В математике , в области теории групп , A группа называется superperfect , когда его первые две группы гомологии являются тривиальными : Н 1 ( G , Z ) = Н 2 ( G , Z ) = 0. Это сильнее , чем идеальный группа, первая группа гомологий которой равна нулю. Говоря более классическим языком, суперсовершенная группа - это группа, абелианизация и множитель Шура которой равны нулю; абелианизация равняется первым гомологиям, а множитель Шура равняется вторым гомологиям.
Определение [ править ]
Первая группа гомологий группы - это абелианизация самой группы, поскольку гомологии группы G являются гомологиями любого пространства Эйленберга – Маклейна типа K ( G , 1); фундаментальная группа из K ( G , 1) G , и первая гомология K ( G , 1) затем абелианизация его фундаментальной группы. Таким образом, если группа суперсовершенная, то она идеальна .
Конечная совершенная группа является суперсовершенной тогда и только тогда, когда она является своим собственным универсальным центральным расширением (UCE), поскольку вторая группа гомологий совершенной группы параметризует центральные расширения.
Примеры [ править ]
Например, если G - фундаментальная группа гомологической сферы , то G суперсовершенная. Наименьшая конечная нетривиальная суперсовершенная группа - это бинарная группа икосаэдра (фундаментальная группа гомологической сферы Пуанкаре ).
Знакопеременная группа A 5 совершенна, но не суперсовершена: у нее нетривиальное центральное расширение, бинарная группа икосаэдра (которая фактически является ее UCE) суперсовершена. В более общем смысле, проективные специальные линейные группы PSL ( n , q ) просты (следовательно, совершенны), за исключением PSL (2, 2) и PSL (2, 3), но не суперсовершенные, со специальными линейными группами SL ( n , q ) как центральные расширения. Это семейство включает в себя бинарную группу икосаэдров (которую называют SL (2, 5)) как UCE из A 5 (рассматриваемую как PSL (2, 5)).
Каждая ациклическая группа суперсовершенная, но обратное неверно: бинарная группа икосаэдра суперсовершенная, но не ациклическая.
Ссылки [ править ]
- А. Джон Беррик и Джонатан А. Хиллман, "Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп", Журнал Лондонского математического общества (2) 68 (2003), вып. 3, 683--698. MR 2009444
 | Эта статья по абстрактной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |
