Передискретизация

В цифровой обработки сигнала , повышающая дискретизация , расширение и интерполяции термины , связанные с процессом передискретизации в цифровой обработки сигналов различных скоростей передачи системы. Повышение частоты дискретизации может быть синонимом расширения или может описывать весь процесс расширения и фильтрации ( интерполяции ). ^[1]^[2]^[3] Когда повышающая дискретизация выполняется на последовательности выборок сигналаили другой непрерывной функции, он производит приближение последовательности, которая была бы получена путем дискретизации сигнала с более высокой частотой (или плотностью , как в случае фотографии). Например, если звук компакт-диска со скоростью 44 100 выборок в секунду повышается с коэффициентом 5/4, результирующая частота дискретизации будет 55 125.

Повышение дискретизации на целочисленный коэффициент [ править ]

Рис. 1: Изображение одного скалярного произведения, в результате чего получается один выходной образец (зеленым цветом) для случая L = 4, n = 9, j = 3. Между каждой парой входных отсчетов изображены три концептуальных «вставленных нуля». Их исключение из расчета - вот что отличает многоскоростной фильтр от односкоростного.

Увеличение скорости на целочисленный коэффициент L можно объяснить как двухэтапный процесс с более эффективной эквивалентной реализацией : ^[4]

Расширение: Создайте последовательность, состоящую из исходных отсчетов, разделенных L - 1 нулями. Обозначения для этой операции: ${\ Displaystyle x_ {L} [п],}$ ${\ Displaystyle х [п],}$ ${\ displaystyle x_ {L} [n] = x [n] _ {\ uparrow L}.}$
Интерполяция: сгладьте неоднородности с помощью фильтра нижних частот , который заменяет нули.

В этом приложении фильтр называется фильтром интерполяции , и его конструкция обсуждается ниже. Когда фильтр интерполяции относится к типу FIR , его эффективность может быть улучшена, поскольку нули не вносят никакого вклада в вычисления его скалярного произведения . Их легко исключить как из потока данных, так и из расчетов. Расчет, выполняемый многоскоростным интерполяционным КИХ-фильтром для каждой выходной выборки, представляет собой скалярное произведение : ^[a]^[A]

{\ Displaystyle у [J + NL] = \ сумма _ {К = 0} ^ {К} х [NK] \ CDOT H [J + KL], \ \ J = 0,1, \ ldots, L-1, }

и для любого

{\ displaystyle n}

( Уравнение 1 )

где последовательность h [•] - это импульсная характеристика, а K - наибольшее значение k, для которого h [ j + kL ] не равно нулю. В случае L = 2, h [•] может быть спроектирован как полуполосный фильтр , где почти половина коэффициентов равна нулю и не требует включения в скалярные произведения. Коэффициенты импульсной характеристики, взятые через интервалы L, образуют подпоследовательность, и существует L таких подпоследовательностей (называемых фазами ), мультиплексированных вместе. Каждая из L фаз импульсной характеристики фильтрует одинаковые последовательные значенияx [•] поток данных и создание одного из L последовательных выходных значений. В некоторых многопроцессорных архитектурах эти скалярные произведения выполняются одновременно, и в этом случае это называется многофазным фильтром.

Для полноты мы теперь упоминаем, что возможная, но маловероятная реализация каждой фазы заключается в замене коэффициентов других фаз нулями в копии массива h [•] и обработке последовательности в L раз быстрее, чем в исходной. скорость ввода. Тогда L-1 всех L выходов равны нулю. Желаемая последовательность y [•] представляет собой сумму фаз, где L-1 члены каждой суммы тождественно равны нулю. Вычисление нулей L-1 между полезными выходами фазы и добавление их к сумме фактически является прореживанием. Это тот же результат, что и их совсем не вычислять. Эта эквивалентность известна как вторая Благородная идентичность . ^[5] ${\ Displaystyle \ scriptstyle x_ {L} [п]}$ Иногда его используют при выводе многофазного метода.

Дизайн фильтра интерполяции [ править ]

Рис. 2: Первый и третий графики отображают дискретные преобразования Фурье дискретизированной функции и той же функции, дискретизированные в 3 раза быстрее. Второй график показывает преобразование последовательности, полученной из низкоскоростных отсчетов путем вставки двух нулей между каждой парой реальных отсчетов. Он идентичен первому графику, за исключением того, что цифра 3 заменена символом L. Также изображен фильтр нижних частот с полосой пропускания 0,5 / T. При применении к последовательности с добавлением нуля ее спектральный выходной сигнал напоминает третий график, который является желаемым результатом интерполяции. Максимальная полоса пропускания фильтра сведена в таблицу в единицах частоты, используемых в общих приложениях для проектирования фильтров.

Пусть X ( f ) будет преобразованием Фурье любой функции x ( t ), выборки которой на некотором интервале T равны последовательности x [ n ]. Тогда дискретное время преобразования Фурье (ДВПФ) из й [ п последовательности] является ряд Фурье представления периодического суммирования по X ( ф ) : ^[Ь]

{\ displaystyle \ underbrace {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ overbrace {x (nT)} ^ {x [n]} \ e ^ {- i2 \ pi fnT}} _ {\ текст {DTFT}} = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X {\ Bigl (} f - {\ frac {k} {T}} { \ Bigr)}.}

( Уравнение 2 )

Когда T имеет единицы секунды, имеет единицы герц (Гц) . Выборка в L раз быстрее (с интервалом T / L ) увеличивает периодичность в L раз : ^[c] ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle {\ frac {L} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (fk \ cdot {\ frac {L} {T}} \ right),}

( Уравнение 3 )

что также является желаемым результатом интерполяции. Пример обоих этих распределений изображен на первом и третьем графиках фиг.2.

Когда в дополнительные отсчеты вставляются нули, они увеличивают скорость передачи данных, но не влияют на распределение частот до тех пор, пока нули не будут заменены интерполяционным фильтром, изображенным на втором графике. Его применение делает первые два графика похожими на третий. Его полоса пропускания - это частота Найквиста исходной последовательности x [n]. ^[B] В единицах Гц это значение равно, но для приложений проектирования фильтров обычно требуются нормализованные единицы . (см. таблицу на рис. 2) ${\ displaystyle {\ tfrac {0,5} {T}},}$

Повышение дискретизации по дробному коэффициенту [ править ]

Пусть L / M обозначает коэффициент повышающей дискретизации, где L > M .

Увеличение дискретизации в L раз
Понижение дискретизации в M раз

Для повышения частоты дискретизации требуется фильтр нижних частот после увеличения скорости передачи данных, а для понижающей дискретизации требуется фильтр нижних частот перед децимацией. Следовательно, обе операции могут выполняться одним фильтром с более низкой из двух частот среза. Для случая L > M отсечка интерполяционного фильтра, количество циклов на промежуточную выборку , является нижней частотой. ${\ displaystyle {\ tfrac {0,5} {L}}}$

См. Также [ править ]

Даунсэмплинг
Многоскоростная цифровая обработка сигналов
Полуполосный фильтр
Передискретизация
Выборка (теория информации)
Сигнал (теория информации)
Конверсия данных
Интерполяция
Формула суммирования Пуассона

Примечания [ править ]

^ Выходная последовательность интерполяционного фильтра определяется сверткой:
${\ displaystyle y [m] = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {L} [mr] \ cdot h [r]}$
Единственные члены, для которых могут быть ненулевые, - это те, для которых целое кратно Таким образом: для целых значений и свертка может быть переписана как: $x_{L}[m-r]$ $m-r$ $L.$ $m-r={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L-kL$ $k,$
${\begin{aligned}y[m]&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{L}\left[{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L-kL\right]\cdot h{\Bigl [}\overbrace {m-{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L+kL} ^{r}{\Bigr ]}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left[{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }-k\right]\cdot h\left[m-{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L+kL\right]\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ j+nL}{\longrightarrow }}\quad y[j+nL]=\sum _{k=0}^{K}x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j=0,1,\ldots ,L-1\quad {\mathsf {(Eq.1)}}\end{aligned}}$
^ Реализуемые фильтры нижних частот имеют "юбку", где отклик уменьшается от почти единицы до почти нуля. Таким образом, на практике частота среза располагается достаточно далеко ниже теоретической среза, чтобы юбка фильтра находилась ниже теоретической среза.

Цитирование страниц [ править ]

^ Crochiere и Rabiner "2.3". стр. 38. уравнение 2.80, где также требуется и $m\triangleq j+nL,$ $n={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor },$ $j=m-nL.$
^ е. Харрис 2004 . «2.2». стр. 23. рис. 2.12 (вверху).
^ е. Харрис 2004 . «2.2». стр. 23. рис. 2.12 (внизу).

Ссылки [ править ]

^ Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд У .; Бак, Джон Р. (1999). «4.6.2». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 172. ISBN. 0-13-754920-2.Также доступно на https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
^ Crochiere, RE; Рабинер, Л. Р. (1983). «2.3». Многоскоростная цифровая обработка сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. С. 35–36. ISBN 0136051626.
^ Poularikas, Александр Дмитриевич (сентябрь 1998). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (1-е изд.). CRC Press. С. 42–48. ISBN 0849385792.
^ Харрис, Фредерик Дж. (2004-05-24). «2.2». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. С. 20–21. ISBN 0131465112. Процесс увеличения выборки можно представить в виде двухэтапной последовательности. Процесс начинается с увеличения частоты дискретизации входной серии x (n) за счет повторной записи [расширения]. Временной ряд с нулевой упаковкой обрабатывается фильтром h (n). В действительности процессы увеличения частоты дискретизации и уменьшения полосы пропускания объединены в один процесс, называемый многоскоростным фильтром.
^ Strang, Гилберт; Нгуен, Чыонг (1996-10-01). Вейвлеты и банки фильтров (2-е изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. п. 101 . ISBN 0961408871. Благородные идентификаторы применяются к каждому многофазному компоненту ... они не применяются ко всему фильтру.

Дальнейшее чтение [ править ]

Тан, Ли (21 апреля 2008 г.). «Повышение и понижающая дискретизация» . eetimes.com . EE Times . Проверено 10 апреля 2017 .
«Домашняя страница цифрового аудио передискретизации» . (обсуждает метод интерполяции с ограничением полосы частот)
«Пример использования многофазных фильтров в Matlab для интерполяции» .

[6] Выходная последовательность интерполяционного фильтра определяется сверткой:
${\ displaystyle y [m] = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {L} [mr] \ cdot h [r]}$
Единственные члены, для которых могут быть ненулевые, - это те, для которых целое кратно Таким образом: для целых значений и свертка может быть переписана как: $x_{L}[m-r]$ $m-r$ $L.$ $m-r={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L-kL$ $k,$
${\begin{aligned}y[m]&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{L}\left[{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L-kL\right]\cdot h{\Bigl [}\overbrace {m-{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L+kL} ^{r}{\Bigr ]}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left[{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }-k\right]\cdot h\left[m-{\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor }L+kL\right]\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ j+nL}{\longrightarrow }}\quad y[j+nL]=\sum _{k=0}^{K}x[n-k]\cdot h[j+kL],\ \ j=0,1,\ldots ,L-1\quad {\mathsf {(Eq.1)}}\end{aligned}}$

[10] Реализуемые фильтры нижних частот имеют "юбку", где отклик уменьшается от почти единицы до почти нуля. Таким образом, на практике частота среза располагается достаточно далеко ниже теоретической среза, чтобы юбка фильтра находилась ниже теоретической среза.

[5] Crochiere и Rabiner "2.3". стр. 38. уравнение 2.80, где также требуется и $m\triangleq j+nL,$ $n={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor },$ $j=m-nL.$

[8] ^ е. Харрис 2004 . «2.2». стр. 23. рис. 2.12 (вверху).

[9] ^ е. Харрис 2004 . «2.2». стр. 23. рис. 2.12 (внизу).

[Oppenheim-1] Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд У .; Бак, Джон Р. (1999). «4.6.2». Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 172. ISBN. 0-13-754920-2.Также доступно на https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

[Crochiere-2] Crochiere, RE; Рабинер, Л. Р. (1983). «2.3». Многоскоростная цифровая обработка сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. С. 35–36. ISBN 0136051626.

[Poularikas-3] Poularikas, Александр Дмитриевич (сентябрь 1998). Справочник формул и таблиц для обработки сигналов (1-е изд.). CRC Press. С. 42–48. ISBN 0849385792.

[f.harris-4] Харрис, Фредерик Дж. (2004-05-24). «2.2». Многоскоростная обработка сигналов для систем связи . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall PTR. С. 20–21. ISBN 0131465112. Процесс увеличения выборки можно представить в виде двухэтапной последовательности. Процесс начинается с увеличения частоты дискретизации входной серии x (n) за счет повторной записи [расширения]. Временной ряд с нулевой упаковкой обрабатывается фильтром h (n). В действительности процессы увеличения частоты дискретизации и уменьшения полосы пропускания объединены в один процесс, называемый многоскоростным фильтром.

[Strang-7] Strang, Гилберт; Нгуен, Чыонг (1996-10-01). Вейвлеты и банки фильтров (2-е изд.). Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press. п. 101 . ISBN 0961408871. Благородные идентификаторы применяются к каждому многофазному компоненту ... они не применяются ко всему фильтру.

[1]

vтеЦифровая обработка сигналов
Теория	Теория обнаружения Дискретный сигнал Теория оценок Теорема выборки Найквиста – Шеннона
Подполя	Обработка аудиосигнала Цифровая обработка изображений Обработка речи Статистическая обработка сигналов
Методы	Z-преобразование Расширенное z-преобразование Метод согласованного Z-преобразования Билинейное преобразование Constant-Q преобразование Дискретное косинусное преобразование (DCT) Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) Импульсная инвариантность Интегральное преобразование Преобразование Лапласа Формула обращения поста Помеченное преобразование Зак преобразовать
Отбор проб	Сглаживание Фильтр сглаживания Даунсэмплинг Частота / частота Найквиста Передискретизация Квантование Частота выборки Недостаточная выборка Передискретизация