уравнение Больцмана

Уравнение Больцмана или уравнение переноса Больцмана ( БТЕ ) ​​описывает статистическое поведение термодинамической системы, не находящейся в состоянии равновесия , разработанной Людвигом Больцманом в 1872 г. ^[2] Классическим примером такой системы является жидкость с температурными градиентами в пространстве . заставляя тепло течь от более горячих областей к более холодным за счет случайного, но смещенного переноса частицсоставляет эту жидкость. В современной литературе термин уравнение Больцмана часто используется в более общем смысле, относясь к любому кинетическому уравнению, описывающему изменение макроскопической величины в термодинамической системе, такой как энергия, заряд или число частиц.

Уравнение возникает не путем анализа отдельных положений и импульсов каждой частицы в жидкости, а скорее путем рассмотрения распределения вероятности положения и импульса типичной частицы, то есть вероятности того, что частица занимает данную очень маленькую область пространства. (математически элемент объема ) с центром в положении и имеет импульс, почти равный заданному вектору импульса (таким образом, занимая очень маленькую область импульсного пространства ) в момент времени.${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} {\ bf {r}}}$${\ Displaystyle {\ бф {г}}}$${\ Displaystyle {\ бф {р}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} {\ bf {p}}}$

Уравнение Больцмана можно использовать для определения того, как изменяются физические величины, такие как тепловая энергия и импульс , когда жидкость перемещается. Можно также получить другие свойства, характерные для жидкостей, такие как вязкость , теплопроводность и электропроводность (путем рассмотрения носителей заряда в материале как газа). ^[2] См. также уравнение конвекции–диффузии .

Уравнение представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение , а неизвестная функция в уравнении представляет собой функцию плотности вероятности в шестимерном пространстве положения и импульса частицы. Проблема существования и единственности решений до конца еще не решена, но некоторые недавние результаты весьма обнадеживают. ^{[3] [4]}

Множество всех возможных положений r и импульсов p называется фазовым пространством системы; другими словами, набор из трех координат для каждой координаты положения x, y, z и еще три для каждой компоненты импульса p _x , p _y , p _z . Все пространство 6 - мерное : точка в этом пространстве есть ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ), и каждая координата параметризована временем t . Небольшой объем («дифференциальныйэлемент объема ") пишется

Поскольку вероятность N молекул, у которых все r и p находятся в пределах , находится под вопросом, в основе уравнения лежит величина f , которая дает эту вероятность на единицу объема фазового пространства, или вероятность на единицу длины в кубе на единицу импульса в кубе , в момент времени t . Это функция плотности вероятности : f ( r , p , t ), определенная так, что${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} {\ bf {r}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} {\ bf {p}}}$

Место кинетического уравнения Больцмана на лестнице редукции модели от микроскопической динамики к макроскопической континуальной динамике (иллюстрация к содержанию книги ^[1] )