В гиперболической геометрии две прямые могут пересекаться, быть ультрапараллельными или предельно параллельными .
Теорема ультрапараллельности утверждает, что каждая пара (различных) ультрапараллельных прямых имеет единственный общий перпендикуляр (гиперболическая линия, перпендикулярная обеим прямым).
Конструкция Гильберта
Пусть r и s - две ультрапараллельные прямые.
Из любых двух различных точек A и C на s проведите AB и CB 'перпендикулярно r, а B и B' на r.
Если случается, что AB = CB ', то искомый общий перпендикуляр соединяет середины AC и BB' (в силу симметрии четырехугольника Саккери ACB'B).
В противном случае мы можем предположить AB
Тогда D '≠ D. Они находятся на одинаковом расстоянии от r и оба лежат на s. Таким образом, серединный перпендикуляр к D'D (отрезок s) также перпендикулярен r. [1]
(Если бы r и s были асимптотически параллельны, а не ультрапараллельны, эта конструкция не удалась бы, потому что s 'не соответствовала бы s. Скорее s' была бы асимптотически параллельна как s, так и r.)
Доказательство в модели полуплоскости Пуанкаре.
Позволять
быть четыре различные точки на оси абсцисс в декартовой плоскости . Позволять а также быть полукругами над абсциссой с диаметрами а также соответственно. Тогда в модели полуплоскости Пуанкаре HP а также представляют собой ультрапараллельные линии.
Составьте следующие два гиперболических движения :
потом
Теперь продолжите эти два гиперболических движения:
потом остается в , , , (сказать). Уникальный полукруг с центром в начале координат, перпендикулярный кругу надолжен иметь радиус, касательный к радиусу другого. Прямоугольный треугольник, образованный абсциссой и перпендикулярными радиусами, имеет гипотенузу длины. С - радиус полукруга на искомый общий перпендикуляр имеет радиус-квадрат
Четыре гиперболических движения, которые произвели каждый из приведенных выше может быть инвертирован и применен в обратном порядке к полукругу с центром в начале координат и радиусом чтобы получить уникальную гиперболическую линию, перпендикулярную обоим ультрапараллелям а также .
Доказательство в модели Бельтрами-Клейна
В модели Бельтрами-Клейна гиперболической геометрии:
- две ultraparallel линии соответствует два непересекающихся аккордам .
- В полюсы этих двух линий являются соответствующими пересечениями касательных к границе окружности на концах хорд.
- Прямые, перпендикулярные прямой l , моделируются хордами, продолжение которых проходит через полюс l .
- Следовательно, мы проводим единственную линию между полюсами двух данных линий и пересекаем ее с граничной окружностью; хорда пересечения будет желаемым общим перпендикуляром ультрапараллельных линий.
Если одна из хорд является диаметром, у нас нет полюса, но в этом случае любая хорда, перпендикулярная диаметру, также перпендикулярна в модели Бельтрами-Клейна, и поэтому мы проводим линию через полюс другая линия, пересекающая диаметр под прямым углом, чтобы получить общий перпендикуляр.
Доказательство завершается тем, что эта конструкция всегда возможна:
- Если обе хорды диаметры, они пересекаются (в центре граничной окружности)
- Если только одна из хорд является диаметром, другая хорда проходит ортогонально вниз к секции первой хорды, содержащейся в ее внутренней части, а линия от полюса, ортогональная диаметру, пересекает и диаметр, и хорду.
- Если обе прямые не диаметры, то мы можем продолжить касательные, проведенные от каждого полюса, чтобы получить четырехугольник с вписанной в него единичной окружностью. [ как? ] Полюса - это противоположные вершины этого четырехугольника, а хорды - это линии, проведенные между соседними сторонами вершины через противоположные углы. Поскольку четырехугольник выпуклый, [ почему? ] линия между полюсами пересекает обе хорды, проведенные по углам, а отрезок линии между хордами определяет требуемый хорд, перпендикулярный двум другим хордам.
В качестве альтернативы мы можем построить общий перпендикуляр ультрапараллельных прямых следующим образом: ультрапараллельные прямые в модели Бельтрами-Клейна представляют собой две непересекающиеся хорды. Но на самом деле они пересекаются вне круга. Полярная точка пересечения - это желаемый общий перпендикуляр. [2]
Рекомендации
- ^ HSM Coxeter . Неевклидова геометрия . С. 190–192. ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ У. Терстон, Трехмерная геометрия и топология , стр. 72
- Кароль Борсук и Ванда Шмелев (1960) Основы геометрии , стр. 291.