В теоретической физике , А алгебра суперсимметрии (или сУсИте алгебру ) представляет собой математический аппарат для описания соотношения между бозонами и фермионами . Алгебра суперсимметрии содержит не только алгебру Пуанкаре и компактную подалгебру внутренних симметрий, но также содержит некоторые фермионные суперзаряды, преобразующиеся как сумма N вещественных спинорных представлений группы Пуанкаре . Такие симметрии допускаются теоремой Хаага – Лопушанского – Сониуса . Когда N > 1, говорят, что алгебра имеет расширенную суперсимметрию. Алгебра суперсимметрии является полупрямой суммой из центрального расширения в алгебре супер-Пуанкаре компактной алгебры Ли B внутренних симметрий.
Бозонные поля коммутируют, а фермионные поля антикоммутируют. Чтобы получить преобразование, связывающее два вида полей, требуется введение Z 2 -градуировки, при которой четные элементы являются бозонными, а нечетные - фермионными. Такая алгебра называется супералгеброй Ли .
Так же, как можно иметь представления алгебры Ли , можно иметь представления супералгебры Ли , называемые супермультиплетами . Для каждой алгебры Ли существует связанная и односвязная группа Ли , единственная с точностью до изоморфизма , и представления алгебры могут быть расширены для создания групповых представлений . Таким же образом представления супералгебры Ли иногда могут быть расширены до представления супергруппы Ли .
Структура алгебры суперсимметрии
Общая алгебра суперсимметрии для размерности пространства-времени d и с фермионной частью, состоящей из суммы N неприводимых вещественных спинорных представлений, имеет структуру вида
- ( P × Z ). Q. ( Д × В )
где
- P - бозонная абелева векторная нормальная подалгебра размерности d , обычно отождествляемая с переносами пространства-времени. Это векторное представление L .
- Z - скалярная бозонная алгебра в центре, элементы которой называются центральными зарядами.
- Q является абелевой фермионная спинорная подфактор алгебра и является суммой N реального спинорными представлений L . (Когда сигнатура пространства-времени делится на 4, существует два разных спинорных представления L , поэтому существует некоторая двусмысленность в отношении структуры Q как представления L. ) Элементы Q , или, скорее, их прообразы в алгебре суперсимметрии , называются наддувом. Подалгебра ( P × Z ). Вопрос иногда также называют суперсимметрию алгеброй и нильпотентна длиной не более 2, с кронштейном Ли двух суперзарядов , лежащих в P × Z .
- L - бозонная подалгебра, изоморфная алгебре Лоренца в d измерениях размерности d ( d –1) / 2.
- B - скалярная бозонная подалгебра, заданная алгеброй Ли некоторой компактной группы, называемой группой внутренних симметрий. Это коммутирует с P , Z и L , но может действовать нетривиально на суперзаряды Q .
Термины «бозонный» и «фермионный» относятся к четным и нечетным подпространствам супералгебры.
Термины «скаляр», «спинорный», «Вектор», относится к поведению подалгебры под действием Лоренца алгебры L .
Число N - это количество неприводимых вещественных представлений спина. Когда сигнатура пространства-времени делится на 4, это неоднозначно, поскольку в этом случае есть два разных неприводимых вещественных спинорных представления, а число N иногда заменяется парой целых чисел ( N 1 , N 2 ).
Алгебра суперсимметрии иногда рассматривается как реальная супералгебра, а иногда как комплексная алгебра с эрмитовым сопряжением. Эти два представления по существу эквивалентны, так как реальная алгебра может быть построена из комплексной алгебры, взяв косоэрмитовы элементы, а комплексная алгебра может быть построена из действительной, взяв тензорное произведение с комплексными числами.
Бозонная часть супералгебре изоморфна произведению Пуанкаре алгебры P . L с алгеброй внутренних симметрий Z × B.
Когда N > 1, говорят, что алгебра имеет расширенную суперсимметрию .
Когда Z тривиально, подалгебра Р . Вопрос . L - суперпалгебра Пуанкаре .
Смотрите также
Рекомендации
- Баггер, Джонатан; Весс, Джулиус (1992), Суперсимметрия и супергравитация , Принстонская серия по физике (2-е изд.), Princeton University Press , ISBN 0-691-02530-4, Руководство по ремонту 1152804
- Хааг, Рудольф ; Сониус, Мартин; Лопушанские, Ян Т. (1975), "Все возможные генераторы суперсимметрии в S-матрице", ядерная физика B , 88 : 257-274, Bibcode : 1975NuPhB..88..257H , DOI : 10.1016 / 0550-3213 ( 75) 90279-5 , Руководство по ремонту 0411396