Витая K -теория

В математике скрученная K-теория (также называемая K-теорией с локальными коэффициентами ^[1] ) представляет собой разновидность K-теории , математической теории 1950-х годов, которая охватывает алгебраическую топологию , абстрактную алгебру и теорию операторов .

Более конкретно, скрученная K-теория с твистом H является частным вариантом K-теории, в которой твист задается целым 3-мерным классом когомологий . Это особое место среди различных поворотов, допускаемых K-теорией по двум причинам. Во-первых, он допускает геометрическую формулировку. Это было сделано в два этапа; первый был сделан в 1970 году (Publ. Math. de l ' IHÉS ) Питером Донованом и Максом Каруби; второй - в 1988 году Джонатаном Розенбергом в книге «Алгебры непрерывных следов с точки зрения теории расслоений» .

В физике предполагалось классифицировать D-браны , напряженности поля Рамона-Рамона и в некоторых случаях даже спиноры в теории струн типа II . Для получения дополнительной информации о скрученной K-теории в теории струн см. K-теория (физика) .

В более широком контексте K-теории по каждому предмету у нее есть множество изоморфных формулировок, и во многих случаях изоморфизмы, связывающие определения в различных предметах, были доказаны. Он также имеет многочисленные деформации, например, в абстрактной алгебре K-теория может быть скручена любым интегральным классом когомологий.

Определение [ править ]

Чтобы мотивировать геометрическую формулировку скрученной K-теории Розенбергом, начнем с теоремы Атьи – Яниха , утверждающей, что

${\ displaystyle Фред ({\ mathcal {H}}),}$

то операторы Фредгольма на гильбертовом пространстве , является классифицирующим пространством для обычной, раскрученных К-теории. Это означает, что K-теория пространства состоит из гомотопических классов отображений${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle [M \ rightarrow Фред ({\ mathcal {H}})]}$

от до${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Фред ({\ mathcal {H}}).}$

Несколько более сложный способ сказать то же самое заключается в следующем. Рассмотрим тривиальное расслоение из за кадром , то есть, декартово произведение и . Тогда K-теория состоит из гомотопических классов сечений этого расслоения.${\ displaystyle Фред ({\ mathcal {H}})}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Фред ({\ mathcal {H}})}$${\ displaystyle M}$

Мы можем сделать это еще более сложным, введя тривиальный

${\ displaystyle PU ({\ mathcal {H}})}$

расслоение над , где - группа проективных унитарных операторов в гильбертовом пространстве . Тогда группа карт${\ displaystyle P}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle PU ({\ mathcal {H}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle [P \ rightarrow Фред ({\ mathcal {H}})] _ {PU ({\ mathcal {H}})}}$

от до которых эквивариантная под действием эквивалентно исходных групп карт${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Фред ({\ mathcal {H}})}$${\ displaystyle PU ({\ mathcal {H}})}$

${\displaystyle [M\rightarrow Fred({\mathcal {H}})].}$

Эта более сложная конструкция обычной K-теории естественным образом обобщается на скрученный случай. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание , что пучки на классифицируют по элементам третьей целочисленной группы когомологий из . Это следствие того факта, что топологически является репрезентативным пространством Эйленберга – Маклейна.${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle K(\mathbf {Z} ,3)}$.

В этом случае простое обобщение. Розенберг определил

${\displaystyle K_{H}(M)}$,

скрученная K-теория с твистом, заданным 3-классом , должна быть пространством гомотопических классов сечений тривиального расслоения над , которые ковариантны относительно расслоения, расслоенного над 3-классом , т. е.${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$${\displaystyle P_{H}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle K_{H}(M)=[P_{H}\rightarrow Fred({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}.}$

Эквивалентно, это пространство гомотопических классов сечений расслоений, ассоциированных с расслоением с классом .${\displaystyle Fred({\mathcal {H}})}$${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$${\displaystyle H}$

Что это такое? [ редактировать ]

Когда есть тривиальный класс, скрученная K-теория - это просто раскрученная K-теория, которая является кольцом. Однако, когда это нетривиально, эта теория перестает быть кольцом. У него есть сложение, но оно больше не закрывается при умножении.${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Однако прямая сумма скрученных K-теорий со всеми возможными изгибами представляет собой кольцо. В частности, произведение элемента K-теории с закруткой на элемент K-теории с закруткой - это элемент K-теории, скрученный на . Этот элемент может быть построен непосредственно из приведенного выше определения, используя сопряженные операторы Фредгольма и построив из них конкретную матрицу 2 x 2 (см. Ссылку 1, где также представлена ​​более естественная и общая Z / 2-градуированная версия). В частности, скрученная K-теория является модулем над классической K-теорией.${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle H+H'}$

Как рассчитать [ править ]

Физики обычно хотят вычислить закрученную K-теорию, используя спектральную последовательность Атьи – Хирцебруха . ^[2] Идея состоит в том, что каждый начинает со всех четных или всех нечетных интегральных когомологий, в зависимости от того, хотите ли вы вычислить скрученные или скрученные , а затем берется когомологии относительно серии дифференциальных операторов. Первый оператор, например, представляет собой сумму трех-класса , который в теории струн соответствует Невё-Шварц 3-форму, а также третьему квадрата стинродовского , ^[3] , так${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K^{0}}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle d_{3}^{p,q}=Sq^{3}+H}$

Никакой элементарной формы для следующего оператора,, не было найдено, хотя существует несколько предполагаемых форм. Высшие операторы не вносят вклад в -теорию 10-многообразия, которая представляет интерес в критической теории суперструн . Над полем рациональных чисел Атья и Graeme Segal показали , что все дифференциалы сводятся к продукции Масси из . ^[4]${\displaystyle d_{5}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$

После взятия когомологий по отношению к полному ряду дифференциалов получается скрученная -теория как множество, но для получения полной групповой структуры, вообще говоря, необходимо решить проблему расширения .${\displaystyle K}$

Пример: три сферы [ править ]

Трехмерная сфера имеет тривиальные когомологии, за исключением и, которые оба изоморфны целым числам. Таким образом, четные и нечетные когомологии изоморфны целым числам. Поскольку трехмерная сфера имеет размерность три, что меньше пяти, третий квадрат Стинрода тривиален на своих когомологиях, и поэтому первый нетривиальный дифференциал справедлив . Более поздние дифференциалы увеличивают степень класса когомологий более чем на три и, таким образом, снова тривиальны; таким образом, скрученная -теория - это просто когомологии оператора, который действует на класс, объединяя его с 3-классом .${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle H^{0}(S^{3})}$${\displaystyle H^{3}(S^{3})}$${\displaystyle d_{5}=H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle H}$

Представьте себе, что это тривиальный класс, ноль. Тогда тоже тривиально. Таким образом, вся его область является его ядром, и ничего нет в его образе. Таким образом, ядро четных когомологий является полными четными когомологиями, состоящими из целых чисел. Точно так же состоит из нечетных когомологий, дифференцированных по образу , другими словами, из тривиальной группы. Это оставляет исходные нечетные когомологии, которые снова являются целыми числами. В заключении, и в три сферы с тривиальным твистом оба изоморфны целыми числами. Как и ожидалось, это согласуется с раскрученной теорией.${\displaystyle H}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle K_{H}^{0}(S^{3})}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle K_{H}^{1}(S^{3})}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle K^{0}}$${\displaystyle K^{1}}$${\displaystyle K}$

Теперь рассмотрим случай, когда это нетривиально. определяется как элемент третьей целочисленной когомологии, изоморфной целым числам. Таким образом соответствует номер, по которому мы будем звонить . теперь принимает элемент из и дает элемент из . Поскольку по предположению не равен нулю, единственным элементом ядра является нулевой элемент, и так далее . Изображение состоит из всех элементов целых чисел, кратных . Поэтому, нечетная когомология, , quotiented с изображением , является циклической группой порядка , . В заключение${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle nm}$${\displaystyle H^{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle K_{H=n}^{0}(S^{3})=0}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

${\displaystyle K_{H=n}^{1}(S^{3})=\mathbb {Z} /n}$

В теории струн этот результат воспроизводит классификацию D-бран на 3-сфере с единицами -потока, которая соответствует набору симметричных граничных условий в суперсимметричной модели WZW на уровне .${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle n-2}$

Это вычисление распространяется на групповое многообразие SU (3) . ^[5] В этом случае квадратный член Стинрода в , оператор и проблема расширения нетривиальны.${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle d_{5}}$

См. Также [ править ]

• К-теория (физика)
• Модель Весса – Зумино – Виттена.
• Связка гербе

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• «Градуированные группы Брауэра и K-теория с локальными коэффициентами» Питера Донована и Макса Каруби. Publ. Математика. IHÉS Nr. 38. С. 5–25 (1970).
• D-Brane Инстантоны и K-теория Обвинения по Хуан Малдасеной , Грегори Мур и Зайберг
• Витая K-теория и Когомология по Атию и Грэм Сигалом
• Витая K-теория и K-теория Bundle жербов по Питеру Боукнеет , Алан Кэри , Varghese Mathai , Майкл Мюррей и Дэнни Стивенсон .
• Извращенная K-теория, старая и новая

Внешние ссылки [ править ]

• Strings 2002, лекция Майкла Атьи, "Витая K-теория и физика"
• Алгебра Верлинде является скрученной эквивариантной K-теорией (PDF)
• Формулы Римана – Роха и индекса в скрученной K-теории (PDF)