Распределение поездок

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

У всех поездок есть пункт отправления и назначения, которые учитываются на этапе распределения командировок.

Распределение рейсов (или выбор пункта назначения или анализ зонального обмена ) является вторым компонентом (после создания поездки , но перед выбором режима и назначением маршрута ) в традиционной четырехэтапной модели прогнозирования перевозок . На этом этапе выполняется сопоставление отправителей и пунктов назначения для составления «таблицы поездок», матрицы, которая отображает количество поездок, идущих из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения. ^[1] Исторически этот компонент был наименее развитым компонентом модели транспортного планирования .

Где: T _ij = рейсы из пункта отправления i в пункт назначения j . Обратите внимание, что практическая ценность поездок по диагонали, например, из зоны 1 в зону 1, равна нулю, поскольку внутризональных поездок не происходит. 

Распределение командировок - это способ, которым модели спроса на поездки понимают, как люди берут работу. Существуют модели распределения командировок для других (нерабочих) действий, таких как выбор места для покупки продуктов, которые следуют той же структуре.

История [ править ]

За прошедшие годы разработчики моделей использовали несколько различных формулировок распределения поездок. Первой была модель Fratar или Growth (которая не разделяла поездки по целям). Эта структура экстраполировала таблицу поездок за базовый год на будущее на основе роста, но не учитывала изменение пространственной доступности из-за увеличения предложения или изменений в схемах поездок и заторов. (Простая модель фактора роста, модель Фернесса и модель Детройта - это модели, разработанные в один и тот же период времени)

Следующими разработанными моделями были гравитационная модель и модель промежуточных возможностей. Наиболее широко используемой формулировкой по-прежнему является гравитационная модель.

Изучая дорожное движение в Балтиморе, штат Мэриленд , Алан Вурхиз разработал математическую формулу для прогнозирования схем дорожного движения в зависимости от землепользования. Эта формула использовалась при разработке многочисленных проектов в области транспорта и общественных работ по всему миру. Он написал «Общую теорию движения транспорта» (Voorhees, 1956), в которой применил гравитационную модель к распределению поездок , которая переводит поездки, созданные в определенной области, в матрицу, которая определяет количество поездок из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения, что может затем загрузиться в сеть.

Оценка нескольких модельных форм в 1960-х годах пришла к выводу, что «гравитационная модель и модель промежуточных возможностей доказали примерно одинаковую надежность и полезность при моделировании распределения поездок в 1948 и 1955 годах для Вашингтона, округ Колумбия» (Heanue and Pyers 1966). Было показано, что модель Fratar имеет слабые места в районах, где происходят изменения в землепользовании. Поскольку сравнения между моделями показали, что обе модели могут быть одинаково хорошо откалиброваны для соответствия наблюдаемым условиям, из-за простоты вычислений модели гравитации получили более широкое распространение, чем модели промежуточных возможностей. Некоторые теоретические проблемы с моделью промежуточных возможностей обсуждались Уитакером и Уэстом (1968) относительно ее неспособности учесть все поездки, генерируемые в зоне, что затрудняет калибровку.хотя методы работы с ограничениями были разработаны Ruiter (1967).

С развитием логита и других методов дискретного выбора были предприняты попытки новых, демографически дезагрегированных подходов к спросу на поездки. Ожидается, что включение в определение вероятности поездки других переменных, помимо времени в пути, позволит лучше прогнозировать поведение во время поездки. Модель логитУилсон (1967) показал, что модель гравитации имеет по существу ту же форму, что и модель максимизации энтропии, которая используется в статистической механике. Применение этих моделей отличается по своей концепции в том, что гравитационная модель использует импеданс в зависимости от времени в пути, возможно, стратифицированного по социально-экономическим переменным, при определении вероятности совершения поездки, в то время как подход дискретного выбора переносит эти переменные внутрь функции полезности или импеданса. Для моделей с дискретным выбором требуется больше информации для оценки и больше вычислительного времени.

Бен-Акива и Лерман (1985) разработали комбинацию выбора пункта назначения и режимавыбор моделей с использованием логита для рабочих и нерабочих поездок. Из-за вычислительной интенсивности эти формулировки имели тенденцию объединять зоны движения в более крупные районы или кольца при оценке. В текущем приложении некоторые модели, включая, например, модель планирования транспортировки, используемую в Портленде, штат Орегон, используют логит-формулировку для выбора пункта назначения. Аллен (1984) использовал утилиты из модели выбора режима на основе логита для определения составного импеданса для распределения срабатываний. Однако такой подход с использованием логарифмических сумм выбора режима подразумевает, что выбор пункта назначения зависит от тех же переменных, что и выбор режима. Левинсон и Кумар (1995) используют вероятности выбора режима в качестве весового коэффициента и разрабатывают конкретную функцию импеданса или «f-кривую» для каждого режима для рабочих и нерабочих командировок.

Математика [ править ]

На этом этапе процесса планирования транспортировки информация для зонального анализа обмена организована в таблицу происхождения-назначения. Слева перечислены поездки, произведенные в каждой зоне. Вверху перечислены зоны, и для каждой зоны мы указываем ее привлекательность. Таблица имеет размер n x n , где n = количество зон.

Каждая ячейка в нашей таблице должна содержать количество поездок из зоны i в зону j . У нас пока нет этих номеров внутри ячеек, но есть итоги по строкам и столбцам. При такой организации данных наша задача состоит в том, чтобы заполнить ячейки для таблиц с заголовками от t  = 1 до, скажем, t  =  n .

Фактически, из данных опроса о путешествиях на дому и анализа привлекательности у нас есть информация о ячейках для t  = 1. Данные являются выборкой, поэтому мы обобщаем выборку на всю вселенную. Методы, используемые для анализа зонального обмена, исследуют эмпирическое правило, которое соответствует данным t = 1. Затем это правило используется для генерации данных ячеек для t = 2, t = 3, t = 4 и т. Д. До t = n .

Первый метод, разработанный для моделирования зонального обмена, включает такую ​​модель:

${\ displaystyle T_ {ij} = T_ {i} {\ frac {A_ {j} f \ left ({C_ {ij}} \ right) K_ {ij}} {\ sum _ {j '= 1} ^ { n} {A_ {j '} f \ left ({C_ {ij'}} \ right) K_ {ij '}}}}}$

куда:

• ${\ displaystyle T_ {ij}}$ : поездки из i в j.
• ${\ displaystyle T_ {i}}$ : поездки из i, согласно нашему анализу поколений
• ${\ displaystyle A_ {j}}$ : поездки, привлеченные к j, согласно анализу поколений
• ${\ displaystyle f (C_ {ij})}$ : коэффициент трения путевых расходов , скажем =${\ Displaystyle C_ {ij} ^ {b}}$
• ${\ displaystyle K_ {ij}}$ : Параметр калибровки

Зона i генерирует T _i поездок; сколько пойдет в зону j ? Это зависит от привлекательности j по сравнению с привлекательностью всех мест; привлекательность сдерживается удаленностью зоны от зоны i . Мы вычисляем дробь, сравнивая j со всеми разрядами, и умножаем T  _{; я} этим. 

Правило часто имеет форму гравитации:

${\ displaystyle T_ {ij} = a {\ frac {P_ {i} P_ {j}} {C_ {ij} ^ {b}}}}$

куда:

• ${\ displaystyle P_ {i}; P_ {j}}$ : популяции i и j
• ${\ displaystyle a; b}$ : параметры

Но в режиме зонального обмена мы используем числа, относящиеся к пунктам отправления ( T  _{; i} ) и пунктам назначения ( T  _{; j} ), а не к населению.

Существует много форм модели, потому что мы можем использовать веса и специальные параметры калибровки, например, можно написать, скажем,:

${\ displaystyle T_ {ij} = a {\ frac {T_ {i} ^ {c} T_ {j} ^ {d}} {C_ {ij} ^ {b}}}}$

или же

${\displaystyle T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

куда:

• a, b, c, d - параметры
• ${\displaystyle C_{ij}}$ : стоимость поездки (например, расстояние, деньги, время)
• ${\displaystyle T_{j}}$ : въездные поездки, направления
• ${\displaystyle T_{i}}$ : выезд, отправка

Модель гравитации [ править ]

Модель гравитации иллюстрирует макроскопические отношения между местами (например, домами и рабочими местами). Долгое время считалось, что взаимодействие между двумя местоположениями уменьшается с увеличением (расстояния, времени и стоимости) между ними, но положительно связано с объемом активности в каждом месте (Isard, 1956). По аналогии с физикой Рейли (1929) сформулировал закон розничного тяготения Рейли , а Дж. К. Стюарт (1948) сформулировал определения демографической гравитации , силы, энергии и потенциала, которые теперь называются доступностью (Hansen, 1959). Расстояние распада коэффициент 1 / расстояние был обновлен до более полной функции обобщенной стоимости, которая не обязательно является линейной - отрицательная экспонента, как правило, является предпочтительной формой.

Гравитационная модель неоднократно подтверждалась как базовая основополагающая совокупная взаимосвязь (Скотт, 1988, Серверо, 1989, Левинсон и Кумар, 1995). Скорость снижения взаимодействия (называемая также импедансом или коэффициентом трения, функцией полезности или склонности) должна быть измерена эмпирически и варьируется в зависимости от контекста.

Ограничение полезности гравитационной модели заключается в ее совокупном характере. Хотя политика также действует на агрегированном уровне, более точный анализ сохранит наиболее подробный уровень информации как можно дольше. Хотя гравитационная модель очень успешно объясняет выбор большого числа людей, выбор любого конкретного человека сильно отличается от предсказанного значения. Применительно к контексту спроса на поездки в города неблагоприятными факторами являются, прежде всего, время, расстояние и стоимость, хотя иногда используются модели дискретного выбора с применением более широких выражений полезности, а также стратификация по доходу или владению транспортными средствами.

Математически модель гравитации часто принимает вид:

${\displaystyle T_{ij}=K_{i}K_{j}T_{i}T_{j}f(C_{ij})}$

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}},\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sum _{j}{K_{j}T_{j}f(C_{ij})}}},K_{j}={\frac {1}{\sum _{i}{K_{i}T_{i}f(C_{ij})}}}}$

куда

• ${\displaystyle T_{ij}}$= Поездки между исходной точкой i и пунктом назначения j
• ${\displaystyle T_{i}}$= Поездки, отправляющиеся в i
• ${\displaystyle T_{j}}$= Поездки, предназначенные для j
• ${\displaystyle C_{ij}}$= стоимость поездки между i и j
• ${\displaystyle K_{i},K_{j}}$= уравновешивающие факторы решаются итеративно. См. Итеративная пропорциональная подгонка .
• ${\displaystyle f}$ = коэффициент уменьшения расстояния, как в модели доступности

Оно имеет двойное ограничение в том смысле, что для любого i общее количество поездок из i , всегда предсказываемое моделью (механически, для любых значений параметров), равно реальному общему количеству поездок из i . Точно так же общее количество поездок в j, предсказанное моделью, равно реальному общему количеству поездок в j для любого j .

Энтропийный анализ [ править ]

Уилсон (1970) предлагает другой подход к проблеме зонального обмена. В этом разделе рассматривается методология Вильсона, чтобы дать представление об основных идеях.

Для начала рассмотрим некоторые поездки, в которых семь человек в зонах происхождения добираются до семи рабочих мест в зонах назначения. Одна конфигурация таких поездок будет:

${\displaystyle w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260}$

где 0! = 1.

Эта конфигурация может проявляться 1260 способами. Мы вычислили количество способов, которыми могла произойти конфигурация поездок, и, чтобы объяснить вычисления, давайте вспомним те эксперименты с подбрасыванием монет, о которых так много говорилось в элементарной статистике.

Двусторонняя монета может выпасть двумя способами , где n - это количество раз, когда мы подбрасываем монету. Если мы подбросим монету один раз, она может выпасть орлом или решкой . Если мы подбросим его дважды, он может получить HH, HT, TH или TT, четырьмя способами и . Чтобы задать конкретный вопрос, скажем, о четырех монетах, выпадающих всеми орлами, мы вычисляем . Две решки и две решки . Решаем уравнение:${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{1}=2}$${\displaystyle 2^{2}=4}$${\displaystyle 4!/(4!0!)=1}$${\displaystyle 4!/(2!2!)=6}$

${\displaystyle w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}}$

Важным моментом является то, что по мере увеличения n наше распределение становится все более и более пиковым, и все более и более разумно думать о наиболее вероятном состоянии.

Однако понятие наиболее вероятного состояния происходит не из этого мышления; он исходит из статистической механики, области, хорошо известной Уилсону и не так хорошо известной планировщикам транспорта. Результатом статистической механики является то, что наиболее вероятен нисходящий ряд. Подумайте о том, как энергия света в классе влияет на воздух в классе. Если эффект приведет к восходящей серии, многие атомы и молекулы будут затронуты сильно, а некоторые - немного. Нисходящая серия повлияла бы на многих совсем не сильно или не сильно, и только некоторые повлияли бы очень сильно. Мы могли бы взять заданный уровень энергии и вычислить уровни возбуждения в восходящей и нисходящей последовательностях. Используя приведенную выше формулу, мы вычислили бы способы возникновения определенных серий и пришли бы к выводу, что нисходящие серии доминируют.

Это более или менее закон Больцмана ,

${\displaystyle p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}}$

То есть частицы на любом конкретном уровне возбуждения j будут отрицательной экспоненциальной функцией частиц в основном состоянии ,, уровнем возбуждения , и параметром , который является функцией (средней) энергии, доступной частицам в система.${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle \beta }$

Два вышеприведенных абзаца относятся к ансамблевым методам расчета, разработанным Гиббсом, и эта тема выходит за рамки этих заметок.

Возвращаясь к матрице OD, обратите внимание, что мы не использовали столько информации, сколько мы получили бы из обзора O и D и из нашей более ранней работы по генерации поездок. Для той же схемы перемещения в матрице OD, использованной ранее, у нас будут итоги по строкам и столбцам, то есть:

Рассмотрим, как могли бы путешествовать эти четверо: 4! / (2! 1! 1!) = 12; рассмотрим троих, 3! / (0! 2! 1!) = 3. Все путешествия можно объединить 12 × 3 = 36 способами. Таким образом, возможная конфигурация поездок сильно ограничивается итоговыми значениями столбцов и строк.

Мы объединили этот момент с предыдущей работой с нашей матрицей и понятием наиболее вероятного состояния, чтобы сказать, что мы хотим

${\displaystyle \max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{T_{ij}!}}}}$

при условии

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

куда:

${\displaystyle T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}}$

и это проблема, которую мы решили выше.

Уилсон добавляет еще одно соображение; он ограничивает систему количеством доступной энергии (т. е. денег), и у нас есть дополнительное ограничение,

${\displaystyle \sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}}$

где C - количество доступных ресурсов, а - стоимость проезда от i до j .${\displaystyle C_{ij}}$

Обсуждение до сих пор содержит основные идеи в работе Уилсона, но мы еще не достигли того места, где читатель узнает модель в том виде, в каком она сформулирована Уилсоном.

Во-первых, написав максимизируемую функцию с помощью множителей Лагранжа , мы имеем:${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}}$

где и - множители Лагранжа, имеющие энергетический смысл.${\displaystyle \lambda _{i},\lambda _{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

Во-вторых, удобнее максимизировать натуральный логарифм (ln) , поскольку тогда мы можем использовать приближение Стирлинга .${\displaystyle w(T_{ij})}$

${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

так

${\displaystyle {\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N}$

В-третьих, оценивая максимум, имеем

${\displaystyle {\frac {\partial \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0}$

с раствором

${\displaystyle \ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

${\displaystyle T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}$

Наконец, подставляя это значение обратно в наши уравнения ограничений, мы имеем:${\displaystyle T_{ij}}$

${\displaystyle \sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{i};\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{j}}$

и, взяв постоянные кратные за знак суммирования

${\displaystyle e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}}$

Позволять

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{j}}}=B_{j}}$

у нас есть

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}}$

в котором говорится, что наиболее вероятное распределение поездок имеет форму гравитационной модели, пропорционально исходным и конечным точкам поездки. Константы , и гарантируют выполнение ограничений.${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$

Переходя теперь к вычислениям, у нас есть большая проблема. Во-первых, мы не знаем значение C , которое, как мы ранее говорили, связано с имеющимися деньгами, это было ограничением стоимости. Следовательно, мы должны установить разные значения, а затем найти лучший набор значений для и . Мы знаем, что означает - чем больше значение , тем меньше стоимость среднего пройденного расстояния. (Сравните с Законом Больцмана, отмеченным ранее.) Во-вторых, значения и зависят друг от друга. Поэтому для каждого значения мы должны использовать итеративное решение. Для этого существуют компьютерные программы.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$

Метод Уилсона был применен к модели Лоури .

Проблемы [ править ]

Перегрузка [ править ]

Одним из ключевых недостатков применения многих ранних моделей была невозможность учесть загруженное время в пути по дорожной сети при определении вероятности поездки между двумя точками. Хотя Воль еще в 1963 году отметил исследования механизма обратной связи или «взаимозависимостей между назначенным или распределенным объемом, временем в пути (или« сопротивлением »путешествия) и маршрутом или пропускной способностью системы», эта работа еще не получила широкого распространения с помощью тщательных испытаний сходимость, или с так называемым «равновесным» или «комбинированным» решением (Boyce et al. 1994). Haney (1972) предполагает, что внутренние допущения о времени в пути, используемые для развития спроса, должны согласовываться с выходным временем в пути при назначении маршрута для этого спроса. Хотя небольшие методологические несоответствия неизбежно являются проблемой для оценки условий базового года,прогнозирование становится еще более ненадежным без понимания обратной связи между спросом и предложением. Первоначально эвристические методы были разработаны Ирвином и Фон Кубом.^[2] и другие, а позже методы формального математического программирования были разработаны Сюзанной Эванс. ^[3]

Стабильность времени в пути [ править ]

Ключевым моментом в анализе обратной связи является вывод более раннего исследования ^{[4] о} том, что время в пути на работу оставалось стабильным на протяжении последних тридцати лет в столичном регионе Вашингтона, несмотря на значительные изменения в доходах домохозяйств, структуре землепользования, структуре семьи и участии в рабочей силе . Аналогичные результаты были получены в городах-побратимах ^[5]

Стабильность времен пробега и кривых распределения за последние три десятилетия ^{[ когда? ]} дает хорошую основу для применения моделей распределения совокупных поездок для относительно долгосрочного прогнозирования. Это не означает, что существует постоянный бюджет времени в пути .

См. Также [ править ]

• Воздействие авиации на окружающую среду
• Гипермобильность (путешествия)

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аллен Б. Распределение поездок с использованием композитного импедансного исследования транспорта, 1984 г., стр. 118–127
• Бен-Акива М. и Лерман С. Анализ дискретного выбора, 1985, MIT Press, Cambridge MA
• Бойс Д., Лупа М. и Чжан Ю.Ф. 1994 «Обратная связь» в четырехэтапной процедуре прогнозирования поездок по сравнению с равновесным решением комбинированной модели, представленной на 73-м ежегодном заседании Совета по исследованиям в области транспорта

• Haney, D. Согласованность моделей спроса и оценки на транспортировку, 1972 г., Highway Research Record 392, стр. 13–25 1972 г.
• Хансен, В.Г. 1959. Как доступность влияет на землепользование. Журнал Американского института проектировщиков , 25 (2), 73–76.
• Хиану, Кевин Э. и Пайерс, Клайд Э. 1966. Сравнительная оценка процедур распределения поездок,

• Левинсон Д. и Кумар А. 1995. Мультимодальная модель распределения поездок. Протокол исследования транспорта № 1466: 124–131.
• Отчет Portland MPO для Федерального транзитного управления о моделировании транзита
• Рейли, У. Дж. (1929) «Методы исследования отношений с розничной торговлей», Бюллетень Техасского университета № 2944, ноябрь 1929 г.
• Рейли, У. Дж., 1931. Закон розничного тяготения, Нью-Йорк.
• Руйтер, Э. Усовершенствования в понимании, калибровке и применении модели возможностей шоссе, 1967 г. Отчет об исследовании № 165 стр. 1–21
• Стюарт, JQ (1948) «Демографическая гравитация: доказательства и применение» Социометрия Vol. XI февраль – май 1948 г., стр. 31–58.
• Стюарт, Дж. К., 1947. Эмпирические математические правила, касающиеся распределения и равновесия населения, Географический обзор, Том 37, 461–486.
• Стюарт, JQ, 1950. Потенциал населения и его отношение к маркетингу. В: Теория маркетинга, Р. Кокс и У. Олдерсон (редакторы) (Ричард Д. Ирвин, Inc., Хоумвуд, Иллинойс).
• Стюарт, Дж. К., 1950. Развитие социальной физики, Американский журнал физики, том 18, 239–253.
• Вурхиз, Алан М., 1956, «Общая теория движения», Протоколы 1955 года, Институт инженеров дорожного движения, Нью-Хейвен, Коннектикут.
• Уитакер, Р. и К. Уэст, 1968 Модель промежуточных возможностей: теоретическое рассмотрение Отчет о дорожных исследованиях 250 стр. 1–7
• Уилсон, А.Г. Статистическая теория моделей пространственного распределения. Исследования транспорта, том 1, стр. 253–269, 1967.
• Воль, М. Взаимосвязи спроса, стоимости, цены и пропускной способности, 1963 г., применяемые для прогнозирования путешествий. Запись исследования шоссе 38: 40–54
• Ципф, Г.К. , 1946. Гипотеза о внутригородском перемещении людей. Американский социологический обзор, т. 11 октября
• Ципф, Г.К., 1949. Поведение человека и принцип наименьшего усилия. Массачусетс