Полное изменение шумоподавления

В обработке сигналов шумоподавление полного отклонения , также известное как регуляризация общего отклонения , представляет собой процесс, наиболее часто используемый при обработке цифровых изображений и имеющий приложения для удаления шума. Он основан на том принципе, что сигналы с чрезмерной и, возможно, ложной детализацией имеют большую общую вариацию , то есть интеграл абсолютного градиента сигнала велик. В соответствии с этим принципом уменьшение общей вариации сигнала при условии, что он близко соответствует исходному сигналу, удаляет нежелательные детали, сохраняя при этом важные детали, такие как края. Эта концепция была впервые предложена Рудином, Ошером и Фатеми в 1992 году и поэтому сегодня известна как модель ROF .^[1]

Этот метод удаления шума имеет преимущества по сравнению с простыми методами, такими как линейное сглаживание или медианная фильтрация, которые уменьшают шум, но в то же время сглаживают края в большей или меньшей степени. Напротив, шумоподавление с полным изменением очень эффективно при одновременном сохранении краев и сглаживании шума в плоских областях даже при низких отношениях сигнал / шум. ^[2]

Серия сигналов 1D [ править ]

Для цифрового сигнала мы можем, например, определить полное изменение как${\ displaystyle y_ {n}}$

${\ Displaystyle V (y) = \ сумма _ {n} | y_ {n + 1} -y_ {n} |.}$

Учитывая входной сигнал , цель шумоподавления полной вариации состоит в том, чтобы найти приближение, назовем его , которое имеет меньшую общую вариацию, чем, но «близко» к ней . Одним из показателей близости является сумма квадратных ошибок:${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle y_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}.}$

Таким образом, проблема шумоподавления с полной вариацией сводится к минимизации следующего дискретного функционала по сигналу :${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y).}$

Дифференцируя этот функционал относительно , мы можем вывести соответствующее уравнение Эйлера – Лагранжа , которое может быть численно интегрировано с исходным сигналом в качестве начального условия. Это был оригинальный подход. ^{[1] В} качестве альтернативы, поскольку это выпуклый функционал , можно использовать методы выпуклой оптимизации , чтобы минимизировать его и найти решение . ^[3]${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$

Свойства регуляризации [ править ]

Регуляризация параметр играет важную роль в процессе удаления шума. Когда , сглаживания нет, и результат такой же, как минимизация суммы квадратов. Поскольку , однако, член общей вариации играет все более важную роль, что заставляет результат иметь меньшую общую вариацию за счет того, что он меньше похож на входной (зашумленный) сигнал. Таким образом, выбор параметра регуляризации имеет решающее значение для достижения оптимального уровня удаления шума.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda \to \infty }$

2D изображения сигналов [ править ]

Теперь рассмотрим 2D-сигналы y , например изображения. Норма полной вариации, предложенная в статье 1992 г., равна

${\displaystyle V(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}}$

и является изотропным и не дифференцируемым . Вариант, который иногда используется, поскольку иногда его легче минимизировать, представляет собой анизотропный вариант.

${\displaystyle V_{\operatorname {aniso} }(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}}}+{\sqrt {|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}=\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|.}$

Стандартная задача шумоподавления с полной вариацией по-прежнему имеет вид

${\displaystyle \min _{y}[\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)],}$

где Е представляет собой 2D L ₂ норму . В отличие от одномерного случая, решение этого шумоподавления нетривиально. Недавний алгоритм, который решает эту проблему, известен как первичный дуальный метод . ^[4]

Частично из-за большого количества исследований в области сжатого зондирования в середине 2000-х годов, существует множество алгоритмов, таких как метод разделения Брегмана , которые решают варианты этой проблемы.

Рудин – Ошер – Фатеми PDE [ править ]

Предположим, что нам дано зашумленное изображение и мы хотим вычислить шумоподавленное изображение в двумерном пространстве. ROF показал, что проблема минимизации, которую мы ищем, заключается в следующем: ^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}+{\lambda \over 2}\int _{\Omega }(f-u)^{2}\,dx}$

где - набор функций с ограниченным изменением по области , - полное изменение по области, - штрафной член. Когда гладко, полное изменение эквивалентно интегралу величины градиента:${\textstyle \operatorname {BV} (\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \operatorname {TV} (\Omega )}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle u}$

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}=\int _{\Omega }\|\nabla u\|\,dx}$

где - евклидова норма . Тогда целевая функция задачи минимизации принимает вид:${\textstyle \|\cdot \|}$

Из этого функционала уравнение Эйлера-Лагранжа для минимизации - без учета зависимости от времени - дает нам нелинейное эллиптическое уравнение в частных производных :Для некоторых численных алгоритмов предпочтительнее вместо этого решать зависящую от времени версию уравнения ROF:

Приложения [ править ]

Модель Рудина – Ошера – Фатеми была ключевым компонентом в создании первого изображения черной дыры . ^[6]

См. Также [ править ]

• Анизотропная диффузия
• Ограниченная вариация
• Цифровая обработка изображений
• Подавление шума
• Неместные средства
• Обработка сигналов
• Общая вариация
• Стэнли Ошер
• Основная цель шумоподавления
• Лассо (статистика)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• TVDIP: Полнофункциональная реализация шумоподавления в Matlab 1D.
• Эффективная первичная-дуальная тотальная вариация
• Алгоритм шумоподавления изображения TV-L1 в Matlab