В теоретической физике , Рамона-Рамона поля являются дифференциальные формы поля в 10-мерном пространстве - времени от типа II супергравитаций теорий, которые являются классические пределы теории струн типа II . Ранги полей зависят от того, какая теория типа II рассматривается. Как утверждал Джозеф Полчински в 1995 году, D-браны - это заряженные объекты, которые действуют как источники этих полей в соответствии с правилами электродинамики p-форм . Было высказано предположение, что квантовые RR-поля не являются дифференциальными формами, а классифицируются скрученной K-теорией .
Прилагательное «Рамон – Рамон» отражает тот факт, что в формализме РНС эти поля появляются в секторе Рамона – Рамона, в котором все векторные фермионы являются периодическими. Оба использования слова «Рамон» относятся к Пьеру Рамону , который изучал такие граничные условия (так называемые граничные условия Рамона ) и поля, которые им удовлетворяют в 1971 г. [1]
Определение полей
Поля в каждой теории
Как и в теории электромагнетизма Максвелла и ее обобщении, электродинамике p-формы , поля Рамона – Рамона (RR) входят в пары, состоящие из потенциала C p p-формы и напряженности поля G p +1 в форме ( p + 1) . Напряженность поля, как обычно, определяется как внешняя производная потенциала G p +1 = dC p .
Как обычно в таких теориях, если допускаются топологически нетривиальные конфигурации или заряженная материя ( D-браны ), то связи определяются только на каждом координатном участке пространства-времени, а значения на различных участках склеиваются с использованием функций перехода. В отличие от электромагнетизма, при наличии нетривиальной напряженности поля 3-формы Невё-Шварца, напряженность поля, определенная выше, больше не является калибровочно-инвариантной, и поэтому ее также необходимо определять фрагментарно, когда струна Дирака находится вне данного фрагмента, интерпретируемая как D-брана. Это дополнительное усложнение является причиной некоторых наиболее интересных явлений в теории струн, таких как переход Ханани – Виттена .
Выбор допустимых значений p зависит от теории. В супергравитации типа IIA поля существуют для p = 1 и p = 3. С другой стороны, в супергравитации типа IIB есть поля для p = 0, p = 2 и p = 4, хотя поле p = 4 ограничено. чтобы удовлетворить условию самодуальности G 5 = * G 5, где * - звезда Ходжа . Условие самодуальности не может быть наложено лагранжианом без введения дополнительных полей или нарушения явной суперпуанкаре-инвариантности теории, поэтому супергравитация типа IIB считается нелагранжевой теорией. Третья теория, называемая массивной супергравитацией или римлянами IIA , включает в себя напряженность поля G 0 , называемую римской массой. Будучи нулевой формой, он не имеет соответствующей связи. Кроме того, уравнения движения предполагают, что масса римлян постоянна. В квантовой теории Джозеф Полчински показал, что G 0 - целое число, которое перескакивает на единицу при пересечении D8-браны .
Демократическая формулировка
Часто бывает удобно использовать демократическую формулировку из типа II теории струн, которая была представлена Полом Таунсендом в р -брана демократии . В D-бране «Действия Весса-Зумино», T-дуальность и космологическая константа Майкл Грин , Крис Халл и Пол Таунсенд построили напряженности поля и нашли калибровочные преобразования, которые оставляют их инвариантными. Наконец, в новых формулировках суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8-O8 авторы завершили формулировку, предоставив лагранжиан и объяснив роль фермионов. В эту формулировку включаются все четные значения напряженности поля в IIA и все нечетные значения напряженности поля в IIB. Дополнительные напряженности поля определяются условием звезды G p = * G 10 − p . В качестве проверки согласованности обратите внимание на то, что звездное состояние совместимо с самодуальностью G 5 , таким образом, демократическая формулировка содержит то же количество степеней свободы, что и исходная формулировка. Подобно попыткам одновременного включения электрического и магнитного потенциалов в электромагнетизм, потенциалы двойной калибровки не могут быть добавлены к демократически сформулированному лагранжиану таким образом, чтобы сохранить очевидную локальность теории. Это связано с тем, что двойные потенциалы получаются из исходных потенциалов путем интегрирования звездного состояния.
Калибровочные преобразования Рамона – Рамона.
Ланграгианы супергравитации типа II инвариантны относительно ряда локальных симметрий , таких как диффеоморфизмы и преобразования локальной суперсимметрии . Кроме того, различные поля формы преобразуются при калибровочных преобразованиях Невё – Шварца и Рамона – Рамона.
В демократической формулировке калибровочные преобразования Рамона – Рамона калибровочных потенциалов, оставляющие действие инвариантным, имеют вид
где H - напряженность поля 3-формы Невё-Шварца, а калибровочные параметры являются q-формами. Поскольку калибровочные преобразования смешивают различныенеобходимо, чтобы каждая форма RR преобразовывалась одновременно с использованием одного и того же набора параметров датчика. H-зависимые члены, не имеющие аналогов в электромагнетизме, необходимы для сохранения вклада в действие членов Черна – Саймонса , которые присутствуют в теориях супергравитации типа II.
Обратите внимание, что существует несколько калибровочных параметров, соответствующих одному и тому же калибровочному преобразованию, в частности, мы можем добавить любую ( d + H ) -замкнутую форму в Lambda. Таким образом, в квантовой теории мы должны также калибровать калибровочные преобразования, а затем калибровать их и так далее, пока размерности не станут достаточно низкими. В квантовании Фадеева – Попова это соответствует добавлению башни призраков. Математически, в случае, когда H обращается в нуль, результирующая структура является когомологиями Делиня пространства-времени. Было высказано предположение, что для нетривиального H после включения условия квантования Дирака оно соответствует дифференциальной K-теории .
Обратите внимание, что благодаря H-членам в калибровочных преобразованиях напряженности поля также нетривиально преобразуются
Улучшенная напряженность поля
Часто вводят улучшенную напряженность поля.
калибровочно-инвариантные.
Хотя они калибровочно-инвариантны, улучшенные напряженности поля не являются ни замкнутыми, ни квантованными, а только скрученными-замкнутыми. Это означает, что они удовлетворяют уравнению движения, что и есть тождество Бьянки . Они также «скручены-квантованы» в том смысле, что можно преобразовать обратно к исходной напряженности поля, интегралы которой по компактным циклам квантованы. Это исходная напряженность поля, источником которой является заряд D-браны, в том смысле, что интеграл от напряженности поля G p исходной p-формы по любому стягиваемому p-циклу равен заряду D (8-p) -браны. связаны этим циклом. Поскольку заряд D-браны квантуется, квантуется G p , а не улучшенная напряженность поля.
Полевые уравнения
Уравнения и тождества Бьянки
Как обычно в калибровочных теориях p-формы , поля формы должны подчиняться классическим полевым уравнениям и тождествам Бианки . Первые выражают условие, что вариации действия по отношению к различным полям должны быть тривиальными. Теперь мы ограничим наше внимание теми полевыми уравнениями, которые возникают в результате изменения полей Рамона – Рамона (RR), но на практике их необходимо дополнить уравнениями поля, возникающими из вариаций B-поля Невё – Шварца , гравитон, дилатон и их суперпартнеры - гравитино и дилатино.
В демократической формулировке тождество Бианки для напряженности поля G p + 1 является классическим уравнением поля для его двойственного по Ходжу G 9 − p , и поэтому достаточно наложить тождества Бианки для каждого поля RR. Это просто условия, при которых RR-потенциалы C p определены локально и, следовательно, внешняя производная, действующая на них, является нильпотентной.
D-браны являются источниками RR-полей.
Во многих приложениях желательно добавить источники для полей RR. Эти источники называются D-бранами . Как и в классическом электромагнетизме, можно добавить источники, включив связь C p потенциала p-формы в ток (10-p) -формы в плотности лагранжиана . Обычно в литературе по теории струн принято не писать этот термин явно в действии.
Электрический ток модифицирует уравнение движения, возникающее в результате изменения C p . Как и в случае с магнитными монополями в электромагнетизме, этот источник также аннулирует двойную идентичность Бьянки, поскольку это точка, в которой двойное поле не определено. В модифицированном уравнении движенияпоявляется в левой части уравнения движения вместо нуля. Для упрощения будущего мы также поменяем местами p и 7 - p , тогда уравнение движения при наличии источника имеет вид
(9-p) -форма - ток Dp-браны, что означает, что он дуален по Пуанкаре мировому объему ( p + 1) -мерного расширенного объекта, называемого Dp-браной. Несоответствие одного в схеме именования является историческим и происходит от того факта, что одно из p + 1 направлений, охваченных Dp-браной, часто бывает времениподобным, оставляя p пространственных направлений.
Вышеупомянутая идентичность Бианки интерпретируется как означающая, что Dp-брана, по аналогии с магнитными монополями в электромагнетизме, магнитно заряжена под RR p- формой C 7− p . Если вместо этого рассматривать это тождество Бианки как уравнение поля для C p +1 , то говорят, что Dp-брана электрически заряжена под ( p + 1) -формой C p + 1 .
Вышеприведенное уравнение движения подразумевает, что есть два способа получить заряд Dp-браны из потоков окружающей среды. Во-первых, можно проинтегрировать dG 8 − p по поверхности, что даст заряд Dp-браны, пересекаемый этой поверхностью. Второй метод связан с первым по теореме Стокса . Можно интегрировать G 8 − p по циклу, это даст заряд Dp-браны, связанный этим циклом. Квантование заряда Dp-браны в квантовой теории затем подразумевает квантование напряженности поля G, но не улучшенной напряженности поля F.
Интерпретация искаженной K-теории
Было высказано предположение, что RR поля, как и D-браны, классифицируются скрученной K-теорией . В этом контексте приведенные выше уравнения движения имеют естественную интерпретацию. Уравнения движения без источника для улучшенных значений напряженности поля F подразумевают, что формальная сумма всех F p является элементом H-скрученных когомологий де Рама . Это версия когомологий Де Рама, в которой дифференциалом является не внешняя производная d, а (d + H), где H - 3-форма Невё-Шварца. Обратите внимание, что (d + H), что необходимо для корректного определения когомологий, обращается в квадрат до нуля.
Улучшенные значения напряженности поля F живут в классической теории, где переход от квантовой к классической интерпретируется рациональными числами как тензор. Таким образом, F должна быть некоторой рациональной версией извращенной K-теории. Такая рациональная версия, по сути, характеристический класс скрученной K-теории, уже известна. Это скрученный класс Черен определен в Twisted К-теории и К-теории Bundle жербов по Питеру Боукнеет , Алан Л. Кэри , Varghese Mathai , Майкл К. Мюррей и Дэнни Стивенсон и расширен в характере Черны в скрученной K-теории: Эквивариантный и голоморфный случаи . Авторы показали, что скрученные характеры Черна всегда являются элементами H-скрученных когомологий де Рама.
В отличие от улучшенных значений напряженности поля, исходные значения G представляют собой раскрученные интегральные классы когомологий. Кроме того, G не являются калибровочно-инвариантными, что означает, что они не определены однозначно, а могут быть определены только как классы эквивалентности. Они соответствуют классам когомологий в построении спектральной последовательности Атьи Хирцебруха скрученной K-теории, которые определены только с точностью до членов, замкнутых относительно любого ряда дифференциальных операторов .
Исходные члены, по-видимому, препятствуют существованию класса K-теории. Другие уравнения движения, например, полученные путем варьирования B-поля НЗ, не имеют интерпретаций K-теории. Включение этих поправок в рамки K-теории - открытая проблема. Чтобы узнать больше об этой проблеме, щелкните здесь .
Смотрите также
- Поле Калба-Рамонда
Заметки
- ^ Рамонд, П. (1971-05-15). «Двойственная теория свободных фермионов». Physical Review D . Американское физическое общество (APS). 3 (10): 2415–2418. DOI : 10.1103 / physrevd.3.2415 . ISSN 0556-2821 .
Рекомендации
- Хорошее введение в различные напряженности поля в теории с точкой зрения Черно-Simons является Черна-Simons терминов и три ПОНЯТИЯ обязанности по Дональд Маролфу .
- Демократическая формулировку 10-мерных супергравитаций можно найти в новых рецептурах D = 10 суперсимметрии и Walls D8-О8 домена по Эрику Bergshoeff , Рената Каллоша , Томас Ortín , Дидерик Roest и Антуан Ван Proeyen . Он включает многие детали, отсутствующие в исходной статье Таунсенда, но ограничивает внимание топологически тривиальной 3-формой Невё-Шварца.