В плоской геометрии , теорема Ван AUBEL в описывает взаимосвязь между квадратами , построенных на сторонах четырехугольника . Начиная с данного выпуклого четырехугольника, постройте квадрат , внешний по отношению к четырехугольнику, с каждой стороны. Теорема Ван Обеля утверждает, что два отрезка прямой между центрами противоположных квадратов имеют равную длину и расположены под прямым углом друг к другу. Другими словами, центральные точки четырех квадратов образуют вершины равнодиагонального ортодиагонального четырехугольника . Теорема названа в честь Г. Х. ван Обеля, опубликовавшего ее в 1878 г. [1]
Теорема верна также для входящих четырехугольников, [2] и когда квадраты построены внутри данного четырехугольника. [3] Для сложных (самопересекающихся) четырехугольников внешние и внутренние конструкции квадратов не определены. В этом случае теорема верна, когда построения ведутся более общим образом: [3]
- проследить за вершинами четырехугольника в последовательном направлении и построить каждый квадрат с правой стороны каждой стороны данного четырехугольника.
- Следуйте за вершинами четырехугольника в том же последовательном направлении и постройте каждый квадрат с левой стороны каждой стороны данного четырехугольника.
Сегменты, соединяющие центры квадратов, построенных снаружи (или внутри) с четырехугольником с двух противоположных сторон, называются сегментами Ван-Обеля . Точки пересечения двух равных и ортогональных сегментов Ван-Обеля (создаваемых при необходимости) называются точками Ван-Обеля : [3] первая или внешняя точка Ван-Обеля для внешней конструкции, вторая или внутренняя точка Ван-Обеля для внутренней. .
Несколько расширений теоремы с учетом подобных прямоугольников, подобных ромбов и подобных параллелограммов, построенных на сторонах данного четырехугольника, были опубликованы в The Mathematical Gazette . [4] [5]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ van Aubel, HH (1878), «Обратите внимание на то, что центры de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque», Nouvelle Correspondance Mathématique (на французском языке), 4 : 40–44.
- ^ Косетер, ИМП и Greitzer, Сэмюэл Л. 1967. Геометрия Ревиситед , страницы 52.
- ^ a b c Д. Пеллегринетти: «Шестиконечный круг для четырехугольника» . Международный журнал геометрии , Vol. 8 (октябрь 2019 г.), № 2, стр. 5–13.
- ^ М. де Вилье: "Двойственные обобщения теоремы Ван Обеля" . The Mathematical Gazette , Vol. 82 (ноябрь 1998 г.), стр. 405-412.
- ^ JR Сильвестр: "Расширения теоремы Ван Обеля" . The Mathematical Gazette , Vol. 90 (март, 2006 г.), стр. 2-12.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема ван Обеля» . MathWorld .
- Теорема Ван Обеля для четырехугольников и теорема Ван Обеля для треугольников Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Прекрасная Геометрическая теорема Ван Aubel по Ютаку Нишиям , Международный журнал теоретической и прикладной математики .
- Интерактивный апплет Тима Бжезинского, демонстрирующий теорему Ван Обеля, созданную с помощью GeoGebra .
- Некоторые обобщения теоремы Ван Обеля на аналогичные четырехугольники в эскизах динамической геометрии , интерактивных эскизах геометрии.
- QG-2P6: Внешняя и внутренняя точки Ван Обеля Криса Ван Тиенховена из Энциклопедии квадри-фигур (EQF) .