Линейная устойчивость

В математике, в теории дифференциальных уравнений и динамических систем , конкретное стационарное или квазистационарное решение нелинейной системы называется линейно неустойчивым, если линеаризация уравнения в этом решении имеет вид , где A - линейный оператор , спектр которого содержит собственные значения с положительной реальной частью. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то решение называется линейно устойчивым . Другие названия линейной устойчивости включают экспоненциальную устойчивость или ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = Ar}$ устойчивость в первом приближении . ^[1]^[2] Если существует собственное значение с нулевой действительной частью, то вопрос об устойчивости не может быть решен на основе первого приближения, и мы приближаемся к так называемой «проблеме центра и фокуса». ^[3]

Пример 1: ODE [ править ]

Дифференциальное уравнение

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = xx ^ {2}}

имеет два стационарных (не зависящих от времени) решения: x = 0 и x = 1. Линеаризация при x = 0 имеет вид . Линеаризованный оператор A ₀ = 1. Единственное собственное значение - . Решения этого уравнения растут экспоненциально; стационарная точка x = 0 линейно неустойчива. ${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = x}$ ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

Чтобы получить линеаризацию при x = 1, пишут , где r = x - 1. Тогда линеаризованное уравнение имеет вид ; линеаризованный оператор имеет вид A ₁ = −1, единственное собственное значение есть , следовательно, эта стационарная точка линейно устойчива. ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = (1 + r) - (1 + r) ^ {2} = - rr ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}} = - r}$ ${\ displaystyle \ lambda = -1}$

Пример 2: NLS [ править ]

Нелинейное уравнение Шредингера

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} - | u | ^ {2k} u}

, где u ( x , t ) ∈ ℂ и k > 0,

имеет уединенные волновые решения вида . ^[4] Для вывода линеаризации на уединенной волне решение рассматривается в форме . Линеаризованное уравнение на имеет вид ${\ Displaystyle \ фи (х) е ^ {- я \ омега т}}$ ${\ Displaystyle и (х, т) = (\ фи (х) + г (х, т)) е ^ {- я \ омега т}}$ ${\ Displaystyle г (х, т)}$

{\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},

куда

A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},

с

L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega

и

L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega

то дифференциальные операторы . Согласно критерию устойчивости Вахитова – Колоколова , ^[5] при k > 2 спектр оператора A имеет положительные точечные собственные значения, так что линеаризованное уравнение линейно (экспоненциально) неустойчиво; при 0 < k ≤ 2 спектр A чисто мнимый, так что соответствующие уединенные волны линейно устойчивы.

Следует отметить, что линейная устойчивость не означает автоматически устойчивость; в частности, при k = 2 уединенные волны неустойчивы. С другой стороны, при 0 < k <2 уединенные волны не только линейно устойчивы, но и орбитально устойчивы . ^[6]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. MIT Press, Кембридж, Массачусетс (1973)
^ П. Глендиннинг, Устойчивость, неустойчивость и хаос: введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Издательство Кембриджского университета, 1994.
^ В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, "Качественная теория дифференциальных уравнений", Princeton Univ. Пресса (1960)
^ Х. Берестыцкий и П.-Л. Львы (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля. I. Существование основного состояния». Arch. Rational Mech. Анальный . 82 (4): 313–345. Bibcode : 1983ArRMA..82..313B . DOI : 10.1007 / BF00250555 .
↑ Н.Г. Вахитов, А.А. Колоколов (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Radiophys. Quantum Electron . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R & QE ... 16..783V . DOI : 10.1007 / BF01031343 .
^ Manoussos Grillakis, Жалал Shatah и Вальтера Штрауса (1987). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии. I». J. Funct. Анальный . 74 : 160–197. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (87) 90044-9 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1] В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. MIT Press, Кембридж, Массачусетс (1973)

[2] П. Глендиннинг, Устойчивость, неустойчивость и хаос: введение в теорию нелинейных дифференциальных уравнений. Издательство Кембриджского университета, 1994.

[3] В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, "Качественная теория дифференциальных уравнений", Princeton Univ. Пресса (1960)

[4] Х. Берестыцкий и П.-Л. Львы (1983). «Нелинейные уравнения скалярного поля. I. Существование основного состояния». Arch. Rational Mech. Анальный . 82 (4): 313–345. Bibcode : 1983ArRMA..82..313B . DOI : 10.1007 / BF00250555 .

[5] Н.Г. Вахитов, А.А. Колоколов (1973). «Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности». Radiophys. Quantum Electron . 16 (7): 783–789. Bibcode : 1973R & QE ... 16..783V . DOI : 10.1007 / BF01031343 .

[6] Manoussos Grillakis, Жалал Shatah и Вальтера Штрауса (1987). «Теория устойчивости уединенных волн при наличии симметрии. I». J. Funct. Анальный . 74 : 160–197. DOI : 10.1016 / 0022-1236 (87) 90044-9 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1]