В математике , то теорема Торелли , названный в честь Руджеро Torelli , является классическим результатом алгебраической геометрии над полем комплексных чисел , указывающее , что несингулярное проективное алгебраическая кривая ( компактная риманова поверхность ) С определяется его якобиева многообразия J ( C ) , когда последнее задано в виде принципиально поляризованного абелевого многообразия . Другими словами, комплексного тора J ( C ) с некоторыми `` пометками '' достаточно, чтобы восстановить C. То же самое верно и для любого алгебраически замкнутого поля . [1] Из более точных сведений о построенном изоморфизме кривых следует, что если канонически главнополяризованные якобиевы многообразия кривых родаявляется K -изоморфны для к любому совершенному полю , поэтому являются кривыми. [2]
Этот результат получил много важных расширений. Можно переделать, чтобы читать, что некоторый естественный морфизм , отображение периодов , из пространства модулей кривых фиксированного рода в пространство модулей абелевых многообразий , инъективен (в геометрических точках ). Обобщения бывают в двух направлениях. Во-первых, к геометрическим вопросам об этом морфизме, например о локальной теореме Торелли . Во-вторых, сопоставлениям с другими периодами. Глубоко изучен случай поверхностей типа K3 ( Виктор С. Куликов , Илья Пятецкий-Шапиро , Игорь Шафаревич и Федор Богомолов ) [3] и гиперкэлеровы многообразия ( Миша Вербицкий , Эяль Маркман и Даниэль Хуйбрехтс ). [4]
Заметки
- ^ Джеймс С. Милн , Якобиевы многообразия , теорема 12.1 в Cornell & Silverman (1986)
- ^ Джеймс С. Милн, Якобиевы многообразия , следствие 12.2 в Cornell & Silverman (1986)
- ^ Компактные расслоения с гиперкэлеровыми волокнами
- ^ Автоморфизмы гиперкэлеровых многообразий
Рекомендации
- Руджеро Торелли (1913). "Sulle varietà di Jacobi". Rendiconti della Reale nazionale dei Lincei . 22 (5): 98–103.
- Андре Вайль (1957). "Zum Beweis des Torellischen Satzes". Nachr. Акад. Wiss. Геттинген, Math.-Phys. Kl . IIa : 32–53.
- Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф , ред. (1986), Арифметическая геометрия , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-96311-0, MR 0861969