«Пятьдесят девять икосаэдров» - это книга, написанная и проиллюстрированная HSM Coxeter , P. Du Val , HT Flather и JF Petrie. В нем перечислены определенные звёздчатые формы правильного выпуклого или платонового икосаэдра в соответствии с набором правил, предложенных Дж .К. П. Миллером .
Впервые опубликовано Университетом Торонто в 1938 году, второе издание - переизданием Springer-Verlag в 1982 году. Третье издание Тарквина 1999 года включало новые справочные материалы и фотографии К. и Д. Креннелл.
Вклад авторов [ править ]
Правила Миллера [ править ]
Хотя Миллер не участвовал в написании книги напрямую, он был близким коллегой Кокстера и Петри. Его вклад увековечен в его наборе правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должным образом значимыми и отличными»: [1]
- (i) Грани должны лежать в двадцати плоскостях, а именно ограничивающих плоскостях правильного икосаэдра.
- (ii) Все части, составляющие грани, должны быть одинаковыми в каждой плоскости, хотя они могут быть совершенно не соединены.
- (iii) Части, входящие в любую плоскость, должны иметь тригональную симметрию, без отражения или с отражением. Это обеспечивает икосаэдрическую симметрию для всего твердого тела.
- (iv) Все части, входящие в любую плоскость, должны быть «доступны» в готовом твердом теле (т.е. они должны быть «снаружи». В некоторых случаях нам могут потребоваться модели огромных размеров, чтобы видеть все снаружи. модель обычного размера, некоторые части «снаружи» могли исследовать только ползающее насекомое).
- (v) Мы исключаем из рассмотрения случаи, когда части можно разделить на два набора, каждый из которых дает твердое тело с такой же симметрией, как и вся фигура. Но мы допускаем комбинацию энантиоморфной пары, не имеющей общей части (что на самом деле имеет место только в одном случае).
Правила (i) - (iii) являются требованиями симметрии для плоскостей лицевых поверхностей. Правило (iv) исключает заглубленные отверстия, чтобы две звездочки не выглядели внешне одинаковыми. Правило (v) предотвращает любое разъединенное соединение более простых звездчатых элементов.
Кокстер [ править ]
Кокстер был главной движущей силой этой работы. Он провел первоначальный анализ, основанный на правилах Миллера, применив ряд методов, таких как комбинаторика и абстрактная теория графов , использование которых в геометрическом контексте было тогда новым.
Он заметил, что звездчатая диаграмма состоит из множества отрезков прямых. Затем он разработал процедуры для манипулирования комбинациями соседних областей плоскости, чтобы формально перечислить комбинации, разрешенные в соответствии с правилами Миллера.
Его график, воспроизведенный здесь, показывает взаимосвязь различных лиц, обозначенных на звездчатой диаграмме (см. Ниже). Греческие символы представляют собой набор возможных альтернатив:
- λ может быть 3 или 4
- μ может быть 7 или 8
- ν может быть 11 или 12
Дю Валь [ править ]
Дю Валь разработал символическое обозначение для обозначения наборов конгруэнтных ячеек, основываясь на наблюдении, что они лежат в «оболочках» вокруг исходного икосаэдра. На основании этого он проверил все возможные комбинации на соответствие правилам Миллера, подтвердив результат более аналитического подхода Кокстера.
Flather [ править ]
Вклад Флэзера был косвенным: он сделал карточные модели всех 59. Когда он впервые встретил Кокстера, он уже сделал много звёздчатых фигур, в том числе некоторые «не-Миллеровские» образцы. Затем он завершил серию из пятидесяти девяти, которые хранятся в математической библиотеке Кембриджского университета, Англия. В библиотеке также есть несколько моделей, не принадлежащих Миллеру, но неизвестно, были ли они сделаны Флэтером или более поздними учениками Миллера. [2]
Петри [ править ]
Джон Флиндерс Петри был другом Кокстера на протяжении всей жизни и обладал замечательной способностью визуализировать четырехмерную геометрию. Он и Кокстер вместе работали над множеством математических задач. Его непосредственным вкладом в создание пятидесяти девяти икосаэдров был изысканный набор трехмерных рисунков, которые обеспечивают большую часть очарования опубликованной работы.
Креннеллы [ править ]
Для третьего издания Кейт и Дэвид Креннелл сбросили текст и перерисовали диаграммы. Они также добавили справочный раздел, содержащий таблицы, диаграммы и фотографии некоторых моделей из Кембриджа (которые в то время считались принадлежащими Флэзеру). Исправления к этому изданию опубликованы в Интернете. [3]
Список пятидесяти девяти икосаэдров [ править ]
До Кокстера только Брюкнер и Уиллер зарегистрировали какие-либо значительные наборы звёздчатых образов, хотя некоторые из них, такие как большой икосаэдр, были известны дольше. После публикации «59» Веннингер опубликовал инструкции по изготовлению моделей некоторых из них; Схема нумерации, используемая в его книге, получила широкое распространение, хотя он записал только несколько звездочек.
Примечания к списку [ править ]
Номера индексов принадлежат Креннеллам, если не указано иное:
Crennell
- В индексной нумерации, добавленной к Третьему изданию Креннеллами, первые 32 формы (индексы 1-32) являются отражательными моделями, а последние 27 (индексы 33-59) являются хиральными, и перечислены только правосторонние формы. Это соответствует порядку, в котором звездочки изображены в книге.
Клетки
- В обозначениях Дю Валя каждая оболочка выделена жирным шрифтом, направленным наружу, как a , b , c , ..., h, где a является исходным икосаэдром. Некоторые оболочки подразделяются на два типа ячеек, например e включает e 1 и e 2 . Множество f 1 далее подразделяется на правую и левую формы, соответственно, f 1 (простой шрифт) и f 1 (курсив). Если в звездчатой форме все ячейки присутствуют внутри внешней оболочки, внешняя оболочка пишется с заглавной буквы, а внутренняя опускается, например a + b.+ c + e 1 записывается как Ce 1 .
Лица
- Все звездчатые формы могут быть обозначены звездчатой диаграммой . На диаграмме, показанной здесь, пронумерованные цвета обозначают области звездчатой диаграммы, которые должны встречаться вместе как набор, если должна поддерживаться полная симметрия икосаэдра. На схеме 13 таких наборов. Некоторые из них подразделяются на хиральные пары (не показаны), что позволяет использовать звездообразные формы с вращательной, но не рефлексивной симметрией. В таблице лица, видимые снизу, обозначены апострофом, например 3 ' .
Веннингер
- Индексные номера и пронумерованные имена были произвольно распределены издателем Веннингера в соответствии с их появлением в его книге Модели многогранников и не имеют отношения к какой-либо математической последовательности. Лишь некоторые из его моделей были икосаэдрами. Его имена даны в сокращенном виде, с опущенным словом «... икосаэдра».
Уиллер
- Уиллер нашел свои фигуры, или «формы» икосаэдра, выбрав отрезки прямых на звездчатой диаграмме. Он тщательно отличил это от классического звездчатого процесса Кеплера . Coxeter et al. проигнорировал это различие и назвал их все звёздчатыми.
Брюкнер
- Макс Брюкнер сделал и сфотографировал модели многих многогранников, лишь некоторые из которых были икосаэдрами. Таф. это сокращение от Tafel , немецкого слова « тарелка» .
Замечания
- № 8 иногда называют ехиднаэдром из- за воображаемого сходства с колючим муравьедом или ехидной . Это использование не зависит от описания Кеплером своих правильных звездных многогранников как своих ехидн .
Таблица пятидесяти девяти икосаэдров [ править ]
Некоторые изображения иллюстрируют зеркальный икосаэдр с ячейкой f 1, а не с ячейкой f 1 .
| Crennell | Клетки | Лица | Веннингер | Уиллер | Брюкнер | Замечания | Диаграмма лица | 3D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | А | 0 | 4 Икосаэдр | 1 | Платоническая икосаэдр | |||
| 2 | B | 1 | 26 Триакис икосаэдр | 2 | Таф. VIII, рис.2 | Первая звездчатая форма икосаэдра , малого триамбического икосаэдра или триакизикосаэдра | ||
| 3 | C | 2 | 23 Соединение пяти октаэдров | 3 | Таф. IX, рис.6 | Правильное соединение пяти октаэдров | ||
| 4 | D | 3 4 | 4 | Таф. IX, Рис.17 | ||||
| 5 | E | 5 6 7 | ||||||
| 6 | F | 8 9 10 | 27 Вторая звездочка | 19 | Вторая звездочка икосаэдра | |||
| 7 | грамм | 11 12 | 41 Большой икосаэдр | 11 | Таф. XI, Рис.24 | Большой икосаэдр | ||
| 8 | ЧАС | 13 | 42 Окончательная звездчатость | 12 | Таф. XI, Рис. 14 | Окончательная звездчатость икосаэдра или ехиднаэдра | ||
| 9 | e 1 | 3 '5 | 37 Двенадцатая звездочка | Двенадцатая звездчатость икосаэдра | ||||
| 10 | f 1 | 5 '6' 9 10 | ||||||
| 11 | г 1 | 10 '12 | 29 Четвертая звездочка | 21 год | Четвертая звездчатость икосаэдра | |||
| 12 | e 1 f 1 | 3 '6' 9 10 | ||||||
| 13 | д 1 ж 1 г 1 | 3 '6' 9 12 | 20 | |||||
| 14 | ж 1 г 1 | 5 '6' 9 12 | ||||||
| 15 | e 2 | 4 '6 7 | ||||||
| 16 | ж 2 | 7 '8 | 22 | |||||
| 17 | г 2 | 8 '9'11 | ||||||
| 18 | е 2 ж 2 | 4 '6 8 | ||||||
| 19 | e 2 f 2 g 2 | 4 '6 9' 11 | ||||||
| 20 | ж 2 г 2 | 7 '9' 11 | 30 Пятая звездочка | Пятая звездчатость икосаэдра | ||||
| 21 год | De 1 | 4 5 | 32 Седьмая звездочка | 10 | Седьмая звездочка икосаэдра | |||
| 22 | Ef 1 | 7 9 10 | 25 Соединение десяти тетраэдров | 8 | Таф. IX, рис. 3 | Правильное соединение десяти тетраэдров | ||
| 23 | Fg 1 | 8 9 12 | 31 Шестая звездочка | 17 | Таф. X, рис.3 | Шестая звездчатость икосаэдра | ||
| 24 | De 1 f 1 | 4 6 '9 10 | ||||||
| 25 | Де 1 ж 1 г 1 | 4 6 '9 12 | ||||||
| 26 | Ef 1 г 1 | 7 9 12 | 28 Третья звездочка | 9 | Таф. VIII, Рис. 26 | Раскопанный додекаэдр | ||
| 27 | De 2 | 3 6 7 | 5 | |||||
| 28 | Ef 2 | 5 6 8 | 18 | Taf.IX, рис.20 | ||||
| 29 | Fg 2 | 10 11 | 33 Восьмая звездочка | 14 | Восьмая звездчатость икосаэдра | |||
| 30 | De 2 f 2 | 3 6 8 | 34 Девятая звездочка | 13 | Медиальный триамбический икосаэдр или Большой триамбический икосаэдр | |||
| 31 год | De 2 f 2 g 2 | 3 6 9 '11 | ||||||
| 32 | Ef 2 г 2 | 5 6 9 '11 | ||||||
| 33 | f 1 | 5 '6 ' 9 10 | 35 Десятая звездочка | Десятая звездчатость икосаэдра | ||||
| 34 | e 1 f 1 | 3 ' 5 6 ' 9 10 | 36 Одиннадцатая звездочка | Одиннадцатая звездчатость икосаэдра | ||||
| 35 год | De 1 f 1 | 4 5 6 ' 9 10 | ||||||
| 36 | ж 1 г 1 | 5' 6 ' 9 10 ' 12 | ||||||
| 37 | д 1 ж 1 г 1 | 3 ' 5 6 ' 9 10 ' 12 | 39 Четырнадцатая звездочка | Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра | ||||
| 38 | Де 1 ж 1 г 1 | 4 5 6 ' 9 10 ' 12 | ||||||
| 39 | ж 1 г 2 | 5 '6 ' 8 ' 9 ' 10 11 | ||||||
| 40 | д 1 ж 1 г 2 | 3 ' 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11 | ||||||
| 41 год | De 1 f 1 g 2 | 4 5 6 ' 8 ' 9 ' 10 11 | ||||||
| 42 | ж 1 ж 2 г 2 | 5 '6 ' 7 ' 9 ' 10 11 | ||||||
| 43 | д 1 ж 1 ж 2 ж 2 | 3 ' 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11 | ||||||
| 44 | De 1 f 1 f 2 g 2 | 4 5 6 ' 7 ' 9 ' 10 11 | ||||||
| 45 | e 2 f 1 | 4 ' 5 ' 6 7 9 10 | 40 Пятнадцатая звездочка | Пятнадцатая звездчатость икосаэдра | ||||
| 46 | De 2 f 1 | 3 5 ' 6 7 9 10 | ||||||
| 47 | E f 1 | 5 6 7 9 10 | 24 Соединение пяти тетраэдров | 7 (6: левша) | Таф. IX, Рис.11 | Правильное соединение пяти тетраэдров (правостороннее) | ||
| 48 | д 2 ж 1 г 1 | 4 ' 5 ' 6 7 9 10 ' 12 | ||||||
| 49 | De 2 f 1 г 1 | 3 5 ' 6 7 9 10 ' 12 | ||||||
| 50 | E f 1 г 1 | 5 6 7 9 10 ' 12 | ||||||
| 51 | е 2 ж 1 ж 2 | 4 ' 5 ' 6 8 9 10 | 38 Тринадцатая звездочка | Тринадцатая звёздочка икосаэдра | ||||
| 52 | De 2 f 1 f 2 | 3 5 ' 6 8 9 10 | ||||||
| 53 | E f 1 f 2 | 5 6 8 9 10 | 15 (16: левша) | |||||
| 54 | e 2 f 1 f 2 g 1 | 4 ' 5 ' 6 8 9 10 ' 12 | ||||||
| 55 | De 2 f 1 f 2 g 1 | 3 5 ' 6 8 9 10 ' 12 | ||||||
| 56 | E f 1 f 2 g 1 | 5 6 8 9 10 ' 12 | ||||||
| 57 | е 2 ж 1 ж 2 ж 2 | 4 ' 5 ' 6 9 ' 10 11 | ||||||
| 58 | De 2 f 1 f 2 g 2 | 3 5 ' 6 9 ' 10 11 | ||||||
| 59 | E f 1 f 2 g 2 | 5 6 9 ' 10 11 |
См. Также [ править ]
- Список моделей многогранников Веннингера - книга Веннингера «Модели многогранников» включала 21 из этих звездчатых форм.
- Твердые тела с икосаэдрической симметрией
Примечания [ править ]
- ^ Coxeter, du Val, et al (Третье издание, 1999 г.), страницы 15-16.
- ^ Inchbald, G .; Некоторые утерянные звёздчатые формы икосаэдра , steelpillow.com, 11 июля 2006 г. [1] (получено 14 сентября 2017 г.)]
- ^ К. и Д. Креннелл; The Fifty-Nine Icosahedra , Fortran Friends, [2] (получено 14 сентября 2017 г.).
Ссылки [ править ]
- Брюкнер, Макс (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . Лейпциг: Б. Г. Тройбнер. ISBN 978-1-4181-6590-1 . (на немецком)
- WorldCat English: Многоугольники и многогранники: теория и история . Фотографии моделей: Tafel VIII (Plate VIII) и др. Высокое разрешение. сканы.
- HSM Coxeter , Патрик дю Вал , HT Flather, JF Petrie (1938) Пятьдесят девять Икосаэдров , исследования Университета Торонто , математическая серия 6: 1–26.
- Третье издание (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3 MR 676126
- Веннингер, Магнус Дж. (1983) Модели многогранников ; Издательство Кембриджского университета , издание в мягкой обложке (2003). ISBN 978-0-521-09859-5 .
- А. Х. Уиллер (1924) "Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников", Труды Международного конгресса математиков , Торонто, Vol. 1. С. 701–708.
Внешние ссылки [ править ]
- Пример звёздчатой формы икосаэдра
- Пятьдесят девять звёздчатых звёзд правильного икосаэдра
- Вайсштейн, Эрик В. «Пятьдесят девять звездчатых икосаэдров» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Ехиднаэдр» . MathWorld .
- Звёздчатые формы икосаэдра
- Джордж Харт, 59 звёздчатых образов икосаэдра - файлы VRML 3D.
