Теория пучка Тимошенко – Эренфеста

Ориентация линии перпендикулярно средней плоскости толстой книги при изгибе.

Теория пучка Тимошенко – Эренфеста была разработана Стивеном Тимошенко и Полем Эренфестом ^{[1] [2] [3] в} начале 20 века. ^{[4] [5]} Модель учитывает эффекты деформации сдвига и вращательного изгиба , что делает ее подходящей для описания поведения толстых балок, многослойных композитных балок или балок, подверженных высокочастотному возбуждению, когда длина волны приближается к толщине балки. . Полученное уравнение имеет 4-й порядок, но, в отличие от теории пучков Эйлера – Бернулли,, также присутствует частная производная второго порядка. Физически учет дополнительных механизмов деформации эффективно снижает жесткость балки, в то время как результатом является больший прогиб под статической нагрузкой и более низкие прогнозируемые собственные частоты для данного набора граничных условий. Последний эффект более заметен для более высоких частот, когда длина волны становится короче (в принципе, сравнимой с высотой балки или короче), и, таким образом, расстояние между противоположными поперечными силами уменьшается.

Эффект инерции вращения был введен Брессом ^[6] и Рэлеем. ^[7]

Если модуль сдвига материала балки приближается к бесконечности - и, таким образом, балка становится жесткой при сдвиге - и если пренебречь эффектами инерции вращения, теория балки Тимошенко сходится к теории обычной балки.

Квазистатический пучок Тимошенко [ править ]

Деформация балки Тимошенко (синий) по сравнению с деформацией балки Эйлера – Бернулли (красный).

Деформация балки Тимошенко. Нормаль вращается на величину, не равную .${\ Displaystyle \ тета _ {х} = \ varphi (х)}$${\ displaystyle dw / dx}$

В статической теории балки Тимошенко без осевых эффектов предполагается, что смещения балки определяются выражением

${\ displaystyle u_ {x} (x, y, z) = - z ~ \ varphi (x) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x , y) = w (x)}$

где - координаты точки в балке, - компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, - угол поворота нормали к средней поверхности балки, - смещение средней поверхности. в направлении.${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle z}$

Основными уравнениями являются следующая связанная система обыкновенных дифференциальных уравнений :

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ left (EI {\ frac {\ mathrm {d}) \ varphi} {\ mathrm {d} x}} \ right) = q (x) \\ & {\ frac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} x}} = \ varphi - {\ frac {1} {\ kappa AG}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (EI {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} x}} \ right). \ end {выравнивается}}}$

Теория балок Тимошенко для статического случая эквивалентна теории Эйлера – Бернулли, когда последний член не учитывается, приближение, которое справедливо, когда

${\ displaystyle {\ frac {EI} {\ kappa L ^ {2} AG}} \ ll 1}$

где

• ${\ displaystyle L}$ длина балки.
• ${\ displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения.
• ${\ displaystyle E}$является модулем упругости .
• ${\ displaystyle G}$- модуль сдвига .
• ${\ displaystyle I}$- второй момент площади .
• ${\ displaystyle \ kappa}$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно для прямоугольного сечения.${\ displaystyle \ kappa = 5/6}$
• ${\ Displaystyle д (х)}$ - распределенная нагрузка (сила на длину).

Объединение двух уравнений дает для однородной балки постоянного поперечного сечения

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Изгибающий момент и поперечная сила в балке связаны с перемещением и вращением . Эти соотношения для линейной упругой балки Тимошенко следующие:${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

Вывод уравнений квазистатической балки Тимошенко.

Исходя из кинематических предположений для балки Тимошенко, перемещения балки определяются выражением ${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z)=w(x,t)}$ Тогда из соотношений деформация-перемещение для малых деформаций ненулевые деформации, основанные на предположениях Тимошенко, равны ${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}=-z~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~;~~\varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ Поскольку фактическая деформация сдвига в балке непостоянна по поперечному сечению, мы вводим поправочный коэффициент, такой, что${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \varepsilon _{xz}={\frac {1}{2}}~\kappa ~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)}$ Изменение внутренней энергии пучка равно ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\int _{A}(\sigma _{xx}\delta \varepsilon _{xx}+2\sigma _{xz}\delta \varepsilon _{xz})~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L=\int _{L}\int _{A}\left[-z~\sigma _{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+\sigma _{xz}~\kappa \left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} L}$ Определять ${\displaystyle M_{xx}:=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~Q_{x}:=\kappa ~\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A}$ потом ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[-M_{xx}{\frac {\partial (\delta \varphi )}{\partial x}}+Q_{x}\left(-\delta \varphi +{\frac {\partial (\delta w)}{\partial x}}\right)\right]~\mathrm {d} L}$ Интегрирование по частям с учетом того, что из-за граничных условий отклонения равны нулю на концах балки, приводит к ${\displaystyle \delta U=\int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}~\delta w\right]~\mathrm {d} L}$ Отклонение внешней работы, совершаемой поперечной нагрузкой на балку на единицу длины, равно${\displaystyle q(x,t)}$ ${\displaystyle \delta W=\int _{L}q~\delta w~\mathrm {d} L}$ Тогда для квазистатического пучка принцип виртуальной работы дает ${\displaystyle \delta U=\delta W\implies \int _{L}\left[\left({\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}\right)~\delta \varphi -\left({\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q\right)~\delta w\right]~\mathrm {d} L=0}$ Основными уравнениями для балки являются, согласно основной теореме вариационного исчисления, ${\displaystyle {\frac {\partial M_{xx}}{\partial x}}-Q_{x}=0~;~~{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+q=0}$ Для линейной упругой балки ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{xx}&=\int _{A}z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} A=\int _{A}z~E~\varepsilon _{xx}~\mathrm {d} A=-\int _{A}z^{2}~E~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}~\mathrm {d} A=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\Q_{x}&=\int _{A}\sigma _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}2G~\varepsilon _{xz}~\mathrm {d} A=\int _{A}\kappa ~G~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)~\mathrm {d} A=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$ Следовательно, основные уравнения для балки могут быть выражены как ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)&=0\\{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q&=0\end{aligned}}}$ Объединение двух уравнений вместе дает ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)=q\\&{\frac {\partial w}{\partial x}}=\varphi -{\cfrac {1}{\kappa AG}}~{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$

Граничные условия [ править ]

Два уравнения, описывающие деформацию балки Тимошенко, должны быть дополнены граничными условиями, если они должны быть решены. Для корректной постановки задачи необходимы четыре граничных условия . Типичные граничные условия:

• Балки с простой опорой : смещение равно нулю в местах расположения двух опор. Изгибающий момент прикладывается к балке также должен быть указан. Вращение и поперечная поперечная сила не указаны.${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Q_{x}}$
• Зажимные балки : смещение и вращение заданы равными нулю на зажатом конце. Если один конец свободен, на этом конце должны быть указаны поперечная сила и изгибающий момент .${\displaystyle w}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle M_{xx}}$

Пример: консольная балка [ править ]

Консольная балка Тимошенко под точечной нагрузкой на свободном конце

У консольной балки одна граница зажата, а другая свободна. Давайте использовать правую систему координат, в которой направление положительное вправо, а направление положительное - вверх. После нормальной конвенции, мы считаем , что положительные силы действуют в положительных направлениях и осей и положительные моменты действуют в направлении по часовой стрелке. Мы также предполагаем, что знак равенства результирующих напряжений ( и ) таков, что положительные изгибающие моменты сжимают материал в нижней части балки (нижние координаты), а положительные поперечные силы вращают балку против часовой стрелки.${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle M_{xx}}$${\displaystyle Q_{x}}$${\displaystyle z}$

Предположим, что зажатый конец находится у, а свободный конец у . Если точечная нагрузка приложена к свободному концу в положительном направлении, диаграмма свободного тела балки дает нам${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle -Px-M_{xx}=0\implies M_{xx}=-Px}$

а также

${\displaystyle P+Q_{x}=0\implies Q_{x}=-P\,.}$

Следовательно, из выражений для изгибающего момента и поперечной силы имеем

${\displaystyle Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{and}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw}{dx}}\right)\,.}$

Интегрирование первого уравнения и применение граничного условия при приводит к${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \varphi (x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Тогда второе уравнение можно записать как

${\displaystyle {\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.}$

Интегрирование и применение граничного условия при дает${\displaystyle w=0}$${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle w(x)={\frac {P(L-x)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x^{2}}{3}}\right)+{\frac {PL^{3}}{3EI}}\,.}$

Осевое напряжение определяется выражением

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac {Pxz}{I}}={\frac {M_{xx}z}{I}}\,.}$

Динамическая балка Тимошенко [ править ]

В теории балок Тимошенко без осевых эффектов предполагается, что смещения балки определяются выражением

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

где - координаты точки в балке, - компоненты вектора смещения в трех координатных направлениях, - угол поворота нормали к средней поверхности балки, - смещение средней поверхности. в направлении.${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$

Исходя из сделанного выше предположения, теория балки Тимошенко с учетом колебаний может быть описана связанными линейными уравнениями в частных производных : ^[8]

${\displaystyle \rho A{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-q(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle \rho I{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

где зависимыми переменными являются поступательное смещение балки и угловое смещение. Обратите внимание, что в отличие от теории Эйлера – Бернулли , угловое отклонение является другой переменной и не аппроксимируется крутизной отклонения. Также,${\displaystyle w(x,t)}$${\displaystyle \varphi (x,t)}$

• ${\displaystyle \rho }$- плотность материала балки (но не линейная плотность ).
• ${\displaystyle A}$ - площадь поперечного сечения.
• ${\displaystyle E}$является модулем упругости .
• ${\displaystyle G}$- модуль сдвига .
• ${\displaystyle I}$- второй момент площади .
• ${\displaystyle \kappa }$, называемый коэффициентом сдвига Тимошенко, зависит от геометрии. Обычно для прямоугольного сечения.${\displaystyle \kappa =5/6}$
• ${\displaystyle q(x,t)}$ - распределенная нагрузка (сила на длину).
• ${\displaystyle m:=\rho A}$
• ${\displaystyle J:=\rho I}$

Эти параметры не обязательно являются постоянными.

Для линейно-упругой, изотропной, однородной балки постоянного поперечного сечения эти два уравнения можно объединить, чтобы получить ^{[9] [10]}

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {EIm}{\kappa AG}}\right){\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Вывод комбинированного уравнения балки Тимошенко.

Уравнения изгиба однородной балки Тимошенко постоянного сечения: ${\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&\quad m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&=\kappa AG~\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+q(x,t)~;~~m:=\rho A\\(2)&&\quad J~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)~;~~J:=\rho I\end{aligned}}}$ Из уравнения (1) в предположении соответствующей гладкости имеем ${\displaystyle {\begin{aligned}(3)&&\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\cfrac {q}{\kappa AG}}-{\cfrac {m}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\\(4)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}\\(5)&&\quad {\cfrac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&={\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {m}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$ Дифференцирующее уравнение (2) дает ${\displaystyle {\begin{aligned}(6)&&\quad J~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x\partial t^{2}}}&=EI~{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+\kappa AG~\left({\frac {\partial w^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)\end{aligned}}}$ Подставляя уравнение (3), (4), (5) в уравнение (6) и переставляя, получаем ${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

Уравнение Тимошенко предсказывает критическую частоту. Для нормальных режимов можно решить уравнение Тимошенко. Уравнение четвертого порядка имеет четыре независимых решения, два колебательных и два непродолжительных для частот ниже . Для частот, больших, чем все решения, являются колебательными, и, как следствие, появляется второй спектр. ^[11]${\displaystyle \omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I}}}.}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle f_{c}}$

Осевые эффекты [ править ]

Если смещения балки определяются выражением

${\displaystyle u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)}$

где - дополнительное смещение в -направлении, то определяющие уравнения балки Тимошенко принимают вид${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\end{aligned}}}$

где и - приложенная извне осевая сила. Любая внешняя осевая сила уравновешивается возникающим напряжением.${\displaystyle J=\rho I}$${\displaystyle N(x,t)}$

${\displaystyle N_{xx}(x,t)=\int _{-h}^{h}\sigma _{xx}~dz}$

где - осевое напряжение, а толщина балки принята равной .${\displaystyle \sigma _{xx}}$${\displaystyle 2h}$

Комбинированное уравнение балки с учетом эффектов осевой силы:

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}}$

Демпфирование [ править ]

Если в дополнение к осевым силам принять демпфирующую силу, пропорциональную скорости, имеющую вид

${\displaystyle \eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}}$

связанные управляющие уравнения для балки Тимошенко принимают вид

${\displaystyle m{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+\eta (x)~{\cfrac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)}$

${\displaystyle J{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=N{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(EI{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\partial w}{\partial x}}-\varphi \right)}$

и объединенное уравнение становится

${\displaystyle {\begin{aligned}EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}&+N~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG}}\right)~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{3}w}{\partial t^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}\right)+\eta (x){\cfrac {\partial w}{\partial t}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

Предостережение к этой демпфирующей силы анзаца (напоминающей вязкость) заключается в том, что, в то время как вязкость приводит к частотно-зависимой и независимой от амплитуды скорости затухания колебаний луча, эмпирически измеренные скорости демпфирования нечувствительны к частоте, но зависят от амплитуды отклонения луча. .

Коэффициент сдвига [ править ]

Определение коэффициента сдвига непросто (и определенные значения не являются общепринятыми, т. Е. Существует более одного ответа); как правило, он должен удовлетворять:

${\displaystyle \int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi \,}$ .

Коэффициент сдвига зависит от коэффициента Пуассона . Попытки дать точные выражения были предприняты многими учеными, включая Стивена Тимошенко , ^[12] Раймонда Д. Миндлина , ^[13] Г.Р. Каупера, ^[14] Н.Г. Стивена, ^[15] Дж. Р. Хатчинсона ^[16] и т. вывод теории балок Тимошенко как уточненной теории балок, основанной на вариационно-асимптотическом методе из книги Хана К. Ле ^[17], приводящего к различным коэффициентам сдвига в статическом и динамическом случаях). В инженерной практике в большинстве случаев достаточно выражений Стивена Тимошенко ^[18] . В 1975 году Канеко^[19] опубликовали отличный обзор исследований коэффициента сдвига. Недавно новые экспериментальные данные показывают, что коэффициент сдвига занижен. ^{[20] [21]}

Согласно Кауперу (1966) для твердых прямоугольных сечений,

${\displaystyle \kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}}$

а для сплошных круглых сечений -

${\displaystyle \kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}}$

где - коэффициент Пуассона.${\displaystyle \nu }$

См. Также [ править ]

• Теория пластин
• Теория сэндвичей

Ссылки [ править ]