Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Четырехугольники Саккери

Саккери четырехугольник (также известный как четырехугольник Хайяма-Саккери ) представляет собой четырехугольник с двумя равными сторонами , перпендикулярной к основанию. Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери , который широко использовал его в своей книге Euclides ab omni naevo vindicatus (буквально «Евклид, свободный от всех недостатков»), впервые опубликованной в 1733 году, в попытке доказать параллельный постулат с использованием метода Reductio ad absurdum .

Первое известное рассмотрение четырехугольника Саккери было сделано Омаром Хайямом в конце 11 века, и его иногда можно назвать четырехугольником Хайяма-Саккери. [1]

У четырехугольника Саккери ABCD стороны AD и BC (также называемые сторонами) равны по длине и также перпендикулярны основанию AB. Верхний CD - это вершина или верхнее основание, а углы в C и D называются вершинами.

Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении постулата параллельности состоит в том, что они очень четко определяют взаимоисключающие варианты:

Углы вершины прямые, тупые или острые?

Как выясняется из:

  • когда углы вершины прямые, существование этого четырехугольника эквивалентно утверждению, сформулированному в пятом постулате Евклида.
  • Когда углы вершины острые, этот четырехугольник приводит к гиперболической геометрии , и
  • когда вершины тупые, четырехугольник приводит к эллиптической или сферической геометрии (при условии, что в постулаты также внесены некоторые другие изменения [2] ).

Сам Саккери, однако, считал, что и тупые, и острые случаи могут быть противоречивыми . Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом рассмотреть острый случай. [3]

История [ править ]

Четырехугольники Саккери впервые были рассмотрены Омаром Хайямом (1048–1131) в конце 11 века в книге I « Объяснение трудностей постулатов Евклида» . [1] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая, конечно, Саккери), Хайям не пытался доказать параллельный постулат как таковой, а вывести его из эквивалентного постулата, который он сформулировал из «принципов философа» ( Аристотель). ):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в том направлении, в котором они сходятся. [4]

Затем Хайям рассмотрел три случая правильного, тупого и острого, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них, он (правильно) опроверг эти тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.

Лишь 600 лет спустя Джордано Витале сделал продвижение к Хайяму в своей книге Euclide restituo (1680, 1686), когда он использовал четырехугольник, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

Сам Саккери основал все свое длинное и в конечном итоге ошибочное доказательство постулата параллельности вокруг четырехугольника и его трех случаев, доказывая множество теорем о его свойствах.

Четырехугольники Саккери в гиперболической геометрии [ править ]

Пусть ABCD - четырехугольник Саккери, имеющий AB в качестве основания , CD в качестве вершины, а CA и DB в качестве равных сторон, перпендикулярных основанию. Следующие свойства верны в любом четырехугольнике Саккери в гиперболической геометрии : [5]

  • В углы на высшем уровне (углы при C и D ) равны и острый.
  • Вершина длиннее основания .
  • Два четырехугольника Саккери равны, если:
    • базовые сегменты и вершинные углы совпадают
    • сегменты вершины и углы вершины совпадают.
  • Отрезок линии, соединяющий середину основания и середину вершины:
    • Перпендикулярно основанию и вершине,
    • это единственная линия симметрии четырехугольника,
    • это самый короткий отрезок, соединяющий базу и вершину,
    • перпендикулярна линии, соединяющей середины сторон,
    • делит четырехугольник Саккери на два четырехугольника Ламберта .
  • Отрезок, соединяющий середины сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Уравнения [ править ]

В гиперболической плоскости постоянной кривизны вершина четырехугольника Саккери может быть вычислена по опоре и основанию по формуле

[6]
[7]

Тайлинги в модели диска Пуанкаре [ править ]

Замощения на диске модели Пуанкаре в плоскости , имеющей EXIST гиперболического Саккери четырехугольников в фундаментальных областях . Помимо двух прямых углов, у этих четырехугольников есть острые вершины. Плитки демонстрируют симметрию * nn22 ( обозначение орбифолда ) и включают:

Гиперболические домены 2233.png
* 3322 симметрия		Гиперболические домены ii22.png
* ∞∞22 симметрия

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

  1. ^ a b Борис Абрамович Розенфельд (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства (перевод под ред. Эйба Шеницера). Springer. п. 65. ISBN 0-387-96458-4.
  2. Перейти ↑ Coxeter 1998 , pg. 11
  3. Перейти ↑ Faber 1983 , pg. 145
  4. ^ Борис А Розенфельд и Адольф P Youschkevitch (1996), Геометрия , p.467 в Рошди Рашед, Режис Morelon (1996), Энциклопедия истории арабской науки , Рутледж, ISBN 0-415-12411-5 . 
  5. Перейти ↑ Faber 1983 , pp. 146 - 147
  6. ^ П. Бузер и Х. Керхер. Почти плоские многообразия Громова. Звездочка 81 (1981), стр. 104.
  7. ^ Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидовы и неевклидовы геометрии: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 411. ISBN 9780716724469.

Ссылки [ править ]

  • Кокстер, HSM (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4
  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
  • MJ Гринберг , евклидовой и неевклидовых геометрий: Развитие и история , 4 - е издание, WH Freeman, 2008.
  • Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидовой плоскости , Springer-Verlag, 1975 г.