor case respectively known as advection and convection.

Scalar & vector fields[edit]

Например, для макроскопического скалярного поля φ ( x , t ) и макроскопического векторного поля A ( x , t ) определение выглядит следующим образом:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}

В случае скалярного ∇ φ представляет собой просто градиент скаляра, а ∇ является ковариантной производной макроскопического вектора (который также может рассматриваться в качестве матрицы Якоби из А в зависимости от й ). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) компоненты скорости u равны u ₁ , u ₂ , u ₃ , тогда конвективный член равен:

\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.

Development[edit]

Consider a scalar quantity φ = φ(x, t), where t is time and x is position. Here φ may be some physical variable such as temperature or chemical concentration. The physical quantity, whose scalar quantity is φ, exists in a continuum, and whose macroscopic velocity is represented by the vector field u(x, t).

The (total) derivative with respect to time of φ is expanded using the multivariate chain rule:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .

It is apparent that this derivative is dependent on the vector

{\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},

который описывает выбранный путь x ( t ) в пространстве. Например, если выбрано, производная по времени становится равной частной производной по времени, что согласуется с определением частной производной : производная, взятая по некоторой переменной (в данном случае времени), при сохранении других переменных постоянными (пробел в этом дело). Это имеет смысл, потому что если , то производная берется в некоторой постоянной позиции. Эта статическая производная положения называется производной Эйлера. ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$ ${\dot {\mathbf {x} }}=0$

Примером этого случая является стоящий на месте пловец, который рано утром чувствует изменение температуры в озере: вода постепенно становится теплее из-за нагрева от солнца. В этом случае этого термина достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$

Если солнце не нагревает воду (т.е. ), но путь x ( t ) не является неподвижным, производная по времени φ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой в помещении и не подвержен влиянию солнца. Один конец находится при постоянной высокой температуре, а другой конец - при постоянной низкой температуре. Плывя из одного конца в другой, пловец ощущает изменение температуры во времени, даже если температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это потому, что производная берется в месте смены пловца, а второй член справа ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$ ${\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi$ is sufficient to describe the rate of change of temperature. A temperature sensor attached to the swimmer would show temperature varying with time, simply due to the temperature variation from one end of the pool to the other.

The material derivative finally is obtained when the path x(t) is chosen to have a velocity equal to the fluid velocity

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .

That is, the path follows the fluid current described by the fluid's velocity field u. So, the material derivative of the scalar φ is

{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .

Примером этого случая является легкая, нейтрально плавучая частица, несущаяся вдоль текущей реки и испытывающая при этом изменения температуры. Температура воды локально может повышаться из-за того, что одна часть реки солнечная, а другая - в тени, или вода в целом может нагреваться в течение дня. Изменения, вызванные движением частицы (само вызванное движением жидкости), называется адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).

Вышеприведенное определение основывалось на физической природе потока жидкости; однако никаких законов физики не применялось (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказалось, что многие физические концепции можно кратко описать с помощью материальной производной. Однако общий случай адвекции основан на сохранении массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.

Only a path was considered for the scalar above. For a vector, the gradient becomes a tensor derivative; for tensor fields we may want to take into account not only translation of the coordinate system due to the fluid movement but also its rotation and stretching. This is achieved by the upper convected time derivative.

Orthogonal coordinates[edit]

It may be shown that, in orthogonal coordinates, the j-th component of the convection term of the material derivative is given by^[11]

[\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),

where the h_i are related to the metric tensors by

h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.

In the special case of a three-dimensional Cartesian coordinate system (x, y, z) this is just

\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.

References[edit]

^ a b c d e Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N. (2007). Transport Phenomena (Revised Second ed.). John Wiley & Sons. p. 83. ISBN 978-0-470-11539-8.
^ a b Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. pp. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
^ Trenberth, K. E. (1993). Climate System Modeling. Cambridge University Press. p. 99. ISBN 0-521-43231-6.
^ Majda, A. (2003). Introduction to PDEs and Waves for the Atmosphere and Ocean. Courant Lecture Notes in Mathematics. 9. American Mathematical Society. p. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
^ Ockendon, H.; Ockendon, J.R. (2004). Waves and Compressible Flow. Springer. p. 6. ISBN 0-387-40399-X.
^ Mellor, G.L. (1996). Introduction to Physical Oceanography. Springer. p. 19. ISBN 1-56396-210-1.
^ Stoker, J.J. (1992). Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. Wiley. p. 5. ISBN 0-471-57034-6.
^ a b Granger, R.A. (1995). Fluid Mechanics. Courier Dover Publications. p. 30. ISBN 0-486-68356-7.
^ Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1987). Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics. 6 (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. pp. 3–4 & 227. ISBN 0-7506-2767-0.
^ Emanuel, G. (2001). Analytical fluid dynamics (second ed.). CRC Press. pp. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
^ Eric W. Weisstein. "Convective Operator". MathWorld. Retrieved 2008-07-22.