Недостаточная выборка

Рис. 1. Два верхних графика изображают преобразования Фурье двух разных функций, которые дают одинаковые результаты при выборке с определенной частотой. Функция основной полосы частот дискретизируется быстрее, чем ее частота Найквиста, а функция полосы частот дискретизируется недостаточно, что эффективно преобразует ее в модулирующую полосу. На нижних графиках показано, как идентичные спектральные результаты создаются псевдонимами процесса выборки.

График частот дискретизации (ось y) в зависимости от частоты верхнего края (ось x) для полосы шириной 1; Области серого - это комбинации, которые «разрешены» в том смысле, что в полосе нет двух частот, совпадающих с одной и той же частотой. Более темные серые области соответствуют недостаточной дискретизации с максимальным значением n в уравнениях этого раздела.

В обработке сигналов , Undersampling или выборки полосовой представляет собой метод , где один образцы полосовой -filtered сигнала на образце скорости ниже его Найквиста скорости (дважды верхней частотой среза ), но все еще в состоянии восстановить сигнал.

При недостаточной дискретизации полосового сигнала выборки неотличимы от выборок низкочастотного псевдонима высокочастотного сигнала. Такая выборка также известна как полосовая выборка, гармоническая выборка, выборка ПЧ и прямое преобразование ПЧ в цифровое. ^[1]

Описание [ править ]

Преобразования Фурье действительных функций симметричны относительно оси 0 Гц . После выборки остается доступным только периодическое суммирование преобразования Фурье (называемое преобразованием Фурье с дискретным временем ). Отдельные смещенные по частоте копии исходного преобразования называются псевдонимами . Сдвиг частоты между соседними псевдонимами - это частота дискретизации, обозначаемая f _s . Когда псевдонимы являются взаимоисключающими (спектрально), исходное преобразование и исходная непрерывная функция или ее версия со сдвигом частоты (при желании) могут быть восстановлены из выборок. Первый и третий графики на Рисунке 1 изображают основную полосу частот. спектр до и после дискретизации с частотой, полностью разделяющей псевдонимы.

Второй график на рисунке 1 изображает частотный профиль полосы пропускания, занимающей полосу ( A , A + B ) (заштриховано синим) и ее зеркальное отображение (заштриховано бежевым). Условием неразрушающей частоты дискретизации является то, что псевдонимы обеих полос не перекрываются при сдвиге на все целые числа, кратные f _s . Четвертый график отображает спектральный результат выборки с той же скоростью, что и функция основной полосы частот. Скорость была выбрана путем нахождения самой низкой скорости, которая является целым числом, кратным A, а также удовлетворяет критерию Найквиста основной полосы частот : f _s  > 2 B. Следовательно, функция полосы пропускания была фактически преобразована в полосу частот модулирующих сигналов. Все остальные коэффициенты, исключающие перекрытие, определяются этими более общими критериями, где A и A + B заменяются на f _L и f _H соответственно : ^{[2] [3]}

${\ displaystyle {\ frac {2f_ {H}} {n}} \ leq f_ {s} \ leq {\ frac {2f_ {L}} {n-1}}}$, для любого целого n, удовлетворяющего:${\ displaystyle 1 \ leq n \ leq \ left \ lfloor {\ frac {f_ {H}} {f_ {H} -f_ {L}}} \ right \ rfloor}$

Наибольшее n, для которого выполняется условие, приводит к наименьшей возможной частоте дискретизации.

Важные сигналы такого рода включают в себя радиосигналы промежуточной частоты (IF), радиочастоты (RF) и отдельные каналы блока фильтров .

Если п > 1, то условия приводят к тому , что иногда называют Undersampling , выборки полосового , или с использованием частоты дискретизации меньше скорости Найквиста (2 F _H ). Для случая заданной частоты дискретизации ниже приведены более простые формулы для ограничений спектральной полосы сигнала.

Спектр радиодиапазона FM (88–108 МГц) и его псевдоним основной полосы частот при дискретизации 44 МГц ( n = 5). Требуется фильтр сглаживания, достаточно плотный для диапазона FM-радио, и нет места для станций на соседних каналах расширения, таких как 87.9, без наложения.

Спектр FM-радиодиапазона (88–108 МГц) и его псевдоним основной полосы при дискретизации 56 МГц ( n = 4), демонстрирующий достаточно места для переходных полос полосового сглаживающего фильтра. В этом случае изображение основной полосы частот перевернуто (даже n ).

Пример: рассмотрим FM-радио, чтобы проиллюстрировать идею недостаточной дискретизации.

В США FM-радио работает в диапазоне частот от f _L = 88 МГц до f _H = 108 МГц. Пропускная способность определяется выражением

${\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }$

Условия выборки выполняются для

${\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }$

Следовательно, n может быть 1, 2, 3, 4 или 5.

Значение n = 5 дает самый низкий интервал частот дискретизации, и это сценарий недостаточной дискретизации. В этом случае спектр сигнала соответствует частоте дискретизации от 2 до 2,5 раз (выше 86,4–88 МГц, но ниже 108–110 МГц).${\displaystyle 43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }$

Меньшее значение n также приведет к полезной частоте дискретизации. Например, при n = 4 спектр FM-диапазона легко соответствует частоте дискретизации от 1,5 до 2,0 раз для частоты дискретизации около 56 МГц (кратной частоте Найквиста, равной 28, 56, 84, 112 и т. Д.). См. Иллюстрации справа.

При недостаточной дискретизации реального сигнала схема дискретизации должна быть достаточно быстрой, чтобы улавливать интересующую максимальную частоту сигнала. Теоретически каждый образец следует отбирать в течение бесконечно короткого интервала, но это практически невозможно. Вместо этого выборка сигнала должна производиться через достаточно короткий интервал, чтобы он мог представлять мгновенное значение сигнала с наивысшей частотой. Это означает, что в приведенном выше примере FM-радио схема выборки должна улавливать сигнал с частотой 108 МГц, а не 43,2 МГц. Таким образом, частота дискретизации может быть лишь немного больше 43,2 МГц, но входная полоса пропускания системы должна быть не менее 108 МГц. Точно так же точность синхронизации выборки или неопределенность апертуры пробоотборника, частоаналого-цифровой преобразователь должен соответствовать частотам дискретизации 108 МГц, а не более низкой частоте дискретизации.

Если теорема о дискретизации интерпретируется как требующая вдвое большей частоты, то требуемая частота дискретизации будет считаться выше, чем частота Найквиста 216 МГц. Хотя это удовлетворяет последнему условию частоты дискретизации, выборка сильно передискретизирована.

Обратите внимание, что если полоса дискретизируется с n > 1, то для фильтра сглаживания требуется полосовой фильтр вместо фильтра нижних частот.

Как мы видели, нормальным условием основной полосы частот для обратимой выборки является то, что X ( f ) = 0 вне интервала :  ${\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

а функция реконструктивной интерполяции или импульсная характеристика фильтра нижних частот -  ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}$

Чтобы компенсировать недостаточную дискретизацию, условие полосы пропускания состоит в том, что X ( f ) = 0 вне объединения открытых положительных и отрицательных полос частот.

${\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}$для некоторого положительного целого числа .${\displaystyle n\,}$

который включает в себя нормальное условие основной полосы частот, как случай n = 1 (за исключением того, что, когда интервалы объединяются на частоте 0, они могут быть закрыты).

Соответствующей функцией интерполяции является полосовой фильтр, задаваемый этой разностью импульсных характеристик нижних частот :

${\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}$.

С другой стороны, реконструкция обычно не является целью с дискретизированными сигналами ПЧ или РЧ. Скорее, последовательность отсчетов можно рассматривать как обычные отсчеты сигнала, частотно смещенные в полосу, близкую к основной, и цифровая демодуляция может продолжаться на этой основе, распознавая зеркальное отражение спектра, когда n четно.

Возможны дальнейшие обобщения недостаточной дискретизации для случая сигналов с несколькими полосами, а также сигналов в многомерных областях (пространстве или пространстве-времени), которые были подробно разработаны Игорем Клуванеком .

См. Также [ править ]

• Морось (обработка изображений)

Ссылки [ править ]