K -теория (физика)

Теория струн
Фундаментальные объекты
Нить Космическая струна Brane D-брана
Теория возмущений
Бозонный Суперструна ( тип I , тип II , гетеротический )
Непертурбативные результаты
S-дуальность Т-дуальность U-дуальность М-теория F-теория AdS / CFT корреспонденция
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Математика
Зеркальная симметрия Чудовищный самогон
Связанные понятия Теория всего Конформная теория поля Квантовая гравитация Суперсимметрия Супергравитация Твисторная теория струн N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Теория Калуцы – Клейна Мультивселенная Голографический принцип
Теоретики Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Гут Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверстайн Сын Staudacher Steinhardt Строминджер Sundrum Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach
История Глоссарий
v т е

В теории струн , классификация K-теория относится к применению высказал предположение K-теории (в абстрактной алгебре и алгебраической топологии ) в суперструн, классифицировать разрешенные поля Рамона-Рамона сильные, а также заряды стабильных D-бран .

В физике конденсированного состояния K-теория также нашла важные приложения, особенно в топологической классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми ( Китаев (2009) , Хорава (2005) ).

История [ править ]

Эта гипотеза, примененная к зарядам D-браны, была впервые предложена Минасианом и Муром (1997) . Его популяризировал Виттен (1998), который продемонстрировал, что в теории струн типа IIB естественным образом возникает теория струн, реализованная Ашоком Сеном произвольных конфигураций D-бран в виде стопок D9 и анти-D9-бран после тахионной конденсации .

Такие стопки бран несовместимы в не крутильном фоне 3-форм Невё – Шварца (NS) , что, как было подчеркнуто Капустиным (2000) , усложняет распространение классификации K-теории на такие случаи. Баукнегт и Варгезе (2000) предложили решение этой проблемы: D-браны в целом классифицируются с помощью скрученной K-теории , которая ранее была определена Розенбергом (1989) .

Приложения [ править ]

Классификация D-бран K-теорией нашла множество приложений. Например, Ханани и Кол (2000) использовали его, чтобы доказать, что существует восемь видов ориентированных в одну плоскость. Уранга (2001) применил классификацию K-теории для получения новых условий согласованности для компактификаций потока . K-теория также использовалась Баукнегтом, Евслином и Варгезом (2004) для построения гипотезы о формуле топологий T-двойственных многообразий . Недавно была выдвинута гипотеза о классификации спиноров в компактификациях на обобщенных комплексных многообразиях .

Открытые проблемы [ править ]

Несмотря на эти успехи, потоки RR не совсем классифицируются K-теорией. Диаконеску, Мур и Виттен (2003) утверждали, что классификация K-теории несовместима с S-дуальностью в теории струн IIB .

Вдобавок, если кто-то пытается классифицировать потоки в компактном десятимерном пространстве-времени, то возникает сложность из-за самодуальности потоков RR. Двойственность использует звезду Ходжа , которая зависит от метрики и поэтому имеет непрерывные значения и, в частности, в общем иррациональна. Таким образом, не все потоки RR, которые интерпретируются как характеры Черна в K-теории, могут быть рациональными. Однако характеры Черна всегда рациональны, поэтому необходимо заменить классификацию K-теории. Необходимо выбрать половину потоков для квантования или поляризацию на вдохновленном геометрическим квантованием языке Диаконеску, Мура и Виттена, а затем Варгезе и Сати (2004).. В качестве альтернативы можно использовать K-теорию 9-мерного временного среза, как это было сделано Maldacena, Moore & Seiberg (2001) .

K-теория классификации потоков RR [ править ]

В классическом пределе теории струн типа II , который представляет собой супергравитацию типа II , напряженности поля Рамона – Рамона являются дифференциальными формами . В квантовой теории хорошо определенность функций перегородок из D-бран следует , что поле РР сильные Obey условия квантования Дирака , когда пространство является компактным , или когда пространственный срез является компактным и рассматривать только (магнитные) компоненты поля силы, которые лежат в пространственных направлениях. Это побудило физиков двадцатого века классифицировать напряженность поля RR с помощью когомологий с интегральными коэффициентами.

Однако некоторые авторы утверждали, что когомологии пространства-времени с интегральными коэффициентами слишком велики. Например, при наличии H-потока Невё – Шварца или неспиновых циклов некоторые потоки RR диктуют присутствие D-бран. В первом случае это является следствием супергравитационного уравнения движения, которое утверждает, что продукт потока RR с NS 3-формой является плотностью заряда D-браны. Таким образом, набор топологически различных напряженностей поля RR, которые могут существовать в безрановых конфигурациях, является лишь подмножеством когомологий с целыми коэффициентами.

Это подмножество все еще слишком велико, потому что некоторые из этих классов связаны большими калибровочными преобразованиями. В QED есть большие калибровочные преобразования, которые добавляют к петлям Вильсона целые числа, кратные двум пи. Потенциалы p-формы в теориях супергравитации типа II также обладают этими большими калибровочными преобразованиями, но из-за присутствия членов Черна-Саймонса в действиях супергравитации эти большие калибровочные преобразования преобразуют не только потенциалы p-формы, но также одновременно и (p + 3) -формировать напряженности поля. Таким образом, чтобы получить пространство неэквивалентных напряжённостей поля из вышеупомянутого подмножества интегральных когомологий, мы должны получить фактор по этим большим калибровочным преобразованиям.

Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха конструкция витой K-теории, с завихрением , заданным 3-формы напряженностью поля NS, как частное от подмножества когомологий с целыми коэффициентами. В классическом пределе, который соответствует работе с рациональными коэффициентами, это в точности частное подмножества, описанного выше в супергравитации. Квантовые поправки происходят из классов кручения и содержат поправки на кручение mod 2 из-за аномалии Фрида-Виттена.

Таким образом, скрученная K-теория классифицирует подмножество напряженности поля RR, которое может существовать в отсутствие D-бран, дифференцированное большими калибровочными преобразованиями. Дэниел Фрид попытался расширить эту классификацию, включив в нее также потенциалы RR, используя дифференциальную K-теорию.

K-теория классификации D-бран [ править ]

K-теория классифицирует D-браны в некомпактном пространстве-времени, интуитивно в пространстве-времени, в котором нас не заботит поток, исходящий от браны, которому некуда деваться. В то время как K-теория 10-мерного пространства-времени классифицирует D-браны как подмножества этого пространства-времени, если пространство-время является произведением времени и фиксированного 9-многообразия, то K-теория также классифицирует сохраняющиеся заряды D-бран на каждом 9-мерном пространственный срез. В то время как мы должны были забыть о потенциалах RR, чтобы получить классификацию напряженности поля RR по K-теории, мы должны забыть о напряженности поля RR, чтобы получить классификацию D-бран по K-теории.

Заряд K-теории против заряда BPS [ править ]

Как подчеркивал Петр Горжава , классификация D-бран K-теорией не зависит от классификации BPS-состояний и в некотором смысле сильнее ее . K-теория, по-видимому, классифицирует стабильные D-браны, пропущенные классификациями на основе суперсимметрии .

Например, D-браны с торсионными зарядами, то есть с зарядами в циклической группе порядка N , притягиваются друг к другу и поэтому никогда не могут быть BPS. Фактически, N таких бран может распадаться, тогда как никакая суперпозиция бран, удовлетворяющих границе Богомольного, никогда не может распадаться. Однако заряд таких бран сохраняется по модулю N, и это фиксируется классификацией K-теории, но не классификацией BPS. Такие торсионные браны применялись, например, для моделирования струн Дугласа-Шенкера в суперсимметричных калибровочных теориях U (N) .${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {N}}$

K-теория от тахионной конденсации [ править ]

Ашок Сен предположил, что в отсутствие топологически нетривиального потока NS 3-формы все конфигурации бран IIB могут быть получены из стопок заполняющих пространство бран D9 и анти D9 посредством тахионной конденсации.. Топология полученных бран кодируется в топологии калибровочного расслоения на стеке бран, заполняющих пространство. Топология калибровочного пучка стека D9s и анти-D9 может быть разложена на калибровочное расслоение на D9 и другое расслоение на анти-D9. Тахионная конденсация преобразует такую ​​пару пучков в другую пару, в которой одно и то же расслоение напрямую суммируется с каждым компонентом пары. Таким образом, инвариантная величина тахионной конденсации, то есть заряд, который сохраняется в процессе тахионной конденсации, является не парой связок, а скорее классом эквивалентности пары связок относительно прямых сумм одного и того же пучка на обеих сторонах пары . Это в точности обычная конструкция топологической K-теории.. Таким образом, калибровочные расслоения на стопках D9 и анти-D9 классифицируются топологической K-теорией. Если гипотеза Сена верна, все конфигурации D-бран в типе IIB классифицируются K-теорией. Петр Хорава распространил эту гипотезу на тип IIA, используя D8-браны.

Искаженная K-теория из инстантонов MMS [ править ]

В то время как картина тахионной конденсации классификации K-теории классифицирует D-браны как подмножества 10-мерного пространства-времени без потока 3-форм NS, картина Малдасены, Мура и Зайберга классифицирует стабильные D-браны с конечной массой как подмножества 9-мерный пространственный срез пространства-времени.

Центральное наблюдение состоит в том, что D-браны не классифицируются по интегральной гомологии, потому что Dp-браны, охватывающие определенные циклы, страдают аномалией Фрида-Виттена, которая устраняется вставкой D (p-2) -бран, а иногда и D (p- 4) -браны, заканчивающиеся на пораженной Dp-бране. Эти вставленные браны могут либо продолжаться до бесконечности, и в этом случае составной объект имеет бесконечную массу, либо они могут заканчиваться на анти-Dp-бране, и в этом случае полный заряд Dp-браны равен нулю. В любом случае можно удалить аномальные Dp-браны из спектра, оставив только подмножество исходных целочисленных когомологий.

Вставленные браны нестабильны. Чтобы убедиться в этом, представьте, что они простираются во времени (в прошлое) от аномальной браны. Это соответствует процессу, в котором внедренные браны распадаются через Dp-брану, которая образуется, завершает вышеупомянутый цикл и затем исчезает. В MMS ^[1] этот процесс называется инстантоном, хотя на самом деле он не обязательно должен быть инстантонным.

Таким образом, сохраняющиеся заряды представляют собой неаномольное подмножество, разделенное на нестабильные вставки. Это в точности конструкция спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха скрученной K-теории как множества.

Примирение извращенной K-теории и S-дуальности [ править ]

Диаконеску, Мур и Виттен указали, что классификация скрученной K-теории несовместима с ковариантностью S-дуальности теории струн типа IIB. Например, рассмотрим ограничение на напряженность поля 3-формы Рамона – Рамона G ₃ в спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха (AHSS):

${\ displaystyle d_ {3} G_ {3} = Sq ^ {3} G_ {3} + H \ cup G_ {3} = G_ {3} \ cup G_ {3} + H \ cup G_ {3} = 0 }$

где d ₃ = Sq ³ + H - первый нетривиальный дифференциал в AHSS, Sq ³ - третий квадрат Стинрода, а последнее равенство следует из того факта, что n-й квадрат Стинрода, действующий на любую n-форму x, равен x x.${\ Displaystyle \ чашка}$

Вышеупомянутое уравнение не инвариантно относительно S-дуальности, которая меняет местами G ₃ и H. Вместо этого Диаконеску, Мур и Виттен предложили следующее ковариантное расширение S-дуальности

${\ Displaystyle G_ {3} \ чашка G_ {3} + H \ чашка G_ {3} + H \ чашка H = P}$

где P - неизвестный характеристический класс, который зависит только от топологии и, в частности, не от потоков. Диаконеску, Фрид и Мур (2007) обнаружили ограничение на P, используя подход калибровочной теории E 8 к M-теории, впервые предложенный Дьяконеску, Муром и Виттеном.

Таким образом, D-браны в IIB классифицируются не скрученной K-теорией, а каким-то неизвестным S-дуально-ковариантным объектом, который неизбежно также классифицирует как фундаментальные струны, так и NS5-браны .

Однако рецепт MMS для вычисления скрученной K-теории легко S-коваритизировать, поскольку аномалии Фрида-Виттена учитывают S-дуальность. Таким образом, S-ковариантная форма конструкции MMS может быть применена для построения S-коваритизированной скрученной K-теории как множества, не зная, что у нас есть какое-либо геометрическое описание того, что это за странный ковариантный объект. Эта программа была реализована в ряде статей, таких как Evslin & Varadarajan (2003) и Evslin (2003a) , а также применялась для классификации потоков Евслином (2003b) . Bouwknegt et al. (2006)используют этот подход, чтобы доказать предполагаемое ограничение Диаконеску, Мура и Виттена на 3-потоки, и они показывают, что существует дополнительный член, равный заряду D3-браны. Evslin (2006) показывает , что Клебанов-Strassler каскад из Зайберга дуальность состоит из серии S-двойственных MMS инстантон, по одному для каждой двойственности Зайберга. Затем показано, что группа классов универсальности суперсимметричной калибровочной теории согласуется с S-дуальной скрученной K-теорией, а не с исходной скрученной K-теорией.${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {N}}$${\ Displaystyle СУ (М + N) \ раз СУ (М)}$

Некоторые авторы предложили радикально другие решения этой загадки. Например, Криз и Сати (2005) предлагают классифицировать конфигурации теории струн II по эллиптическим когомологиям вместо скрученной K-теории .

Исследователи [ править ]

К выдающимся исследователям в этой области относятся Эдвард Виттен , Питер Боукнегт, Анхель Уранга, Эмануэль Диаконеску, Грегори Мур , Антон Капустин , Джонатан Розенберг , Рубен Минасян, Амихай Ханани, Хишам Сати, Натан Зайберг , Хуан Малдасена , Даниэль Фрид и Игорь Криз.

См. Также [ править ]

• Поле Калба-Рамонда

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Боукнегт, Питер; Евслин, Джарах; Юрко, Бранислав ; Варгезе, Матхай; Сати, Хишам (2006), «Компактификации потоков на проективных пространствах и загадка S-двойственности», Успехи в теоретической и математической физике , 10 (3): 345–394, arXiv : hep-th / 0501110 , Bibcode : 2005hep.th .... 1110b , DOI : 10,4310 / atmp.2006.v10.n3.a3.

• Боукнегт, Питер; Евслин, Джарах; Варгезе, Матхай (2004), "T-дуальность: изменение топологии из H-потока", Сообщения в математической физике , 249 (2): 383–415, arXiv : hep-th / 0306062 , Bibcode : 2004CMaPh.249..383B , DOI : 10.1007 / s00220-004-1115-6.

• Боукнегт, Питер; Варгезе, Матхай (2000), «D-браны, B-поля и скрученная K-теория», Журнал физики высоких энергий , 0003 (7): 007, arXiv : hep-th / 0002023 , Bibcode : 2000JHEP ... 03 ..007B , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 2000/03/ 007.

• Диаконеску, Эмануэль; Фрид, Дэниел С .; Мур, Грегори (2007), «3-форма M-теории и калибровочная теория E ₈ », в Miller, Haynes R .; Равенел, Дуглас К. (ред.), Эллиптические когомологии: геометрия, приложения и высшие хроматические аналоги , Cambridge University Press, стр. 44–88, arXiv : hep-th / 0312069 , Bibcode : 2003hep.th ... 12069D.

• Диаконеску, Эмануэль; Мур, Грегори; Виттен, Эдвард (2003), « Теория калибровки E ₈ и вывод K-теории из M-теории», Успехи в теоретической и математической физике , 6 (6): 1031–1134, arXiv : hep-th / 0005090 , Bibcode : 2000hep.th .... 5090D , DOI : 10,4310 / ATMP.2002.v6.n6.a2.

• Евслин, Джарах (2003a), «Солитонные спектры IIB со всеми активированными потоками », Nuclear Physics B , 657 : 139–168, arXiv : hep-th / 0211172 , Bibcode : 2003NuPhB.657..139E , doi : 10.1016 / S0550- 3213 (03) 00154-8.

• Евслин, Джарах (2003b), «Скрученная K-теория из монодромий», Журнал физики высоких энергий , 0305 (30): 030, arXiv : hep-th / 0302081 , Bibcode : 2003JHEP ... 05..030E , doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2003/05/030.

• Евслин, Джара (2006), «Каскад - это MMS Instanton», Успехи в исследованиях солитонов , Nova Science Publishers, стр. 153–187, arXiv : hep-th / 0405210 , Bibcode : 2004hep.th .... 5210E.

• Евслин, Джарах; Варадараджан, Удай (2003), «K-теория и S-дуальность: начиная с квадрата 3», Журнал физики высоких энергий , 0303 (26): 026, arXiv : hep-th / 0112084 , Bibcode : 2003JHEP ... 03..026E , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 2003/03/ 026.

• Ханани, Амихай; Кол, Барак (2000), «Ориентифолды, дискретное кручение, брана и теория М», Журнал физики высоких энергий , 0006 (13): 013, arXiv : hep-th / 0003025 , Bibcode : 2000JHEP ... 06 .. 013H , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 2000/06/ 013.

• Капустин, Антон (2000), "D-браны в топологически нетривиальном B-поле", Успехи теоретической и математической физики , 4 : 127–154, arXiv : hep-th / 9909089 , Bibcode : 1999hep.th .... 9089K , DOI : 10,4310 / ATMP.2000.v4.n1.a3.

• Криз, Игорь; Сати, Хишам (2005), "Теория струн типа IIB, S-двойственность и обобщенные когомологии", Nuclear Physics B , 715 (3): 639–664, arXiv : hep-th / 0410293 , Bibcode : 2005NuPhB.715 .. 639K , DOI : 10.1016 / j.nuclphysb.2005.02.016.

• Мальдасена, Хуан ; Мур, Грегори; Зайберг, Натан (2001), "Инстантоны D-браны и заряды K-теории", Журнал физики высоких энергий , 0111 (62): 062, arXiv : hep-th / 0108100 , Bibcode : 2001JHEP ... 11..062M , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 2001/11/062.

• Минасян, Рубен; Мур, Грегори (1997), "K-теория и заряд Рамона-Рамона", Журнал физики высоких энергий , 9711 (2): 002, arXiv : hep-th / 9710230 , Bibcode : 1997JHEP ... 11..002M , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 1997/11/ 002.

• Ольсен, Каспер; Сабо, Ричард Дж. (1999), «Построение D-бран на основе K-теории», Успехи в теоретической и математической физике , 3 (4): 889–1025, arXiv : hep-th / 9907140 , Bibcode : 1999hep.th. ... 7140O , DOI : 10,4310 / ATMP.1999.v3.n4.a5.

• Розенберг, Джонатан (1989), "Continuous-Trace Алгебра с Bundle точки зрения теории" , журнал Австралийского математического общества, Серия А , 47 (3): 368-381, DOI : 10,1017 / S1446788700033097 , архивируется от оригинала на 2006-03-27.

• Уранга, Ангел М. (2001), «Зонды D-браны, подавление головастиков RR и заряд K-теории», Nuclear Physics B , 598 (1-2): 225–246, arXiv : hep-th / 0011048 , Bibcode : 2001NuPhB.598..225U , DOI : 10.1016 / S0550-3213 (00) 00787-2.

• Варгезе, Матхай ; Сати, Хишам (2004), «Некоторые взаимосвязи между скрученной K-теорией и теорией калибровки E ₈ », Журнал физики высоких энергий , 0403 (16): 016, arXiv : hep-th / 0312033 , Bibcode : 2004JHEP ... 03 ..016M , DOI : 10,1088 / 1126-6708 / 2004/03/ 016.

• Виттен, Эдвард (1998), "D-Branes and K-Theory", Journal of High Energy Physics , 9812 (19): 019, arXiv : hep-th / 9810188 , Bibcode : 1998JHEP ... 12..019W , doi : 10.1088 / 1126-6708 / 1998/12/019.

Ссылки (физика конденсированного состояния) [ править ]

• Китаев, Алексей (2009), «Периодическая таблица для топологических изоляторов и сверхпроводников», Материалы конференции AIP , 1134 (1): 22–30, arXiv : 0901.2686 , Bibcode : 2009AIPC.1134 ... 22K , doi : 10.1063 / 1.3149495.

• Хорава, Петр (2005), "Стабильность поверхностей Ферми и K-теория", Physical Review Letters , 95 (16405): 016405, arXiv : hep-th / 0503006 , Bibcode : 2005PhRvL..95a6405H , doi : 10.1103 / Physrevlett.95.016405 , PMID  16090638.
• Рой, Рахул; Феннер Харпер (2017), «Периодическая таблица топологических изоляторов Флоке», Physical Review B , 96 (15): 155118, arXiv : 1603.06944 , Bibcode : 2017PhRvB..96o5118R , doi : 10.1103 / PhysRevB.96.155118.

Дальнейшее чтение [ править ]

Превосходное введение в К-теории классификации D-бран в 10 измерениях с помощью Ашок Сен гипотезы «ы является оригинальным бумага„D-браны и К-теории“по Виттен ; есть также обширный обзор Olsen & Szabo (1999) .

Очень понятным введением в классификацию скрученной K-теории консервативных зарядов D-браны на 9-мерном временном срезе в присутствии потока Неве-Шварца является Maldacena, Moore & Seiberg (2001) .

Внешние ссылки [ править ]

• K-теория на arxiv.org