Обсуждение: Точка ответвления

Точка ветвления была указана как жизненно важная статья 5-го уровня по математике. Если вы можете улучшить его, пожалуйста, сделайте . Эта статья была оценена как Start-Class .

ВикиПроект Математика

(рейтинговый стартовый класс, средний приоритет)

Эта статья находится в рамках WikiProject Mathematics , совместной работы по улучшению освещения математики в Википедии. Если вы хотите принять участие, посетите страницу проекта, где вы можете присоединиться к обсуждению и увидеть список открытых задач.Математика Wikipedia:WikiProject Mathematics Template:WikiProject Mathematics статьи по математике  Начинать  Эта статья была оценена как Start-Class по шкале качества проекта .  Середина  Эта статья имеет средний приоритет по шкале приоритетности проекта .

Ежедневные просмотры этой статьи

Re: Изменена формула

Пункт об измененной формуле

${\ displaystyle F (z) = {\ sqrt {z}} {\ sqrt {1-z}}}$

заключается в том, что нет ничего невинного в том, чтобы извлекать квадратный корень из каждого фактора отдельно; каждый тогда имеет другую область определения, так что F фактически определяется априори на пересечении областей. Что, на самом деле, должно спутать суть дела с примером.

Чарльз Мэтьюз 11:05, 15 октября 2004 г. (UTC)

Ошибка

Является ли утверждение:

Точка z ₀ является точкой ветвления для голоморфной функции f ( z ) тогда и только тогда, когда ее производная f ′ ( z ) имеет z ₀ как простой полюс (т.е. полюс порядка 1) — см. математическую сингулярность .

правильный? Функция кажется контрпримером. 0 — это точка ветвления, но ее производная равна 1/2, которая также имеет точку ветвления в нуле, а не полюс порядка 1.${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$

Странно говорить. Точки ветвления в основном являются местами, где теорема об обратной функции не работает в этой настройке. Таким образом, они связаны с нулями производной инвертируемой функции. Чарльз Мэтьюз 09:55, 16 января 2005 г. (UTC)

Это забавно, потому что я нашел ваше заявление странным. :) Я понимаю вашу точку зрения и понимаю, что вы пытаетесь сказать. Однако будем строги.

Эээ?! Производная , которая имеет простой полюс в нуле. — Предыдущий неподписанный комментарий добавлен 129.97.218.32 ( обсуждение ) 03:13, 4 апреля 2008 г. (UTC)${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$${\ displaystyle 1/(2 {\ sqrt {z}})}$

• Точка ветвления не является местом, где теорема об обратной функции неверна. Для функции z->z ² теорема об обратной функции неверна в 0, но 0 никоим образом не является точкой ветвления для этой функции. Точка ветвления, согласно тому, что написано в статье, — это точка, в которой функция многозначна, например, log z при 0.

• Обратное z- >z ² , которое является квадратным корнем, имеет 0 в качестве точки ветвления. Однако производная квадратного корня не имеет 0 в качестве полюса.

Короче говоря, между точками ветвления и полюсами есть некоторая связь, но утверждение

Точка z ₀ является точкой ветвления для голоморфной функции f ( z ) тогда и только тогда, когда ее производная f ′ ( z ) имеет z ₀ как простой полюс (т.е. полюс порядка 1) — см. математическую сингулярность .

все еще неправильно. Математически я ошибаюсь , нельзя доказать правильность этого утверждения, потому что я привел контрпример (второй пункт выше). Олег Александров 17:23, 16 янв 2005 (UTC)

Вы правы, конечно. Я пытался выразить концепцию разветвления довольно простым языком. Чарльз Мэтьюз 19:18, 16 января 2005 г. (UTC)

?

можно определение? — Предыдущий комментарий без подписи добавил Rsjyufoih ( talk  •  contribs ).

Запутанный пример квадратного корня

Я считаю, что пример с квадратным корнем сбивает с толку. В примере говорится, что точка ветвления sqrt(z) равна нулю, но предлагаемая область («окружность радиуса 4 с центром в 0») никогда не проходит через нуль. Предлагаемый домен выглядит так: z=4*e^(i*theta). Значения квадратного корня для этой области очерчивают полуокружность радиуса 2 с центром в точке 0" — z=2*e^(i*theta/2) — которая также никогда не проходит через нуль.

В другом месте статьи: «разрезы принято строить в комплексной плоскости, а именно дуги из точек ветвления». Это, по-видимому, предполагает, что форма дуги определяется индивидуальным выбором точек ветвления. Правильно ли будет сказать, что точка ветвления — это пересечение значения и/или области определения функции с ветвью?

Какой будет точка (точки) ветвления в данном примере для квадратного корня: «4+0*i» (точка в области определения) и/или «2+0*i» (значение функции)?

Использование одного и того же нижнего индекса в следующем утверждении предполагает, что точка ветвления z ₀ обязательно находится в начале координат: «точка ветвления может неформально рассматриваться как точка z ₀ , в которой «многозначная функция» меняет значения при однократном обходе около z ₀ ». Ac44ck 03:55, 29 мая 2007 г. (UTC)

Там вообще нет "предлагаемого домена". Окружность радиуса 4 с центром в 0 не предлагается в качестве домена. Скорее, он используется для того, чтобы показать, почему 0 является точкой ветвления. Если вы обойдете 0, следуя этому пути, значение функции, когда вы вернетесь к исходной точке, больше не будет тем, что было в начале. Вот почему 0 является точкой ветвления. Майкл Харди 21:27, 29 мая 2007 г. (UTC)

Обсуждение в другом разделе этой страницы обсуждения, кажется, говорит: «Точка ветвления... это точка, в которой функция многозначна». Это наводит меня на мысль, что есть точка ветвления _на_ окружности радиуса 4. В статье упоминается точка ветвления только в нуле.

Упоминание в другом месте статьи о том, что ветвления строятся из «дуг, выходящих из точек ветвления», предполагает, что функция обычно имеет несколько точек ветвления.

Если центр окружности является точкой ветвления в данном примере, то это, по-видимому, имеет место для окружности любого радиуса, а для функции квадратного корня есть только одна точка ветвления: в нуле. Это то, что показывает пример?

Ac44ck 04:26, 16 июня 2007 (UTC)

Он говорит, что 0 является точкой ветвления функции квадратного корня. Он не говорит прямо «только», хотя «только» было бы правильным. Подойдет любой круг, проходящий один раз вокруг начала координат; число 4 было выбрано для удобства. Майкл Харди 00:10, 23 сентября 2007 г. (UTC)

Кажется, Mathworld говорит, что существует бесконечное количество точек ветвления:

http://mathworld.wolfram.com/SquareRoot.html

«функция комплексного квадратного корня имеет ветвь, срезанную вдоль отрицательной действительной оси».

Согласно текущей статье, разрезы ветвей строятся из «дуг из точек ветвления».

Мне кажется, что точка ветвления для окружности радиуса 4 возникает там, где эта окружность пересекает отрицательную действительную ось, а не в начале координат.

-- Ac44ck 08:18 , 23 сентября 2007 г. (UTC)

Некоторая путаница здесь. Точка на срезе ветки будет своего рода точкой перехода, но это не то, что известно в торговле как «точка ответвления». Отрезок в любом случае представляет собой несколько произвольную линию: пройдя некоторое время вдоль отрицательной реальной оси, он может внезапно направиться на юго-запад. Это был бы неудобный способ определить «квадратный корень», но он был бы хорошо определен. И точки, в которых функцию квадратного корня нельзя было бы сделать непрерывной, были бы другими. С другой стороны, точка ветвления имеет значение, присущее функции возведения в квадрат, которую мы пытаемся инвертировать. Точка 0 является точкой ветвления из-за геометрии возведения в квадрат. Чарльз Мэтьюз 09:58, 23 сентября 2007 г. (UTC)

Что это значит?

Если вы можете объяснить, что означает следующее, то, вероятно, раздел в порядке:

Точка z в области определения f называется точкой ветвления f , если значение f в z отличается в зависимости от ее аргумента . То есть z является точкой ветвления f тогда и только тогда, когда для двух конкретных аргументов θ ₁ и θ ₂ z значение f в z различно для каждого.

Однако имейте в виду, что голоморфная функция комплексной переменной z обязательно должна иметь одно и то же значение, независимо от того, выбирается ли в качестве аргумента z θ или θ+2π . Так что, пока этот вопрос не прояснится, определение будет неясным и нестрогим. Предлагаю его убрать или хотя бы уточнить. В нынешнем состоянии это совершенно бессмысленно. siℓℓy rabbit ( разговор ) 20:58, 10 декабря 2008 г. (UTC)

Скопировано со страницы обсуждения глупого кролика:

В ПОРЯДКЕ. Я уберу первое определение. Второе определение, вероятно, объясняет это более формально.

Эксперт по топологии ( разговор ) 21:13, 10 декабря 2008 г. (UTC)

Лучше? Я удалил все спорное и оставил то, что не является спорным. Когда мы разберемся с проблемой, мы можем добавить обратно то, что правильно. Я должен спать сейчас, так что я буду отвечать на комментарии завтра. Если вы все еще думаете, что с этим определением есть проблемы, объясните их. Завтра я уточню определение 1 и «голоморфность» (и другие вопросы).

Эксперт по топологии ( разговор ) 21:18, 10 декабря 2008 г. (UTC)

Спокойной ночи.

Эксперт по топологии ( разговор ) 21:18, 10 декабря 2008 г. (UTC)

Определение кажется правильным, но сейчас я внимательно его рассмотрю.

Эксперт по топологии ( разговор ) 09:29, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Некоторые вопросы

Всего несколько вопросов. Раздел формального определения связывает точки ветвления с исходной функцией, а раздел примеров связывает точки ветвления с обратными отображениями. В разделе формального определения есть примечание, объясняющее это (что полезно), но мы, вероятно, должны быть последовательны в том, как мы вводим точки ветвления, как вы думаете? Например, в первом примере мы могли бы ввести функцию ƒ:C -> C с помощью ƒ(x) = x^2 , сделать вывод, что 0 — это точка ветвления, и оставить некоторые примечания о функции квадратного корня. Возможно, нам следует распространить этот пример на сферу Римана, так как он может легко удвоиться как пример с римановыми поверхностями, и обратите внимание, что${\ Displaystyle \ infty}$также является точкой ветвления. Я буду рад сделать это, если вы все согласны, но это подводит меня к моему следующему вопросу.

В примере 2 мы не можем вывести, что 0 является точкой ветвления функции логарифма, используя метод, описанный в разделе формального определения, поскольку функция логарифма даже не определена в 0 . Поэтому мне интересно, не следует ли нам также немного изменить раздел формального определения? Может быть, даже заменить этот раздел разделом комплексного анализа? Затем у нас могут быть конкретные примеры из комплексного анализа, римановых поверхностей и алгебраической геометрии, хотя я не могу помочь с двумя последними.

В «Лекциях о римановых поверхностях» Форстера (GTM 81) он дает следующее определение точки ветвления: предположим , что X , Y — римановы поверхности, p : X -> Y — непостоянное голоморфное отображение. Точка y в Y называется точкой ветвления или точкой ветвления p , если не существует окрестности V точки y такой, что p|Vявляется инъективным. Глядя на раздел этой статьи, посвященный римановым поверхностям, и статью о локальных координатах, я вижу некоторое сходство, но, в частности, кажется, что Форстер не делает различий между точками ветвления и точками ветвления. Это тоже немного отличается от нашего формального определения, поэтому мне интересно, может быть, это определение Форстера не так широко распространено? Или, если это так, может быть, это следует отметить в какой-то момент? Ура, Бен ( разговор ) 12:27, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Привет, Бэн. Вы делаете несколько замечательных замечаний, и я должен сказать, что мне жаль, что я, по-видимому, пропустил эту тему во всей этой шумихе. Незамеченный, я имел в виду некоторые из этих вещей, когда редактировал сегодня вечером, и поэтому я, вероятно, по крайней мере частично прояснил некоторые неясности здесь (хотя некоторая путаница, кажется, все еще остается: см. следующую тему). Если это не слишком большая просьба, может быть, вы захотите еще раз изучить статью с тем же критическим взглядом?

Что касается вашего последнего пункта, определение Форстера эквивалентно определению в разделе о римановых поверхностях. Однако это несколько проще, и поэтому, вероятно, его следует включить в статью и указать перед более сложным определением, включающим индекс ветвления. Различие между точками ветвления и точками ветвления является довольно распространенным, хотя и не универсальным. siℓℓy rabbit ( разговор ) 01:56, 12 декабря 2008 г. (UTC)

Логарифм

Сингулярность логарифма не квалифицируется как точка ветвления согласно большинству определений. Он не входит в область функции и не исходит из какого-либо хорошего разветвленного покрова. Это достаточно особый вид, который заслуживает некоторого рассмотрения, но отдельно от основных случаев. Однако большинство примеров в статье представляют собой логарифмические точки ветвления. Я думаю, это должно быть исправлено. siℓℓy rabbit ( разговор ) 12:44, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Так как же назвать такую ​​вещь, как не точкой ветвления? Вы говорите, что что-то не является точкой ветвления, если оно не находится в домене, то есть оно отображается в какое-то конечное комплексное число? Майкл Харди ( разговор ) 13:15, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Домен также обычно включает полюса. Термин «точка ветвления» обычно означает то, что некоторые назвали бы «алгебраической сингулярностью» (см., например, Альфорса). Я слышал, что особенность логарифма называется «логарифмической точкой ветвления». Это, конечно, существенная особенность , а не алгебраический полюс. siℓℓy rabbit ( разговор ) 13:26, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Я не согласен с этим - сингулярность журнала особенная только потому, что вы получаете бесконечно много значений, когда ходите. С разрезами ветвей квадратного корня вы получаете два значения, но

${\ displaystyle {\ sqrt {x}} = e ^ {\ log (x) / 2}}$

и exp является аналитическим. Таким образом, срез ветки с квадратным корнем («упаковка джо» из срезов веток) точно такой же, как срез бревна после некоторой аналитической склейки. Лайтбокс ( обсуждение ) 19:13, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Но exp является накрывающей картой , а не разветвленной , поэтому здесь нет точки ветвления в обычном понимании. Конечно, есть монодромия (и поэтому можно говорить о срезах ветвей ), но совсем другое дело срезы ветвей. siℓℓy rabbit ( разговор ) 19:25, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Единственная разница между ними заключается в том, что существует бесконечно много значений, когда вы проходите по журналу «точка ветвления». Точки ветвления рациональной экспоненты имеют конечное число значений, поэтому они особенные --- их можно «размотать» с помощью рациональной карты. Логарифмическая точка ветвления требует трансцендентной карты, которая имеет существенную сингулярность на бесконечности. Это разница, но, на мой взгляд, не такая уж и важная разница, чтобы объявить, что "бревно" не имеет срезанной ветки.

Если вы разделите эти два случая, то вы также проведете огромное различие между x^\alpha для \alpha рационального и \alpha иррационального. В рациональном случае у вас разветвленное покрытие, а в иррациональном — та же лог-сингулярность. Когда в литературе по физике говорят «ветвь», они имеют в виду континуум полюсов, и эти два случая никогда не разделяются — они оба являются «разрезами».

Для целей алгебраической геометрии я согласен, что эти два случая следует разделить. Я думаю, что правильнее будет дать названия двум случаям: конечно разветвленные разрезы ветвей и логарифмические разрезы ветвей. Разделение подобно тому, как между рациональными и иррациональными числами, для некоторых идеализированных свойств они очень разные, но для прикладной математики они постоянно смешиваются. Лайтбокс ( обсуждение ) 23:06, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Тогда я думаю, что мы действительно можем прийти к соглашению. Я не говорю, что логарифмы здесь неуместны, но что их следует держать отдельно от алгебраического случая и что нет необходимости пытаться дать общее определение, которое одновременно устранит все проблемы. Я думаю, что определение алгебраических сингулярностей самое простое и должно идти первым. Трансцендентальные сингулярности, по-видимому, требуют механизма аналитического продолжения и поэтому должны быть вторыми. Это также дает статье некоторое время, чтобы мотивировать введение аналитического продолжения и глобальных аналитических функций для начала. siℓℓy rabbit ( разговор ) 23:37, 11 декабря 2008 г. (UTC)

(deindent) Обрезки корневых ветвей также нуждаются в аналитическом продолжении, и я лично считаю, что логи проще. Но все, что плывет на вашей лодке. Я думаю, что текущая формулировка является достойной. Likebox ( обсуждение ) 23:54, 11 декабря 2008 г. (UTC)

На самом деле алгебраические точки ветвления требуют только понятия покрытия: точка ветвления — это образ точки ветвления. Аналитического продолжения не требуется. Первый раздел статьи после лида определяет точку ветвления без какой-либо ссылки на аналитическое продолжение. siℓℓy rabbit ( разговор ) 01:13, 12 декабря 2008 г. (UTC)

А как вы определяете функцию на крышке? Путем аналитического продолжения от некоторых известных значений. То же самое и в случае с функцией журнала. Можно определить риманову поверхность «винтовой лестницы» и проекцию на комплексную плоскость, а журнал однозначный. На самом деле принципиальной разницы нет, единственная разница в том, что сингулярность нельзя выпрямить алгебраически. Likebox ( обсуждение ) 02:01, 12 декабря 2008 г. (UTC)

Я согласен с тем, что для определения функции через ветвления необходимо аналитическое продолжение. Однако обратите внимание, что я говорю здесь только о точках ветвления . (Разве статья не об этом?) Хотя полное описание построения аналитического продолжения функции в терминах ее функциональных элементов , вероятно, выходит за рамки этой статьи, вероятно, следует добавить где-нибудь раздел, посвященный как определить аналитические продолжения через разрезы ветвей. siℓℓy rabbit ( разговор ) 02:16, 12 декабря 2008 г. (UTC)

Я понимаю. Спасибо. Likebox ( обсуждение ) 02:20, 12 декабря 2008 г. (UTC)

Голоморфны в точке ветвления?

В статье теперь говорится:

Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых есть неоднозначность при извлечении корня, таких как решение уравнения z = w ² для w как функции z . Здесь точкой ветвления является начало координат, потому что аналитическое продолжение любого решения по замкнутому контуру, содержащему начало координат, приведет к другой функции: существует нетривиальная монодромия. Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция w определена и в соответствующем смысле голоморфна в нуле.

Кажется, это говорит о том, что функция квадратного корня голоморфна в начале координат. В каком смысле это правда? Майкл Харди ( разговор ) 23:25, 11 декабря 2008 г. (UTC)

Я имею в виду, что разветвленное накрывающее отображение z = w2 также определено и голоморфно в начале координат, что является главным признаком, ^{отличающим} алгебраический и неалгебраический случаи. Завтра попробую еще раз. siℓℓy rabbit ( разговор ) 00:59, 12 декабря 2008 г. (UTC)

Внимание экспертов: точка разветвления или ?${\ Displaystyle Z_ {0}}$${\ Displaystyle е (z_ {0})}$

Кажется, есть несоответствие в разделе точек ветвления алгебры. Во втором абзаце говорится, что это точка ветвления и точка ветвления , тогда как в третьем абзаце говорится о «точке ветвления » . Это может быть связано, а может и не быть связано со злоупотреблением языком, упомянутым в третьем абзаце. Если это так, то нужно значительно уточнить, о какой функции мы говорим, в какой точке, и в идеале использовать разные символы для точек в области определения и точек в области определения . Йорики ( разговор ) 07:37, 10 апреля 2009 г. (UTC)${\ Displaystyle Z_ {0}}$${\ Displaystyle е (z_ {0})}$${\ Displaystyle Z_ {0}}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle е ^ {- 1}}$

С тех пор анонимный пользователь внес несколько полезных улучшений, но проблемы остались, поэтому я снова добавил шаблон внимания экспертов (на этот раз для статьи, поскольку проблемы частично связаны с отношениями между разделами). Некоторые оставшиеся проблемы:

• «Тогда говорят, что g является трансцендентной точкой ветвления» не имеет смысла ( g — функция) — вероятно, это должно быть либо , либо .${\ Displaystyle Z_ {0}}$${\ Displaystyle г (z_ {0})}$
• Использование термина «точка ветвления» по-прежнему кажется несовместимым между разделами «Алгебраические точки ветвления» и «Трансцендентные и логарифмические точки ветвления». Одно дело отметить, что часто в литературе не делается различия между точками ветвления и точками разветвления, а другое дело использовать терминологию, введенную в статье, внутри статьи в ином значении, чем было введено.

Йорики ( разговор ) 12:02, 19 апреля 2009 г. (UTC)

Использование согласуется между двумя разделами. Например, говорят о точках ветвления квадратного корня и о точках ветвления функции возведения в квадрат. Я также удалил тег «эксперт» и исправил грамматическую оплошность, против которой вы возражали в своем первом пункте списка. 71.182.187.38 ( разговор ) 11:26, 24 апреля 2009 г. (UTC)

Точки ветвления в полях?

Я немного запутался в ведущем разделе этой статьи; мне кажется, это указывает на то, что точки ветвления существуют только в сложных функциях . А как насчет скалярных или векторных полей ? Разве в них тоже нет точек ветвления? — Кри ( разговор ) 10:38, 28 августа 2016 г. (UTC)

Определения неверны или, в лучшем случае, неточны

Определение во главе не имеет смысла. Можно сказать, что однозначная функция разрывна в точке (т. е. не непрерывна там), но что значит сказать, что многозначная функция «разрывна при обходе контура»? Кроме того, определение римановых поверхностей, данное позже, слишком ограничено, поскольку оно требует, чтобы и X , и Y были компактными. Нужно найти лучшие ссылки. Эбони Джексон ( разговор ) 18:15, 23 января 2021 г. (UTC)